덴 불변량

기하학에서, 덴 불변량은 한 다면체를 조각으로 잘라 다른 다면체로 재조립할 수 있는지 그리고 다면체나 그 해부가 공간을 타일로 만들 수 있는지를 결정하기 위해 사용되는 값이다.그것은 부피가 같은 모든 다면체가 서로 해부될 수 없다는 것을 증명함으로써 힐버트의 세 번째 문제를 해결하기 위해 이것을 사용했던 막스 덴의 이름을 따서 붙여졌다.

두 다면체는 부피와 덴 불변량이 같을 경우에만 하나로 재구성할 수 있는 다면체 조각으로 분할된다.다면체는 그 덴 불변량이 0일 경우에만 타일 공간으로 절단하여 재조립할 수 있으므로 덴 불변량 0을 갖는 것은 공간을 채우는 다면체가 되기 위한 필수 조건이다.자기교차가 없는 유연한 다면체의 덴 불변량은 굴곡에 따라 불변합니다.

덴 불변량은 입방체의 경우 0이지만 다른 플라톤계 고체의 경우 0이 아니다. 즉, 다른 고체는 공간을 타일링할 수 없고 입방체로 해부할 수 없다는 것을 의미한다.모든 아르키메데스 고체는 플라톤 고체에 대한 불변의 합리적인 조합인 덴 불변량을 가지고 있다.특히, 잘린 팔면체 역시 공간을 타일로 만들고 입방체처럼 덴 불변 0을 가진다.

다면체의 덴 불변량은 숫자가 아니다.대신, 그것들은 무한 차원 텐서 공간의 요소들이다.아벨 군으로 보이는 이 공간은 군 호몰로지를 포함하는 정확한 수열의 일부이다.유사한 불변량은 축-평행 절단 및 변환을 통해 직선 폴리곤을 서로 해부하는 문제를 포함한 일부 다른 해부 퍼즐에도 정의할 수 있다.

과

2차원에서, 19세기 초의 월러스-볼야이-게르비엔 정리에 따르면, 같은 면적의 어떤 두 폴리곤도 다각형 조각으로 잘라서 서로 재조립할 수 있다.19세기 후반, 데이비드 힐버트는 이 결과에 관심을 갖게 되었다.그는 유클리드 기하학에 대한 힐베르트의 공리와 관련하여, 2차원 다각형 영역을 공리화하는 방법으로 그것을 사용했다.이것은 유클리드의 원소가 보다 직관적으로 ^[1]다루었던 영역과 같은 개념을 명시적으로 취급함으로써 기하학의 기초를 더욱 엄격하게 하기 위한 프로그램의 일부였다.자연스럽게, 이것은 유사한 자명한 처리가 입체 ^[2]기하학으로 확장될 수 있는지에 대한 의문을 제기했습니다.

1900년 국제 수학자 회의에서 힐베르트는 20세기 수학에서 매우 영향력 있게 된 일련의 문제인 힐베르트의 문제를 공식화했다.힐베르트의 세 번째 문제 중 하나는 고체 부피의 공리화에 관한 이 질문을 다루었다.힐베르트의 세 번째 문제는, 보다 구체적으로, 같은 부피의 모든 두 다면체가 항상 다면체 조각으로 잘려지고 서로 재조립될 수 있는지 물었다.만약 그렇다면, 모든 다면체의 부피는, 원칙적으로, 그것이 재조립될 수 있는 동등한 입방체의 부피로 정의될 수 있다.그러나 모든 다면체를 ^[3]정육면체로 해부할 수 있는 것은 아니라는 답은 부정적이었다.

다른 힐베르트 문제들과 달리, 세 번째 문제에 대한 답은 매우 빨리 나왔다.힐버트의 제자 맥스 덴은 1900년 하빌리테이션 논문에서 이 문제를 해결하기 위해 덴 불변량을 발명했다.덴은 같은 부피의 두 다면체 역시 같은 부피의 덴 불변성을 가져야 한다는 것을 증명했지만, 덴 불변성이 다른 두 개의 같은 부피의 사면체를 발견했다.이것은 그 ^[2]문제에 대한 부정적인 해결책을 제공했다.덴은 그의 불변성을 다르게 공식화했지만, 덴의 불변성에 대한 현대적 접근법은 제센(1968)^[4][5]에 이어 텐서 곱의 값으로 기술하는 것이다.

