힐버트의 열두 번째 문제

크론커의 주겐트라움 또는 힐버트의 12번째 문제는 23개의 수학적인 힐버트 문제 중, 합리적 숫자의 아벨리안 확장에 대한 크론커-베버 정리의 연장이다.즉, 지수함수의 특정 값인 복잡한 숫자로써 통합의 뿌리의 유사성을 요구한다. 그러한 숫자들은 사이클로토믹 장과 그 하위 영역의 유사인 추가 숫자 필드의 전체 패밀리를 생성해야 한다.

현재 종종 크론커 주겐트라움으로 알려져 있는 복잡한 곱셈의 고전적 이론은 어떤 상상 속의 이차장의 경우에, 해당 분야와 관련된 특정 기간 격자로 선택된 모듈 함수와 타원 함수를 사용함으로써, 이렇게 한다.시무라 고로는 이것을 CM 분야로 확장했다.완전히 실제적인 분야의 특수한 경우, 다스굽타와 카크데가 해결책을 제시하였다.이것은 모든 실제 분야의 최대 아벨리안 확장을 구성하기 위한 효과적인 방법을 제공한다.이 방법은 p-adic 통합에 의존하고 있으며, 완전히 실제적인 영역에 대해 제공하는 해결책은 힐버트가 원래 공식화에서 염두에 두었던 것과는 본질적으로 다르다.또한 p-adic 방법에 놓여 있는, 완전히 실제적인 이차적 분야의 보다 특별한 경우에서 해결책은 Darmon, Pozzi, Vonk에 의해 주어졌다.

힐베르트의 12번째 문제의 일반 사례는 2022년^[update] 현재도 여전히 공개되어 있다.

레오폴드 크로네커는 복잡한 곱셈 문제를 자신의 거짓말쟁이 주겐트라움 또는 "젊음의 가장 중요한 꿈"이라고 묘사했다.

문제 설명

대수적 숫자 이론의 근본적인 문제는 대수적 숫자의 분야를 기술하는 것이다.갈루아의 연구는 필드 확장이 특정 집단인 갈루아 집단에 의해 통제된다는 것을 분명히 했다.이미 잘 이해되고 있는 것의 경계에 있는 가장 간단한 상황은 문제의 집단이 아벨리아인일 때다.2차 다항식의 뿌리와 결합하여 얻은 모든 2차 연장은 아벨리안이며, 그들의 연구는 가우스에 의해 시작되었다.합리적인 숫자의 필드 Q의 또 다른 형태의 아벨 연장은 통일의 n번째 뿌리와 결합하여 주어지며, 그 결과 사이클로토믹 장이 된다.이미 가우스는 사실 모든 이차적 영역이 더 큰 사이클로토믹 영역에 포함되어 있다는 것을 보여주었다.크로네커-베버 정리는 Q의 어떤 유한한 아벨의 확장이 사이클로토믹 장에 포함되어 있음을 보여준다.Kronecker (그리고 Hilbert의) 의 질문은 보다 일반적인 대수적 숫자 필드 K의 상황을 다루고 있다: K의 모든 아벨리안 확장을 구성하는데 필요한 대수적 숫자는 무엇인가?이 질문에 대한 완전한 답은 K가 가상의 2차 영역이거나 그 일반화, 즉 CM 영역일 때 비로소 완전히 풀렸다.

힐베르트의 12번째 문제에 대한 원론적인 진술은 오히려 오해의 소지가 있다:그는 상상 속의 2차적 장의 아벨리아적 확장이 타원 모듈러 함수의 특별한 가치에 의해 생성된다는 것을 암시하는 것 같다, 그것은 옳지 않다.(힐베르트가 말한, 그가 "엘리틱"이라는 용어를 사용했을지도 모른다는 한 가지 문제점은 정확히 말하기 어렵다.함수"는 타원 함수 ℘과 타원 모듈 함수 j를 모두 의미한다.힐버트는 이러한 것들을 포함하기 위해 암묵적으로 의도했을지 모르지만 첫째로 통합의 뿌리를 사용하는 것도 필요하다.보다 심각한 것은 타원 모듈형 함수의 값이 힐버트 클래스 필드를 생성하는 반면, 보다 일반적인 아벨리안 확장의 경우 타원함수의 값도 사용할 필요가 있다.예를 들어 아벨 $확장자{\displaystyle \mathbf{}}$ Q${\displaystyle (i\text{exception 25:}}$, 1${\displaystyle \text{exception 25:}}$+ 2 ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$)${\displaystyle }$/ Q ${\displaystyle (i}$) ${\displaystyle \mathbf {Q}(i,$ $\sqrt[{4}]{1+2i})/\mathb {Q}(i)}$는 단수 모듈리와 단결성의 뿌리에 의해 생성되지 않는다$$.

