겔폰드-슈나이더 정리

수학에서 겔폰드-슈나이더 정리는 많은 종류의 수들의 초월성을 확립합니다.

역사

그것은 원래 1934년에 알렉산드르 겔폰드와^[1] 테오도르 슈나이더에 의해 독립적으로 증명되었습니다.

\not \in \{0,1\}

와 b가 ∉ {0

\not \in \{0,1\}

1} {\

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ot \{0,1\}

에서

{\displaystyle \n

b는 유리수가 아니며, a의^b 어떤 값도 초월수입니다.

a와 b의 값은 실수에 국한되지 않으며 복소수는 허용됩니다(여기서 복소수는 실수부와 허수부가 모두 유리수라 할지라도 0과 같지 않은 허수부를 가질 때 유리수로 간주되지 않습니다).
일반적으로 = exp(bln a)는 다중 값이며, 여기서 ln은 자연 로그를 나타냅니다. 이것은 정리의 문장에서 "임의 값"이라는 문구를 설명합니다.
이 정리의 동등한 공식은 다음과 같습니다. 만약 α와 γ가 0이 아닌 대수이고, 우리가 α의 0이 아닌 로그를 취한다면, (로그 γ)/(로그 α)는 유리수이거나 초월수입니다. 이것은 로그 α, 로그 γ가 유리수에 대해 선형적으로 독립적이라면 대수적 숫자에 대해 선형적으로 독립적이라는 것으로 표현될 수 있습니다. 이 문장을 여러 대수적 숫자의 로그에서 보다 일반적인 선형 형태로 일반화하는 것은 초월수 이론의 영역에 있습니다.
a와 b가 대수적이라는 제약을 제거하면 문장은 일반적으로 참이 되지 않습니다. 예를들면,

{\left ({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.

여기서 a는 √2이며, 이는 (정리 자체에 의해 증명된) 대수적이라기보다는 초월적입니다. 마찬가지로 a = 3이고 b = (log 2)/(log 3)가 초월적이면 a = 2는 대수적입니다. 초월 a를^b 산출하는 a와 b에 대한 값의 특성은 알려져 있지 않습니다.

Kurt Mahler는 정리의 p-adic 아날로그를 증명했습니다: 만약 a와_p_p b가 C에 있다면, Q의 대수적 종결의 완성이고, 그들은 Q 위에 대수적이고, $|a-1|_{p}<1$ - 1 $|a-1|_{p}<1$ < $|a-1|_{p}<1$ ${\displaystyle a-1_{p}<$ $|b-1|_{p}<1,$ $}$ 및 $|a-1|_{p}<1$ $|b-1|_{p}<1,$ - $|b-1|_{p}<1,$ $|b-1|_{p}<1,$ < 1 $|b-1|_{p}<1,$ ${\displaystyle b-1_{p}<1,$ $}$ $그러면$ ( $(\log _{p}a)/(\log _{p}b)$ $(\log _{p}a)/(\log _{p}b)$ $⁡$ a $(\log _{p}a)/(\log _{p}b)$ ) / ( $log$ p $⁡$ b) {\displaystyle (\log _{p}a) / (\log _{p}b)}은 유리수 또는 초월수이며, 여기서 log는 p-adic log 함수입니다.

다음 수들의 초월성은 정리에서 바로 뒤에 나옵니다.

Gelfond–Schneider 상수 $2^{\sqrt {2}}$ ${\$ 및 해당 $2^{\sqrt {2}}$ 제곱근 $.{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$
겔폰드 상수 $e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots$
$i^{i}=\left(e^{\frac {i\pi}{2}}\right)^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0.207879576\ldots$

겔폰드-슈나이더 정리는 긍정적으로 힐베르트의 일곱 번째 문제에 답합니다.

^ Aleksandr Gelfond (1934). "Sur le septième Problème de Hilbert". Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. VII (4): 623–634.