»

계산

모든 다면체에 동시에 적용할 수 있는 방법으로 뎬 불변량을 정의하는 것은 무한 차원 벡터 공간을 포함한다(아래의 § 전체 정의 참조).그러나 플라톤 고체와 같이 최종적으로 많은 다면체로 구성된 특정 예시로 제한되는 경우,^[6] 다음과 같이 한정된 수의 차원만을 포함하는 더 간단한 방법으로 정의할 수 있습니다.

• 모든 다면체의 모서리 길이와 이면각(가장자리를 따라 만나는 두 면 사이의 각도)을 결정합니다.
• 합리적인 기초를 이루는 각도의 부분 집합을 찾으십시오.즉, 각 이면각은 유리수 계수와 함께 기본 요소의 선형 조합으로 표현될 수 있습니다.또한, 어떠한 합리적인 기준 요소의 선형 조합도 0이 될 수 없습니다.이 기준에는 $"\displaystyle\pi"$ ($또는{\displaystyle }$ $"\displaystyle\pi$의 유리배수)를 포함합니다.
• 다면체의 각 모서리에 대해 밑면에서 각도의 합리적인 조합으로 이면체 각도를 나타냅니다.이 조합에서는$\theta$의 유리배수(\$displaystyle\pi$$)$ 계수를 폐기합니다.나머지 계수를 치수가 기준 각도를 나타내는 벡터의 좌표로 해석하고 이 벡터를 가장자리 길이로 스케일링합니다.
• 다면체의 모든 모서리에 대한 벡터를 합하여 Dehn 불변량을 구합니다.

이 방법은 기저 원소의 임의 선택을 포함하지만, 이러한 선택은 덴 불변량이 표현되는 계수에만 영향을 미친다.추상 벡터 공간의 요소로서, 그들은 기저의 선택에 영향을 받지 않는다.다면체의 유한 집합의 덴 불변량에 의해 확장된 벡터 공간은 모든 다면체의 덴 불변량이 정의되는 무한 차원 벡터 공간의 유한 차원 부분 공간을 형성한다.어떤 이면각 조합이 합리적인 선형 조합에 의해 관련되는지에 대한 질문은 항상 간단하지 않으며, 수 ^[6]이론에서 중요하지 않은 방법을 포함할 수 있다.

은 5 의의플 are개 플개 음개 、 음음음 음음 음음 음음 음음 음 for 음 for 음 for 음 for음 음 음음 음 음 음 음 : : : for for for for for for

• $5$$^{\contract }}:$ 사면체의$$ 경우.
• ${\displaystyle {\mathrm{큐브}}_{}}$의 경우 ${\displaystyle {\mathrm{\theta }}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{c}}_{}}$ ${\displaystyle u}$ b e${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle /}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ / 2${\displaystyle }$= $90$ {$displaystyle$ \$theta$_ { \$mathrm${ cube } $= \pi$/ 2 = $90^$ { \$$sube$$ } 。
• $5$$$$^{\filename$}}: 8면체입니다$$.
• $9$$$$^{\contract }}:$ 12면체$$.
• $2$$138$$2$$^{\color$}}: 20면체.

입방체의 이면각은$θ$의 유리배수$(\displaystyle$ \pi$)$이지만 나머지는 그렇지 않습니다.정4면체와 정8면체의 이면각은 보충각이다: 그것들은 합하여$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \pi$\}.$ 이 5개의 각도에서 정4면체 또는 정8면체 중 하나를 생략하면 이성적인 기초가 된다: 이 ^[6]각들 사이에 다른 이성적인 관계가 없다.예를 들어 ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$c ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\displaystyle$ \$theta$_{\$mathrm {$$ocve$$}}}$을 생략하고 ${\displaystyle {\mathrm{c}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{u}}_{}}$b e \$display$$style$ \$theta$_{\$mathrm {$cube$}}}}$을 베이스 요소로 사용하지만 $(\displaystyle$ \pi$\}$의 유리배수로) 데언트 베이스 계산에서 생략한 경우 남은 각도is 요소는 "${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ \$displaystyle \theta$ _${\mathrm {tet$ "$displaystyle \theta$ _${\mathrm {tet$ 및 "${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{c}}_{}}$$$${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ s$$\$displaystyle \theta$ _${\mathrm {os}}}}$ 입니다$.$결과 Dehn 불변량은 각 기본 요소에 대해 하나의 차원을 가질 것이다.이 기준으로 $모서리{\displaystyle }$ 길이가$$s\$displaystyle$s인 플라톤계 솔리드의 경우 덴 불변량은 다음과 같습니다.^[a]

• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 6}$s ,${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle 0}$ ) $(<$ $displaystyle$( 6$s$ ,$0$ , $0$) )는$$, 사면체의 경우에 사용합니다.길이$$s의 6개의 $모서리$(\$displaystyle$ s$)$와 사면체 이면체 각도가 있습니다.
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle 0}$ $)({displaystyle$ ($0,0,0)}$을(를) 지정합니다.모서리에는 덴 불변량에서 생략된 ${\displaystyle {from\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{c}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{u}}_{}}$ b$$ \$displaystyle \theta$ _${\mathrm {cube$로만 표현되는 이면각이 있다.
• ${\displaystyle (}$ - ${\displaystyle \mathrm{12}}$s ,${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle 0}$ $)($팔면체의 경우, {$style$ (-$12s , 0$ ,$0$ )).12개의 모서리에는 ${\displaystyle {2개}_{}}$의 ${\displaystyle {\mathrm{정수형}}_{}}$이 ${\displaystyle {\mathrm{있습니다}}_{}}$.이 조합에서는 ${\displaystyle {\mathrm{c}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$$= 2$ ${\displaystyle {\mathrm{c}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{u}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{b}}_{}}$e$$- $display$ t ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ t \ $display$$style$ \$theta _${ \ $mathrm { cube }$ - \ $theta$ $_${ \ $mathrm${$tet }$ $。$splaystyle $-1}($${\displaystyle {표시}_{}}$ 스타일$\theta_{\mathrm {tet} }$。
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \mathrm{30}}$s ,${\displaystyle 0}$ ) $({displaystyle (0,30s,0)}$ (십이면체$$).그것은 12면체 이면체의 각도가 있는 30개의 모서리를 가지고 있다.
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle \mathrm{30}}$s$$) ({$displaystyle (0,0,30$s)} (이십면체의$$ 경우).그것은 20면체 이면체의 각도가 있는 30개의 모서리를 가지고 있다.

입방체는 이들 중 Dehn 불변량이 0인 유일한 입방체이다.다른 네 개의 플라톤계 고체의 덴 불변량은 각각 불평등하고 0이 아니다.8면체의 덴 불변량은 모서리 길이가 같은 ^[6]사면체의 덴 불변량의$-2배이다$$.$

관련 다면체

입방체와 마찬가지로, 평행입방체의 덴 불변량도 0입니다.직육면체 내의 4개의 평행 에지의 각 세트는 길이가 같고 이면각 합계가$\theta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \pi$이므로 덴 불변량에 대한 기여는 ^[7]0으로 상쇄됩니다.다른 아르키메데스 다면체의 덴 불변량은 플라톤 다면체의 ^[6]불변량의 합리적인 조합으로도 표현될 수 있다.이전과 동일한 기준으로 볼 때, 이러한 도형의 $모서리{\displaystyle }$ 길이가$$s\$displaystyle$s라고 가정할 때, Dehn 불변량은 다음과 같습니다.^[a]

• ${\displaystyle (}$ - ${\displaystyle 6s}$ ,${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle 0}$ $)($잘린 사면체의 경우 ( - 6 s , 0 , 0 ){$style$(-$6s$,$0$, 0$$$$) 。
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 12s}$ ,${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle 0}$) {$displaystyle$($12$s ,$0$ , $0$) } (잘린 정육면체, 마름모꼴 정팔면체 및 정육면체의 경우).
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle 0}$ $)($잘린 8면체의 경우 {$displaystyle (0,0,0$)}). 공간을$$ 비트런치 큐빅 ^[8]벌집으로 타일링합니다.
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 0}$, - ${\displaystyle \mathrm{30}}$s$$) {$style (0,0,-30$ s$)}$ (잘린 12면체의 경우).
• ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, - ${\displaystyle \mathrm{30}}$s ,${\displaystyle 0}$ $),$ {style $(0,-30$s,$0)},$ 잘린 20면체의 경우${\displaystyle .}$
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 0}$, - ${\displaystyle \mathrm{30}}$s${\displaystyle }$, - ${\displaystyle \mathrm{30}}$s , - 30 s $)($이십면체의 경우, {$displaystyle (0,-30s,-30s)}).$
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \mathrm{30}}$s , ${\displaystyle \mathrm{30}}$s $)($마름모꼴 12면체의 경우 ($0$$,$ 30 s , $30$s ) {style ($0, 30$ s ) 。
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle 0}$) {$displaystyle (0,0,0)}$은(는) 잘린 이십이면체를 나타냅니다.이것은 공간을 직접 타일링하지 않지만, 조면체로서 평행한 정육면체로 분할할 수 있습니다.^[8]

