힐버트의 세 번째 문제

1900년에 제시된 힐버트의 수학 문제 목록 중 세 번째가 가장 먼저 풀린 문제였다.문제는 다음의 질문과 관련이 있다: 동일한 부피의 두 다면체를 고려할 때, 두 번째를 산출하기 위해 재조립할 수 있는 다면체를 미세하게 많이 자르는 것이 항상 가능한가?칼 프리드리히 가우스의 앞선 글을 바탕으로 데이비드 힐버트는 이것이 항상 가능한 것은 아니라고 추측했다.^[1]이는 그의 제자 맥스 딘에 의해 연내에 확인되었는데, 그는 백작샘플을 제작하여 일반적으로 정답이 '아니오'라는 것을 증명하였다.^[2]

2차원의 폴리곤에 대한 유사한 질문에 대한 답은 "그렇다"이고 오랫동안 알려져 있었다. 이것이 월리스-볼라이-게르비엔 정리다.

힐베르트와 덴에게 알려지지 않은 힐베르트의 세 번째 문제 역시 브와디스와프 크레트코프스키가 크라쿠프의 예술과학 아카데미에 의해 1882년의 수학 경연대회를 위해 독자적으로 제안했고, 루드윅 안토니 비르켄마예르가 딘과는 다른 방법으로 해결했다.비르켄마이어는 그 결과를 발표하지 않았고, 그의 해법이 담긴 원본 원고는 수년 후 재발견되었다.^[3]

역사와 동기

피라미드의 부피에 대한 공식은

${\displaystyle {\frac {{\text{base area}\cHB{\text}}{3},}$

유클리드에게 알려져 있었지만, 그것에 대한 모든 증거는 어떤 형태의 제한 과정이나 미적분학, 특히 탈진 방법이나 보다 현대적인 형태의 카발리에리의 원리를 포함한다.평면 기하학의 유사한 공식은 더 기본적인 수단으로 증명될 수 있다.가우스는 크리스천 루드비히 게를링에게 보낸 편지에서 이 결함을 후회했는데, 그는 두 개의 대칭 4면체자가 동일하다는 것을 증명했다.^[3]

가우스의 편지는 힐베르트의 동기였다: 기본적인 "절편과 글루" 방법을 사용하여 볼륨의 평등을 증명하는 것이 가능한가?그렇지 않다면 유클리드 결과에 대한 기본적인 증거도 불가능하기 때문이다.

딘의 대답

딘의 증거는 기하학에서 불가능한 결과를 증명하기 위해 추상 대수학을 사용하는 예다.다른 예로는 큐브를 두 배로 늘리고 각도를 세로로 구분하는 것이다.

첫 번째 다면체를 미세하게 많은 다면 조각으로 자르면 두 번째 다면체를 생산하기 위해 다시 조립할 수 있다면 두 개의 다면체를 가위 결합체라고 부른다.어떤 가위 겸용 다면체 두 개라도 같은 부피를 가지고 있다.힐버트는 그 반전에 대해 묻는다.

모든 다면체 P에 대해 딘은 다음과 같은 속성을 가진 현재 딘 불변체 D(P)로 알려진 값을 정의한다.

• P를 한 면 절단된 두 다면체 P와₁ P로₂ 자르면 D(P) = D(P₁) + D(P₂)로 자른다.

이로부터 그것은 다음과 같다.

• P를 n 다면체 P₁, ..., P로_n 자르면 D(P) = D(P₁) + ... + D(P_n)

그리고 특히

• 만약 두 개의 다면체가 가위 겸용이라면, 그들은 같은 Dehn 불변제를 가지고 있다.

그리고 나서 그는 모든 정육면체는 0이 아닌 딘 불변성을 가지고 있는 반면, 모든 정육면체는 0이 아닌 딘 불변성을 가지고 있다는 것을 보여준다.이것으로 문제가 해결되었다.