크로네커-베버 정리를 진술하는 한 가지 특히 매력적인 방법은 Q의 최대 아벨리안 확장은 지수함수의 특수 값 exp(2πi/n)를 결합함으로써 얻을 수 있다고 말하는 것이다.마찬가지로, 복합 곱셈 이론은 여기서 τ은 가상의 이차적 비합리성인 Q(τ)의 최대 아벨 연장은 모듈식 함수 j와 타원함수 of의 ((,,z)와 j(τ)의 특수 값과 결합하여 얻을 수 있으며, 여기서 τ은 가상의 이차적 장에 있고 z는 t를 나타내는 단결의 뿌리가 된다.해당 타원 곡선의 오르손 지점.힐버트의 12번째 문제에 대한 한 해석은 지수, 타원 또는 모듈형 함수의 적절한 아날로그적 기능을 제공하도록 요청하며, 이들의 특별한 값은 일반 숫자 필드 K의 최대 아벨리안 확장 K를^ab 생성한다.이런 형태로는 미해결로 남아 있다.20세기 전반 힐베르트가 직접 개발한 계급장 이론에서 K^ab 분야에 대한 설명이 얻어졌다.^{[note 1]}그러나 계급장 이론에서 K의^ab 건설은 우선 쿠메르 이론을 이용하여 더 큰 비아벨리아 확장을 건설한 다음 아벨리아 확장을 축소하는 것을 포함하므로, 아벨리아 확장을 보다 직접적으로 건설할 것을 요구하는 힐베르트의 문제를 실제로 해결하지는 못한다.

현대적 발전

1960년 전후의 발전은 확실히 기여했다.그 전에 헤케(1912년)는 논문에서 힐버트 모듈러 양식을 사용하여 실제 2차 영역의 아벨리아적 확장을 연구했다.아벨 품종의 복잡한 곱셈은 시무라와 타니야마의 작업에 의해 개방된 지역이었다.이것은 일반적으로 CM 필드의 아벨리안 확장을 야기한다.어떤 확장자를 찾을 수 있느냐는 문제는 갈루아 표현과 같은 종류의 테이트 모듈이다.이것은 l-adic cohomology의 가장 접근하기 쉬운 사례이기 때문에, 이러한 표현들은 심층적으로 연구되어 왔다.

로버트 랭랜드는 1973년 현대판 주겐트라움이 시무라 품종의 하세-윌 제타 기능을 다루어야 한다고 주장했다.그는 이 문제를 훨씬 더 진전시킬 거창한 프로그램을 구상했지만, 힐버트가 질문한 문제에 대한 수입에 대해 30년 이상이 지난 후 심각한 의구심이 남아있다.

별개의 발전은 스타크의 추측(하롤드 스타크)이었는데, 대조적으로 숫자 분야에서 흥미롭고 특별한 단위를 찾는 문제를 직접적으로 다루었다.이것은 L-기능에 대한 큰 추측을 낳았으며, 또한 구체적이고 수치적인 결과를 산출할 수 있다.다스굽타와 카크데가 2021년 3월,^[1][2] 다르몽, 포지, 본크 등이 발표한 리얼 이차 분야 특별 사례에 대한 p-adic 솔루션이 발표되었다.^[3]

메모들

참조

• Langlands, R. P. (1976). "Some contemporary problems with origins in the Jugendtraum". In Browder, Felix E. (ed.). Mathematical developments arising from Hilbert problems (PDF). Proc. Sympos. Pure Math. Vol. 28. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 401–418. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0345.14006.
• Schappacher, Norbert (1998). "On the history of Hilbert's twelfth problem: a comedy of errors". Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XX^e siècle (Nice, 1996). Sémin. Congr. Vol. 3. Paris: Société Mathématique de France. pp. 243–273. ISBN 978-2-85629-065-1. MR 1640262. Zbl 1044.01530.
• Vlǎduţ, S. G. (1991). Kronecker's Jugendtraum and modular functions. Studies in the Development of Modern Mathematics. Vol. 2. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-754-7. Zbl 0731.11001.