적용들

Dehn(1901)이 관찰한 바와 같이, Dehn 불변량은 다면체를 더 작은 다면체 조각으로 자른 다음 다른 다면체로 재조립해도 결과의 ^[b]Dehn 불변량은 변하지 않는다는 점에서 다면체의 해부에 대한 불변량이다.해부의 또 다른 불변의 요소는 다면체의 부피입니다. 다면체를 다면체 조각으로 자르고 조각을 재조립해도 전체 부피가 바뀔 수 없습니다.따라서, 한 다면체 P가 다른 다면체 Q로 절단된 경우, P와 Q는 모두 동일한 ^[9]부피와 동일한 Dehn 불변성을 가져야 합니다.시드러(1965)는 부피와 덴 불변량이 이 문제의 유일한 불변량임을 증명함으로써 이 결과를 확장했다.P와 Q가 모두 같은 부피와 동일한 Dehn 불변량을 갖는다면, 항상 하나를 다른 ^[10][11]것으로 해부할 수 있다.

덴의 결과는 구면 기하학과 쌍곡 기하학에서 계속 유효하다.두 기하학에서 서로 절단하고 재조립할 수 있는 두 개의 다면체는 동일한 Dehn 불변성을 가져야 합니다.그러나, 제센이 관찰한 바와 같이, 시드러 결과의 구면 또는 쌍곡선 기하학으로의 확장은 여전히 열려 있다: 같은 부피와 같은 덴 불변량을 가진 두 개의 구면 또는 쌍곡선 다면체가 항상 서로 ^[12]절단되고 재조립될 수 있는지는 알려지지 않았다.부피가 유한한 쌍곡선 다양체는 지오데식 표면을 따라 덴 불변량이 0인 쌍곡선 ^[13]다면체로 절단할 수 있습니다.

덴 불변량은 또한 공간을 타일링하는 다면체의 능력을 제한한다.공간을 채우는 모든 타일은 입방체처럼 덴 불변 0을 가집니다.타일 공간이 주기적으로 존재하는 다면체의 경우 타일링의 주기성을 사용하여 타일을 동일한 주기성을 갖는 평행입방체로 자르고 재배열하지만, 이 결과는 다른 힐베르트 문제와 관련된 슈미트-컨웨이-댄저 바이프리즘과 같은 비주기적 타일에도 적용된다.문제가 있습니다.^[14][15]그 반대는 사실이 아닙니다. 공간을 타일링하지 않는 Dehn 불변수가 0인 다면체가 존재합니다.그러나 이것들은 타일 공간을 만드는 다른 모양(입방체)으로 언제든지 해부할 수 있습니다.잘린 이십이면체가 그 예입니다.

보다 일반적으로, 일부 다면체의 조합이 공동으로 공간을 타일링하는 경우, 해당 다면체의 덴 불변량(같은 비율로 취함) 합계는 0이어야 합니다.예를 들어 사면체-팔면체 벌집은 사면체와 팔면체(팔면체보다 2배 많은 사면체)에 의한 공간의 타일링으로, 8면체와 2면체(같은 변의 길이)의 덴 불변량의 합이 ^[c]0이라는 사실에 대응한다.

풀 디피니션

텐서 곱으로서

덴 불변량의 정의에는 모서리의 길이와 이면각이 잘 정의된 다면체의 개념이 필요하다.가장 일반적으로, 그것은 유클리드 공간의 유한한 수의 평면에 포함된 다면체의 경계가 다면체인 다면체에 적용된다.그러나, 덴 불변량은 구면 기하학이나 쌍곡선 ^[4]공간에서의 다면체와 유클리드 ^[16]공간에서의 특정 자기 교차 다면체에 대해서도 고려되어 왔다.

