진자(메트릭)

속도 및 가속도 벡터를 보여주는 진자 애니메이션.

추는 중력의 영향을 받아 앞뒤로 자유롭게 흔들릴 수 있도록 고정된 지지대에 매달린 물체입니다.진자가 정지된 평형 위치에서 옆으로 이동하면, 진자는 다시 평형 위치로 가속되는 중력에 의해 복원력을 받게 된다.해제될 때, 진자의 질량에 작용하는 복원력은 진자를 평형 위치에서 진동시켜 진자를 앞뒤로 흔들게 합니다.진자의 수학은 일반적으로 상당히 복잡하다.단순 진자의 경우 소각 진동에 대해 운동 방정식을 해석적으로 풀 수 있는 단순한 가정을 할 수 있다.

단순 중력 진자

단순 중력^[1] 진자는 실제 ^[2]^[3]^[4]진자의 이상적인 수학적 모델이다.이것은 마찰 없이 피벗에 매달려 있는 무질서한 코드 끝에 있는 추(또는 단발)입니다.이 모델에서는 마찰 에너지 손실이 없기 때문에 초기 변위가 주어지면 일정한 진폭으로 앞뒤로 흔들립니다.이 모델은 다음 가정을 기반으로 합니다.

밥이 흔들리는 로드 또는 코드는 질량이 없고 신축이 불가능하며 항상 팽팽한 상태를 유지합니다.
단발은 포인트 매스입니다.
운동은 2차원에서만 발생합니다. 즉, 밥은 타원을 추적하지 않고 호를 추적합니다.
이 동작은 마찰이나 공기 저항에 의해 에너지를 잃지 않습니다.
중력장은 균일하다.
서포트가 움직이지 않는다.

단순 진자의 운동을 나타내는 미분 방정식은 다음과 같다.

{d^{2}\theta }{dt^{2}}+{\frac {g}{\ell}}}\sin \theta = 0

(제1호)

$여기$ 서 g는 중력장의 크기, $θ$ 는 막대 또는 코드의 길이, $θ$ 는 수직에서 진자까지의 각도이다.

(Eq.1)의 "강제" 파생

그림 1단순 중력 진자의 힘 다이어그램.

오른쪽의 그림 1을 보면 단순한 진자에 작용하는 힘이 나타난다.진자의 경로가 원의 호를 쓸어낸다는 점에 유의하십시오.각도 $θ$ 는 라디안 단위로 측정되며, 이는 이 공식에 매우 중요합니다.파란색 화살표는 밥에 작용하는 중력이고, 보라색 화살표는 밥의 순간 움직임에 평행하고 수직인 성분으로 분해되는 힘과 동일합니다.밥의 순간 속도 방향은 항상 빨간색 축을 따라 가리키며, 이 방향은 항상 원에 접하기 때문에 접선 축으로 간주됩니다.뉴턴의 제2법칙을 생각해 보세요

F=ma

여기

서 F는 물체에 가해지는 힘의

합계

, m은 질량,

a

는 가속도입니다.우리는 속도의 변화에만 관심이 있고, 밥은 원형 경로에 머물러야 하기 때문에 뉴턴의 방정식을 접선 축에만 적용합니다.짧은 보라색 화살표는 접선 축에서 중력의 성분을 나타내며 삼각법을 사용하여 크기를 결정할 수 있습니다.따라서,

디스플레이 스타일F&=-mg\sin \theta = ma,\qquad {text {so}\a&=-g\sin \theta,\end {aligned}}

여기

서 g는 지구 표면 근처의 중력에 의한 가속도이다.오른쪽에 있는 음의 부호는

and

과

항상

반대 방향을 가리키고 있다는 것을 의미합니다.진자가 왼쪽으로 더 흔들릴 때, 우리는 진자가 오른쪽으로 다시 가속될 것으로 예상하기 때문에 이것은 말이 된다.

이 적색 축을 따른 선형 $가속도$ a는 호 길이 공식에 의한 각도 $θ$ 의 변화와 관련이 있을 수 $있습니다$ . s는 호 길이입니다.

{displaystyle}s&=\ell \theta,\v&=black {ds}{dt}=\ell {frac {d\theta},\a&=black {d^{2}s}{dta},{dta}}},{dt}=\ell {dt},{dt

다음과 같이 됩니다.

{d^{2}\ell {dt^{2}\theta}&=-g\sin \theta,\{\frac {d^{2}\theta}+{\frac {g}{\ell}}}\sin \ta=0}.\end { aligned}

(eq.1)의 '토크' 파생

식 (1)은 토크에 대한 두 가지 정의를 사용하여 구할 수 있습니다.

(\displaystyle {\boldsymbol {r}=\mathbf {r}\times \mathbf {F}=sqfrac {d\mathbf {L} }{dt}}).}

먼저 중력에 의한 힘을 사용하여 진자 밥의 토크를 정의한다.

