힐버트의 여섯 번째 문제

Hilbert's sixth problem

힐버트의 여섯 번째 문제는 수학이 널리 퍼져 있는 물리학의 그 분야들을 공리화하는 것이다.그것은 힐버트가 1900년에 발표한 수학 문제의 널리 인용된 리스트에서 발생한다.[1]일반적인 영어 번역에서 명시적 문장은 다음과 같이 쓰여 있다.

미시적 역학(원자적 관점)에서 거시적 연속체 역학(연속체의 운동 법칙)으로 모델 축소의 계단(책의[2] 내용에 대한 설명).
6. 물리학의 공리학의 수학적 처리.기하학의 기초에 대한 조사는 그 문제를 다음과 같이 제시한다.같은 방식으로, 공리에 의해, 이미 오늘날 수학이 중요한 역할을 하는 물리과학을 다루기 위해서; 첫 번째 순위에는 확률과 역학의 이론이 있다.

힐버트는 이 문제와 가능한 구체적인 형태에 대해 더 자세히 설명했다.

"확률론의 공리에 대해서는, 수학물리학에서는, 특히 기체의 운동 이론에서는, 그들의 논리적인 조사가 엄격하고 만족스러운 방법의 전개와 동반되어야 하는 것이 바람직해 보인다……볼츠만의 역학의 원리에 관한 연구는 단지 지시했을 뿐, 원자론적 시각에서 연속체의 운동 법칙으로 이어지는 제한 과정을 수학적으로 개발하는 문제를 제시한다."

역사

David Hilbert 자신은 그의 연구의 많은 부분을 여섯 번째 문제에 바쳤다;[3] 특히, 그는 그 문제를 진술한 후에 생겨난 물리학의 분야에서 일했다.

1910년대에 천체역학은 일반 상대성 이론으로 진화했다.힐버트와 에미 노에더는 알버트 아인슈타인과 이 이론의 공식화에 대해 광범위하게 의견을 교환했다.[4]

1920년대에 현미경 시스템의 역학은 양자역학으로 진화했다.힐베르트는 존 폰 노이만, L. 노르드하임, E. P. 위그너 등의 도움을 받아 양자역학의 자명적 기반에 힘썼다(힐버트 공간 참조).[5]동시에, 그러나 독립적으로, 디락은 에르윈 슈뢰딩거의 도움으로 헤르만 바일이 그랬던 것처럼, 자명체제에 가까운 방식으로 양자역학을 공식화했다.

1930년대에는 안드레이 콜모고로프에 의해 측정 이론을 이용하여 확률 이론을 자명하게 내세웠다.

1960년대 이후 아서 와이트만과 루돌프 하그의 작품에 이어 현대의 양자장 이론도 자명적인 서술에 가까운 것으로 간주될 수 있다.

1990년대-2000년대에 "원자의 관점에서 연속체의 운동 법칙에 이르는 제한 과정"의 문제는 많은 수학자들에 의해 접근되었다.최근 주요 결과는 Laure Saint-Raymond,[6] Marshall Slemrod,[7] Alexander N. Gorban, Ilya Karlin에 의해 요약된다.[8]

상태

힐버트의 여섯 번째 문제는 기존의 수학적 학문을 벗어나 물리학 그 이상으로 자명한 방법을 확장하자는 제안이었다.이러한 확장은 해야 할 물리적 현실의 개념에 대한 공식적인 분석을 통한 물리학의 의미론적 개발을 필요로 한다.[9]두 가지 기본 이론은 물리학의 기본 현상의 대부분을 포착한다.

힐버트는 일반 상대성을 물리학의 기초에서 필수적인 부분으로 생각했다.[11][12]그러나 양자장 이론은 일반 상대성 이론과 논리적으로 일치하지 않아 아직 알려지지 않은 양자 중력 이론의 필요성을 나타낸다.힐버트의 여섯 번째 문제는 이렇게 여전히 열려있다.[13]

참고 항목

메모들

  1. ^ Hilbert, David (1902). "Mathematical Problems". Bulletin of the American Mathematical Society. 8 (10): 437–479. doi:10.1090/S0002-9904-1902-00923-3. MR 1557926. 이전 출판물(원문 독일어로)은 괴팅거 나치히텐, 1900페이지, 253~297페이지, 아치브 데르 수학크 und 파이식, 3번째 시리즈, 1권(1901), 44-63페이지, 213–237페이지에 실렸다.
  2. ^ Gorban, Alexander N.; Karlin, Ilya V. (2005). Invariant Manifolds for Physical and Chemical Kinetics. Lecture Notes in Physics (LNP, vol. 660). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/b98103. ISBN 978-3-540-22684-0. Archived from the original on 2020-08-19. Alt URL
  3. ^ Corry, L. (1997). "David Hilbert and the axiomatization of physics (1894–1905)". Archive for History of Exact Sciences. 51 (2): 83–198. doi:10.1007/BF00375141.
  4. ^ 사우어 1999 페이지 6
  5. ^ van Hove, Léon (1958). "Von Neumann's contributions to quantum theory". Bull. Amer. Math. Soc. 64 (3): 95–99. doi:10.1090/s0002-9904-1958-10206-2. MR 0092587. Zbl 0080.00416.
  6. ^ Saint-Raymond, L. (2009). Hydrodynamic limits of the Boltzmann equation. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1971. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-92847-8. ISBN 978-3-540-92847-8.
  7. ^ Slemrod, M. (2013). "From Boltzmann to Euler: Hilbert's 6th problem revisited". Comput. Math. Appl. 65 (10): 1497–1501. doi:10.1016/j.camwa.2012.08.016. MR 3061719.
  8. ^ Gorban, A.N.; Karlin, I. (2014). "Hilbert's 6th Problem: exact and approximate hydrodynamic manifolds for kinetic equations". Bull. Amer. Math. Soc. 51 (2): 186–246. arXiv:1310.0406. doi:10.1090/S0273-0979-2013-01439-3.
  9. ^ Gorban, A.N. (2018). "Hilbert's sixth problem: the endless road to rigour". Phil. Trans. R. Soc. A. 376 (2118): 20170238. arXiv:1803.03599. Bibcode:2018RSPTA.37670238G. doi:10.1098/rsta.2017.0238. PMID 29555808.
  10. ^ Wightman, A.S. (1976). "Hilbert's sixth problem: Mathematical treatment of the axioms of physics". In Felix E. Browder (ed.). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. XXVIII. American Mathematical Society. pp. 147–240. ISBN 0-8218-1428-1.
  11. ^ Hilbert, David (1915). "Die Grundlagen der Physik. (Erste Mitteilung)". Nahrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse. 1915: 395–407.
  12. ^ 사우어 1999
  13. ^ 주제발행

참조

외부 링크