덴 불변량의 값은 텐서 곱으로 정의된 아벨 그룹에^[17] 속합니다.

실제의 텐서 제품의 왼쪽 인자 집합(이 경우 다면체의 가장자리의 길이를 대표하는)와 오른쪽 인자 라디안에서 2면 각의 각도, 숫자로 주어져모듈러 2π을 나타냅니다.[10](일부 소식통들은 과학의 각을 π의 나머지 2π,[4][17][18]대신 또는 π에 의해 R/Z{\displaystyle \mathbb{사용하는 각도를 나눠라.$R$${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle z\mathbb{}}$Z {\$displaystyle \mathbb {R}$ / $2\pi$ \$mathbb {Z}$ $\}$^[19] $대신{\displaystyle \mathbb{}}$ R} /\$mathbb {Z$$}$). 단, 올바른 인자의 in의 유리 배수가 0이 되므로 결과 텐서 곱에는 차이가 없다.)

모서리 길이 ${\displaystyle {\theta }_{}}$i {\$displaystyle$ \$ell _{$i$$} 및 모서리 ${\displaystyle {이면각\theta }_{}}$ i$${\$displaystyle \theta$ _${i}$를 갖는 다면체의 덴 불변량은 합이다^[10].

텐서로서의 구조는 기하학적으로 의미가 있는 추가 특성을 Dehn 불변량에게 부여한다.특히, 텐서 등급은 어떤 식으로든 최소 항 개수인 $\theta {\displaystyle }$θ ${\displaystyle \theta }$ $display$（ \ $displaystyle \ ell$ \otimes \$theta$）를$$ 가지고 있다.다면체의 모서리에 걸쳐서 합계로 표현되는 덴 불변의 표현은 정확히 이 형태를 가지기 때문에, 덴 불변의 순위는 주어진 ^[20]다면체의 해부에서 비롯되는 모든 다면체에 대해 가능한 최소 가장자리 수에 대한 하한을 부여한다.

Hamel 베이스 사용

덴 불변량에 대한 대체적이지만 동등한 설명은 모든 실수가$$B $요소$의 최종 다수의 합리적 배수의 합으로 고유하게 표현될 수 있도록 실수의 무한 부분 $집합{\displaystyle }$B(\$displaystyle$ B$)$인 하멜 베이시스 선택을 포함한다. 따라서 가법 $군$으로서 R.${\displaystyle$ \$mathbb$ {R}은$($는) Q$($$B)$ {\displaystyle$$$\mathbb {Q}$의 $복사$와 동형입니다$.$ B(\$displaystyle$ B$)$의 각 요소에 대해 1개의 합계를 갖는 직접 합산하여$$B(\$displaystyle$ B$)$가 다음과 같이 합리적으로 선택되는 $경우{\displaystyle }$.ents, $B {\$ {$style$ B$'$는 이 요소를 제외한 나머지 기본이고 텐서 곱${\displaystyle }$R${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle display\mathbb{}R\mathrm{}}$ / ${\displaystyle 2}$Z \$display \mathbb$ {R$} \otimes$\mathbb {R$}$/ $2\pi$ \$mathbb$ {Z$}$는 (무한차원) $벡터{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$이라고 할 수 있습니다$.$덴 불변량은 각 이면각 ${\displaystyle {\theta }_{}}$ i$\$ _${i}$를 유한한 기저 원소의 합으로 분해하여 나타낼 수 있다.

$여기$서 ${\displaystyle q_{}}$ i${\displaystyle {,}_{}}$ $(\$$displaystyle$ $q_{i,j$$}$는 합리적, $b{\displaystyle {}_i}$,$$(\$displaystyle b_{i,$j})는$$ Hamel 기준의 실수 중 하나이며, 이러한 기본 요소는$$b ${\displaystyle {i,}_{}}$ $(\$$displaystyle$$b_{i,0})$에 속하지만 B의 합리적인 배수가 $되도록{\displaystyle {}^{}}$ $번호$가 매겨집니다$.$$yle$ B$\text{'}\}.$ 이 분해와 함께, Dehn 불변량은R에서 어디에 각 ei, j{\displaystyle e_{i,j}}은 표준 단위 벡터(B′){\displaystyle \mathbb{R}^{(B의)}}나는, j{\displaystyle b_{i,j}은 기초 요소 b에 해당하는}. 금액이 여기서 j=1{\displaystyle j=1}에서, 용어 π의 합리적인 배수에 해당하는 생략하기 시작한다.[2.1]