다면체의 불변성은 가장자리의 길이와 얼굴 사이의 각도에 기초하여 정의된다.다면체를 둘로 자르면, 일부 가장자리는 둘로 자르고, 따라서 Dehn 불변제에 대한 해당 기여는 가장자리 길이에 첨가되어야 한다.마찬가지로 다면체를 가장자리를 따라 자르면 해당 각도가 둘로 자른다.그러나, 일반적으로 다면체를 자르는 것은 새로운 가장자리와 각도를 도입한다; 우리는 이것들의 기여가 취소되도록 할 필요가 있다.소개된 두 각도는 항상 π에 합산된다. 따라서 우리는 angles의 각도의 배수가 0의 순 기여를 하도록 우리의 Dehn 불변성을 정의한다.

위의 요건들은 모두 우리가 D(P)를 실제 숫자 R의 텐서 곱과 quot의 모든 합리적인 배수가 0인 지수 공간 R/(Qq)의 요소로 정의한다면 충족될 수 있다.현재 목적상, 이것을 Z-모듈(또는 아벨 그룹과 동등하게)의 텐서 제품으로 간주하는 것으로 충분하다.그러나 역의 증거가 더 까다로울수록(아래 참조) 벡터 공간 구조를 이용한다.두 요인 모두 Q 이상의 벡터 공간이기 때문에 Q를 넘겨받는 텐서 제품이 가능하다.

ℓ(e)는 가장자리 e의 길이, θ(e)는 라디안 단위로 측정한 e에서 만나는 두 얼굴 사이의 이면각이 되도록 한다.Dehn 불변제는 다음으로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {D}(P)=\sum _{e}\ell(e)\otimes(\theta(e)+\mathb {Q}\pi )}$

다면체 P의 모든 가장자리 e를 합한 값그것은 가치평가다.

추가정보

위의 딘의 정리에 비추어 볼 때, 사람들은 "어느 다면체가 가위 겸용인가"라고 물을지도 모른다.시들러(1965)는 같은 부피와 같은 딘 불변제를 가지고 있는 경우에만 두 개의 다면체가 가위를 합친다는 것을 보여주었다.^[4]보르게 제센은 나중에 시들러의 결과를 4차원으로 확장시켰다.^{[citation needed]}1990년 듀퐁과 사는 시들러의 결과를 특정 고전 집단의 호몰로지(homology)에 대한 정리로서 재해석함으로써 보다 간단한 증거를 제공하였다.^[5]

데브루너는 1980년 3차원 공간을 주기적으로 타일링할 수 있는 모든 다면체의 딘 불변성이 0이라는 것을 보여주었다.^[6]

제센은 또한 제센의 결과의 아날로그가 구형 기하학과 쌍곡 기하학에 대해 사실 그대로 유지되는지에 대한 의문을 제기했다.이러한 기하학에서 딘의 방법은 계속 작용하고 있으며, 두 개의 다면체가 가위 겸용일 때 딘의 불변량이 동일하다는 것을 보여준다.그러나 이러한 기하학적 구조에서 동일한 부피와 동일한 Dehn 불변성을 가진 다면체 쌍이 항상 가위-융합성체인지 여부는 여전히 공공연한 문제로 남아 있다.^[7]

원문

힐버트의 원래 질문은 더 복잡했다: 베이스 면적과 높이가 같은 두 개의 4면체 T와₁ T를₂ 고려할 때, 항상 한정된 수의 4면체를 찾을 수 있는가? 그래서 이 4면체를 T에₁ 어떤 식으로든 붙여서 T에 붙일 때, 또한 T에₂ 붙일 때, 결과적인 다면체는 가위결합이 가능한가?

딘의 불변성은 이 더 강한 물음에 대해서도 부정적인 대답을 내놓는데 사용될 수 있다.

참고 항목

• 힐 사면체
• 오노라토니콜레티

참조

추가 읽기

• Benko, D. (2007). "A New Approach to Hilbert's Third Problem". The American Mathematical Monthly. 114 (8): 665–676. doi:10.1080/00029890.2007.11920458.
• Schwartz, Rich (2010). "The Dehn–Sydler Theorem Explained" (PDF). {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)
• Koji, Shiga; Toshikazu Sunada (2005). A Mathematical Gift, III: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra. American Mathematical Society.

외부 링크

• 모든 것에 대한 딘의 정리 증명2
• Weisstein, Eric W. "Dehn Invariant". MathWorld.
• Everything2의 Dhn Invariant
• Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Dehn invariant", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press