{\boldsymbol {\mathbf {l} \times \mathbf {F} _{\mathrm {g}}

여기

서 l은 진자의 길이

벡터

이고_g F는 중력에 의한 힘이다.

지금은 진자에 가해지는 토크의 크기를 생각해 보세요.

(\displaystyle\boldsymbol\thea}) =-mg\ell\sin\theta,

여기

서 m은 진자의 질량,

g

는 중력에 의한 가속도,

l

은 진자의 길이,

θ

는 중력에 의한 힘 사이의 각도이다.

다음으로 각운동량을 다시 씁니다.

\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =m\mathbf {r} \times {\boldsymbol \mega }} \times \mathbf {r} 。}

다시 각운동량의 크기를 고려해보세요.

\mathbf {L} =mr^{2}\omega =m\ell^{2}{\frac {d\theta}{dt}}.

그리고 그 시간 미분

({displaystyle {d} {dt}} \mathbf {L} =m\ell ^{2}{\frac {d^{2}\theta}})

τ에 따르면).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 졸.Id}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}dL/dt, 우리는 크기를 비교해서 얻을 수 있다.

{\displaystyle -mg\ell \sin \theta = m\ell ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},

다음과 같이 됩니다.

{d^{2}\theta }{dt^{2}}+{\frac {g}{\ell}}}\sin \theta = 0,

힘 분석을 통해 얻은 것과 같은 결과입니다.

(Eq.1)의 "에너지" 유도

그림 2단순 중력 진자의 삼각법.

또한 기계적 에너지 원리를 보존하여 얻을 수 있습니다. 수직 $거리$ h $(\displaystyle$ h $)$ 로 $h$ 떨어지는 물체는 추락으로 손실된 것과 동일한 운동 에너지를 얻을 수 있습니다.즉, 중력 위치 에너지는 운동 에너지로 변환됩니다.위치 에너지의 변화는 다음과 같습니다.

(\displaystyle\Delta U=mgh)

운동 에너지의 변화(정지 상태에서 시작된 신체)는 다음과 같이 주어진다.

\Delta K=mvtfrac {1}{2}}mv^{2}.

에너지가 손실되지 않기 때문에 한쪽의 이득은 다른 한쪽의 손실과 같아야 한다.

{1}{2}}mv^{2}=mgh.

주어진 높이 변화에 대한 속도 변화는 다음과 같이 표현될 수 있다.

({displaystyle v=syslogrt {2gh})}

위의 호 길이 공식을 사용하여 이 방정식을 $dµ / dt$ 단위로 다시 작성할 수 있습니다.

{d\theta}v=\ell {frac {d\theta}{dt}}, \frac {d\theta}{dt}}, \frac {dt}}, \end{aligned}}

여기

서 h는 진자가 떨어진 수직 거리입니다.단순한 진자의 삼각법을 보여주는 그림 2를 보세요.진자가 초기 각도

θ

에서₀ 스윙을 시작하면

나사로

부터의₀ 수직 거리인 y는 다음과 같이 주어진다.

y_{0}=\ell \cos \theta _{0}.

마찬가지로, y의 $경우 1$ ,

\displaystyle y_{1}=\ell \cos \theta .}

$그럼$ h는 두 가지 차이입니다

\displaystyle h=\ell \left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\오른쪽).}

$d // dt$ give의 관점에서

{{displaystyle {d\theta}{dt}}=sqrt {\frac {2g}{\ell}}}(\cos \theta -\cos \theta _{0}})}

(제2호)

이 방정식은 운동의 첫 번째 적분으로 알려져 있으며, 위치 측면에서 속도를 제공하며 초기 변위(θ)와 $관련$ 된₀ 적분 상수를 포함합니다.가속도를 얻기 위한 시간과 관련하여 체인 규칙을 적용하여 차별화할 수 있습니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{d}{dt}}{\frac{d\theta}{dt}}&={\frac{d}{dt}}{\sqrt{{\frac{등}{\ell}}\left(\cos\theta -\cos \theta_{0}일 경우 \right)}},\\{\frac{{2d^}\theta}{dt^{2}}}&={\frac{1}{2}}{\frac{-{\frac{등}{\ell}}\sin\theta}{\sqrt{{\frac{등}{\ell}}(\cos\theta -\cos \theta_{0})}}}{\frac{d\theta}{dt}}\\&^{\fra.c{1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell}}\sin \theta }{\frac {2g}{\ell}}}{\cos \theta -\cos \theta _{0}}}{\cos rt {\frac {2g}{\ell}}}}}{\fracrac {-{\cos\t {g}}{\frac}{\frac}}}{\frac}}}}{\frac}{\frac}}{\frac}}}}}{\frac}}

힘 분석을 통해 얻은 것과 같은 결과입니다.