하멜 기저 공식은 선택 공리를 포함하는 것으로 보이지만, 다면체의 ^[22]이면각에 의해$$Q(\$displaystyle \mathbb {Q})$에 걸쳐 $생성$된 유한 차원 벡터 공간에 대한 주의를 제한함으로써 (다면체의 특정 유한 집합을 고려할 때) 이를 피할 수 있다.이 대체 공식은 덴 불변량의 값이 실제 벡터 공간의 추가 구조를 제공할 수 있다는 것을 보여준다.

모서리 길이가 무한인 쌍곡선 다면체

쌍곡선 공간의 이상적인 다면체의 경우 모서리 길이가 무한하므로 덴 불변의 일반적인 정의를 적용할 수 없습니다.그럼에도 불구하고, Dehn 불변량은 정점을 잘라내기 위해 호로스피어를 사용하고, 이 잘라내기 과정에 의해 생성된 추가 모서리를 무시하고, 결과적으로 잘린 모양에 대해 일반적인 방법으로 Dehn 불변량을 계산함으로써 이러한 다면체로 확장될 수 있다.결과는 각 호로스피어가 주어진 ^[23]다면체의 하나의 정점만을 잘라내는 한 잘라내기 위한 호로스피어의 선택에 의존하지 않습니다.

실현 가능성

Dehn 불변량은 R${\displaystyle {}_{z\mathbb{}}}$ ${\displaystyle Z_{}\mathbb{}}$R / ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle z\mathbb{}}$ Z$,$ \$displaystyle \mathbb {R}$ \$otimes$ _${\mathbb {Z}\mathbb {R}$ /$2\pi \mathbb {Z}$의 값을 취하지만, 이 공간의 모든 원소가 폴리헤드의 Deed의 Deon 불변량으로 실현될 수 있는 것은 아니다.유클리드 다면체의 Dehn 불변량은 R${\displaystyle {}_r\mathbb{}}$Z ${\displaystyle R\mathrm{}}$ / ${\displaystyle 2\mathbb{}}$ ${\$ Z { $displaystyle \mathbb {R}$ \$otimes$ $\_{\displaystyle \mathbb{}}${\$mathbb {Z} }$ \$mathbb {$R$}$ / $2\pi$ \$mathbb$ {Z$\}$의 선형 부분 공간을 형성한다: 다면체의 다면체를 분해하여 Dehn 불변량을 더할 수 있다.g 다면체 모양의 구멍을 큰 입방체로 만들고, 다면체를 같은 수로 스케일링하여 임의의 스칼라로 덴 불변량을 곱합니다.$R{\displaystyle \mathbb{}{}_{z\mathbb{}}}$ ${\displaystyle Z_{}\mathbb{}}$R / ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle z\mathbb{}}$Z ,$$\$displaystyle \mathbb {R}$ \$otimes$ _${\mathbb {Z}$} \mathbb {$R}$ /$$${\displaystyle 2\mathbb{}}$ \$pi \mathbb {Z}$ ,$$（또는 $동등$하게 ${\displaystyle R_{}\mathbb{}}$ ${\displaystyle \otimes {}_{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbb{}}_{}}$/$$Z \$displaystyle \mathbbb${$$Z$}$ ） $_otimes$ _ ）의 어떤 요소인가 하는 질문입니다.ho는 그룹 호몰로지를 ^[24]포함하는 (벡터 공간이 아닌) 다음과 같은 짧은 아벨 그룹의 정확한 시퀀스의 존재를 보여주었다.

