디니 테스트

수학에서 Dini와 Dini-Lipschitz 테스트는 함수의 푸리에 시리즈가 주어진 지점에서 수렴한다는 것을 증명하는 데 사용할 수 있는 고도로 정밀한 테스트다.이 시험들은 울리세 디니와 루돌프 립스키츠의 이름을 따서 명명되었다.^[1]

정의

f를 [0,2π]의 함수가 되게 하고, 어느 정도 포인트가 되게 하고 Δ를 양수가 되게 한다.다음 기준점 t에 대한 국소 연속성 계수를 정의한다.

$왼쪽.\right.\\omega _{f}(\f't')=\max _{ \bar렙실론 \leq \req \req \ \ }f(t+\varepsilon ) }}$

여기서 f를 주기 함수로 간주한다는 점에 유의하십시오. 예를 들어 t = 0이고 ε이 음수인 경우 f(ε) = f(2π + ε)를 정의한다.

글로벌 연속성 계수(또는 단순히 연속성 계수)는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \omega _{f}(\f)=\max_{t}\max_{t}\omega_{f}(\foss't)}$

이러한 정의로 주요 결과를 설명할 수 있다.

정리(디니의 검사):함수 f가 다음 지점에서 충족된다고 가정한다.

${\dapplaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\buffer }\omega _{f}(\buffer ;t)\,\mathrm {d} \buffect <\infully .}$

그러면 f의 푸리에 시리즈가 t에서 f(t)로 수렴된다.

예를 들어, 정리 ωf)log−2(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output을 지지하지 않는다. .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/δ)지만.sfrac log−1(1/δ)에 동의하지 않는다.

정리(Dini-Lipschitz 테스트):함수 f가 만족한다고 가정함

${\displaystyle \omega _{f}(\flock )=o\left(\log {\frac {1}{\fract }}}{\오른쪽)^{-1}.}$

그러면 f의 푸리에 시리즈는 균일하게 f로 수렴된다.

특히 쾰더 클래스의^{[clarification needed]} 어떤 기능도 Dini-Lipschitz 테스트를 만족시킨다.

정밀도

두 시험 모두 그 종류 중 최고다.Dini-Lipschitz 테스트의 경우, o 대신 o로 시험을 만족하는 연속성 계수로 함수 f를 구성할 수 있다.

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}}오른쪽)^{-1}.}$

푸리에 시리즈 f 디바이드.Dini 테스트의 경우 정밀도 문장이 약간 더 길다. 즉, 모든 함수 Ω에 대해 다음과 같이 말한다.

${\dapplaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}}\\frac {1}{\delta (\delta )\,\mathrm {d} \delta =\infully }$

다음과 같은 함수가 있다.

${\displaystyle \omega_{f}(\delta ;0)<\Oomega(\delta )}$

푸리에 시리즈 f는 0에서 갈라진다.

참고 항목

• 푸리에 시리즈의 융합
• 디니 연속성
• 디니 기준

참조