힐버트의 열한번째 문제

힐버트의 열한 번째 문제는 1900년 파리에서 열린 제2차 국제 수학자 회의에서 제기된 데이비드 힐버트의 열린 수학 문제 목록 중 하나이다.이차적 형식 이론의 추가로서, 그는 그 문제를 다음과 같이 기술했다.

2차적 숫자장 이론에 대한 우리의 현재 지식은 우리를 어떤 수의 변수와 대수적 숫자 계수를 가지고 2차적 형태 이론을 성공적으로 공격할 수 있는 위치에 놓이게 한다.이것은 특히 흥미로운 문제로 이어진다: 계수에 의해 결정되는 합리성의 대수적 영역에 속하는 적분수 또는 분수수 단위로 임의의 수의 변수에 대수적 수치 계수로 주어진 2차 방정식을 푸는 것이다.^[1]

카플란스키가 말한 바와 같이, "11번째 문제는 단순히 대수적 수 분야보다 2차적 형태를 분류하는 것이다."이것은 정확히 민코프스키가 부분 계수를 가진 2차적 형태를 위해 한 것이다.2차 방정식(이차 방정식이 아님)은 각 항이 정확히 두 번 나타나는 변수를 갖는 모든 다항식이다.그러한 방정식의 일반적인 형태는 도끼² + bxy + cy이다². (모든 계수는 정수여야 한다.)

주어진 이차적 형식은 변수에 특정 숫자를 대입하면 자연수를 나타낸다고 한다.가우스와 뒤따르는 사람들은 우리가 특정한 방식으로 변수를 바꾸면, 새로운 2차적 형태는 옛 것과 같은 자연수를 나타냈지만, 다른, 보다 쉽게 해석되는 형태로 나타난다는 것을 발견했다.그는 숫자 이론 결과를 증명하기 위해 등가 2차적 형태의 이 이론을 사용했다.예를 들어, 라그랑주는 어떤 자연수라도 네 제곱의 합으로 표현할 수 있다는 것을 보여주었다.가우스는 ${\displaystyle {2차\mathrm{}}^{}}$ $w{\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ z ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ w$^{2}+x^{2}+y$^{2}+y$^{2}+z^{2$}}이$$ 모든$$자연수를 나타낸다는 것을 보여주면서 동등성 관계^{[citation needed]} 이론을 사용하여 이를 증명했다.앞서 언급했듯이, 민코프스키는 분수를 계수로 하는 2차 형태에 대해 유사한 이론을 만들어 증명했다.힐버트의 열한번째 문제는 비슷한 이론을 요구한다.즉, 한 형태가 다른 형태와 동등하지만 계수가 대수적 숫자가 될 수 있는 경우에는 구별할 수 있는 분류 방식이다.헬무트 하세는 1920년 10월 p-adic 시스템에서는 그의 지역적-지구적 원리와 이론이 비교적 단순하다는 사실을 이용한 증거로 이것을 성취했다.그는 1923년과 1924년에 그의 작품을 출판했다.Hasse 원칙, Hasse-Minkowski 정리 참조.지역-글로벌 원칙은 합리적인 수나 심지어 모든 합리적인 숫자에 대한 일반적인 결과가 p-adic 숫자 시스템 각각에 대해 사실인지 확인함으로써 종종 확립될 수 있다고 말한다.

힐버트의 열한번째 문제에서 정수를 2차적 형태로 나타낼 수 있는 경우를 연구하는 것에 대한 최근의 연구도 있다.그 예가 코그델, 피아테츠키샤피로, 사르낙의 작품이다.^[2]

참고 항목

• 힐베르트의 문제

메모들

참조

• 얀델, 벤자민 H.아너스 클래스: 힐버트의 문제와 그 해결사들.나틱: K 피터스.인쇄하다