$여기$서, ${\displaystyle {표기법\mathrm{}}^{}}$P ( E${\displaystyle {}^{}}$3$$) ( \ $displaystyle$\$mathcal${ $P} }$ ( E$^{3$} )는 서로 해부할 수 있는 다면체의 쌍에서 파생된 유클리드 다면체 모듈로의 자유 아벨 군을 나타낸다.${\displaystyle \mathcal{Z}}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ )$$( \ $displaystyle${ \$mathcal$ { Z } （ $E^$ { $3$） ）는$$ 삼각 프리즘에 의해 이 그룹에서 생성된 부분군으로, 여기서 부피를 나타내기 위해 사용됩니다(각 실수는 이 그룹의 정확히 하나의 요소의 부피이기 때문에).다면체 군에서 R${\displaystyle {}_{z\mathbb{}}}$ $/$ Z \$displaystyle \mathbb {$R} \$otimes _{\$mathbb {$Z} } \mathbb${R}$/\mathbb$ {$Z} }$로의 지도는 덴 불변량이다.${\displaystyle \mathrm{SO}}$ ${\displaystyle (}$ ( $){$ $displaystyle \operatorname {SO}(3)$는 유클리드 점 회전군이고 $(\displaystyle$ H$)$는 군 호몰로지이다.부피와 덴 불변량이 유클리드 해리의 유일한 불변량이라는 시드러의 정리는 이 ${\displaystyle {시퀀스}_{}}$에 ${\displaystyle \mathrm{나타나는}}$ 군 H2${\displaystyle {}_{}}$($SO$ (${\displaystyle {}^{}}$3$$) ${\displaystyle ,}$ R 3 ) { $displaystyle$ H_{$2$}$(\operatorname {SO}$ (3) , $\mathbb$ {$R}$^{3} ) } } } { { { that$$ that that that that that that that that that that that that that that that that that that { { { { { that that { { { {만약 그것이 0이 아니라면, 다면체 그룹에 있는 그것의 이미지는 같은 부피의 입방체에는 해부할 수 없지만 덴 불변성이 0인 다면체 패밀리를 제공할 것이다.시드러의 정리에 따르면, 그러한 다면체는 ^[24]존재하지 않는다.

정확한 시퀀스의 오른쪽에 나타나는 $그룹{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {H1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle \mathrm{SO}}$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle 3}$) , ${\displaystyle {}^{}}$3$$) ( \ $displaystyle H_{1}$ ( \$operatorname${ $SO }$ ($3$ ) , \ $mathbb${$R$} ^ {3} $)$은 그룹 ${\displaystyle {\delta \mathbb{}}_{}^{}}$ R ${\displaystyle {/}_{}^{}}$ ${\displaystyle Q_{\mathrm{}}^{}}$ 1$$( \ $displaystyle$\ $Omathbb { R$} ) { \ mathbbb } { Q } { $mathb$} {$Q$} 와 동형상입니다.d 켈러 차이에 대한 각도는 다음과 같다.

$여기$서$$d {\$displaystyle$d}는${\displaystyle {\delta \mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle R_{\mathrm{}}^{}}$ / Q$$1 ${\displaystyle$ \$Omega _{\mathbb${R}$/\mathbb$ {$Q$1$}$의 유니버설 파생입니다.이 ${\displaystyle {그룹\mathrm{}}_{}}$ H${\displaystyle {}_{}}$1(SO${\displaystyle \mathrm{\delta }}$ (${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ) ,${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3) $=$ ${\displaystyle {\delta }_{}^{}}$R /$$ 1({$displaystyle H_{$1} (\$operatorname${SO$}(3),\mathbb {R}$^{3}=\$Omega$ _${\mathbb {R} /\mathbb {Q}$}$^{1$})은 실현 불가능한 장애물이다.덴$불변량$으로 실현할 수 $없는$ }^[25] /\mathbb$$ {Z$}$ }입니다$.$

쌍곡선 또는 구면 공간에서는 스칼라 곱셈이 더 이상 가능하지 않기 때문에 실현 가능한 덴 불변량이 반드시 벡터 공간을 형성하지는 않는다.그러나, 이들은 여전히 텐서 곱의 부분군을 형성하고 있으며, 이 부분군은 원소이다.마찬가지로 Dupont와 Sah는 정확한^[24] 시퀀스의 존재를 증명한다.

그리고.${\displaystyle \mathrm{여기}}$서$$SL(\$displaystyle \operatorname {SL})$은 특수한 선형군을 ${\displaystyle \mathrm{나타내고}}$, SL ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$)(\$displaystyle \operatorname {SL}$ ($2,\mathbbb${C$}))$은 뫼비우스 변환군이며, 위첨자 마이너스 부호는 결합에 의해 유도되는 복합체의 (-1)-eigenspace를 나타낸다.${\displaystyle }$SU$(\displaystyle \operatorname {SU})$는 특수 유니터리 그룹을 나타냅니다.$P{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$) /$$ ( \ $display$ style \$mathbb { Z$ / Z$$ ( \ $display$ style \ $mathcal${ P$$} ) / \ $mathbb${ $Z }$의 $부분군$은 ^[24]구 전체가 생성하는 군이다.다시 말씀드리지만, 이들 시퀀스에서 가장 오른쪽이 0이 아닌 그룹은 Dehn 불변량으로서 R${\displaystyle {}_{z\mathbb{}}}$ ${\displaystyle Z_{}\mathbb{}}$/$$ \$displaystyle \mathbb {Z}$ \$otimes$ _${\mathbb {Z} }$ \$mathbb {$R} /\mathbb {Z} $}$의 값을 실현하는 데 장애가 됩니다.

덴 불변량에 대한 이 대수적 관점은 더 높은 차원으로 확장될 수 있으며, 여기서 그것은 대수적 K 이론을 ^[13]포함하는 동기적 해석을 가지고 있다.

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덴 불변량과 매우 유사한 접근방식을 사용하여 (임의의 각도와 회전에서의 절단 대신) 축-병렬 절단 및 변환만을 사용하여 두 개의 직선 폴리곤을 서로 절단할 수 있는지 여부를 결정할 수 있다.이러한 종류의 절개의 불변량은 텐서 $곱{\displaystyle \mathbb{}}$ R$$ ${\displaystyle Z_{}\mathbb{}}$ R \$displaystyle \mathbb {R}$ \$otimes$ _${\mathbb {Z} }\mathbb {R}$을 사용한다$$.여기서 곱의 좌우 항은 ^{[26][18][27][22][20]}직사각형의 높이와 폭을 나타낸다.주어진 폴리곤에 대한 불변성은 폴리곤을 직사각형으로 자르고 각 직사각형의 높이와 너비의 텐서 곱을 취하여 결과를 더함으로써 계산됩니다.두 폴리곤이 동일한 불변성을 갖는 경우에만 해부가 가능하며, 이는 두 폴리곤의 ^[20]면적도 동일함을 의미합니다.이 불변량을 사용하여 동일한 면적의 두 직사각형은 가로 세로 비율이 ^{[26][18][27][22]}서로 합리적인 배수인 경우에만 서로 해부할 수 있다는 것을 증명할 수 있습니다.따라서 $n개의$$$사각형 $결합$으로 이루어진 폴리오미노는$n개$의 사각형$결합$이 정사각형일 $때$만 이러한 방식으로 해부할 수 있습니다.덴 불변성의 이 버전에서 텐서 순위는 다각형을 ^[20]해부할 수 있는 최소 직사각형 수와 같다.

유연한 다면체는 얼굴의 모양을 보존하는 연속적인 운동을 할 수 있는 다면체의 한 종류이다.코시의 강성 정리에 따르면, 그것들은 볼록하지 않아야 하며, 다면체의 부피는 이 운동 내내 일정해야 한다는 것이 알려져 있다.이 정리의 더 강력한 버전은 그러한 다면체의 덴 불변량 또한 연속 운동 내내 불변하게 유지되어야 한다는 것이다.이 결과를 "강력 벨로우즈 정리"라고 합니다.그것은 모든 비자기 교차 유연 ^[28]다면체에 대해 증명되었다.그러나 자기 교차가 있는 더 복잡한 유연 다면체의 경우, 다면체가 ^[29]휘어짐에 따라 덴 불변량이 지속적으로 변할 수 있다.

다면체 표면의 총 평균 곡률은 모서리 길이의 가장자리에 대한 합계에 외부 이면체 각도를 곱한 값으로 정의되었습니다.따라서 (합리각이 없는 다면체의 경우) 이것은 덴 불변량에 대한 완전한 정보를 제공하지는 않지만 덴 불변량의 선형 함수이다.굴곡 다면체에 ^[30]대해 일정하게 유지된다는 것이 증명되었습니다.

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• 넘버파일에 대한 덴 불변성에 대한 비디오