소각 근사

사인 함수에 대한 작은 각도 근사:

0

이면

sin

을

구한다 .

위의 미분방정식은 쉽게 풀리지 않으며, 기초함수로는 쓸 수 있는 해법이 없다.그러나 진동 진폭의 크기에 제한을 가하면 해답을 쉽게 얻을 수 있는 형태를 얻을 수 있습니다.각도가 1 라디안(종종 0.1 라디안 미만, 약 6°)보다 훨씬 작다고 가정할 경우, 또는

{\displaystyle\theta\l 1,}

작은 각도 근사치를 사용하여 sin θ를 Eq.1로 대체한다.

(\displaystyle \sin \theta \about \theta , )

고조파 발진기에 대한 방정식을 산출합니다.

{d^{2}\theta }{dt^{2}}+{\frac {g}{\ell }}}\theta = 0.

근사값으로 인한 오차는 (Sin $θ$ 에 대한 Taylor 확장에서) $차수 3$ (이다.

시작 각도를 $θ$ 로₀ 합니다.만약 진자가 0의 각 속도로 방출된다고 가정하면, 해답은 다음과 같이 된다.

$\displaystyle \theta (t)=\cos \leftrt \frac {g} {\ell }}, t\right\displays \temp \temp \theta _{0} \llll 1.$

운동은 단순한 고조파 운동으로, 여기서 $θ$ 는₀ 진동의 진폭(진자의 로드와 수직 사이의 최대 각도)입니다.해당하는 움직임의 대략적인 주기는 다음과 같습니다.

$\displaystyle T_{0}=2\pi\pi\pi\displaystyle\frac\ell}{g}\display\display\t \theta_{0}\llll 1$

크리스티아안 호이겐스의 법칙으로 알려져 있다.작은 각도 근사에서는 주기가 진폭 $θ$ 와₀ 독립적이라는 점에 유의하십시오. 이것은 갈릴레오가 발견한 등시성의 특성입니다.

진자 길이에 대한 경험칙

({displaystyle T_{0}=2\pi}{frac}{g}})

주다

\ell = flac {g} {\pi ^{2}} {\frac {T_{0} {{2}} {4}}.

SI 단위를 사용하고(즉, 미터와 초 단위로 측정) 지구 표면에서 측정이 수행된다고 가정하면 $g 9$ 9. $81m/s 2$ , $g // 1 1m/s 22$ (0.994는 소수점 3자리까지의 근사치)이다.

따라서 길이와 기간에 대한 비교적 합리적인 근사치는 다음과 같습니다.

{{displaystyle}{begin{aligned}\ell & 약 {frac {T_{0}^2}}{4},\\\T_{0}&\약 2 {\sqrt {\ell }}\end {aligned}}

여기

서₀ T는 두 박자 사이의 초수(스윙의 각 측면에 대해 한 박자)이고, l은 미터로 측정됩니다.

임의 진폭 주기

그림 3진자의 "참" 주기와 주기의 소각 근사치의 편차."True" 값은 타원 적분을 평가하여 수치적으로 구했습니다.

그림 4해당 기간의 멱급수를 사용한 상대 오류입니다.

그림 5단순한 진자의 위치 에너지 및 위상 초상화.각도의 x축은 2µ 라디안 뒤에 감깁니다.

작은 각도 근사치를 초과하는 진폭의 경우 에너지 방법(Eq.2)에서 얻은 각 속도에 대한 방정식을 먼저 반전시켜 정확한 주기를 계산할 수 있다.

{d\theta} = {\frac {1} {\cos \theta -\cos \theta _{0}

하나의 완전한 사이클에 걸쳐 통합되고,

(\displaystyle T=t(\theta _{0}\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}),}

반주기의 2배 또는 2배

(\displaystyle T=2t(\theta _{0}\right 화살표 0\right 화살표 -\theta _{0}),}

4분기 사이클의 4배 또는

(\displaystyle T=4t(\theta _{0}\오른쪽 화살표 0),}

그 결과

T=4{\sqrt {frac {ell } {2g}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta } {\cos \theta }} {\cos \theta _{0}}}}.

이 적분은 $θ$ 가₀ 수직에 가까워짐에 따라 분산된다는 점에 유의하십시오.

\displaystyle \lim _{\theta _{0}\to \pi }T=\infty ,}

따라서 수직이 되기 위한 적절한 에너지를 가진 추는 실제로 그곳에 도달하지 못할 것이다. (반대로, 최대치에 가까운 추는 떨어지는 데 임의로 오랜 시간이 걸릴 수 있다.)

이 적분은 타원 적분의 관점에서 다음과 같이 다시 쓰여질 수 있다.

\displaystyle T=4{\sqrt\frac {ell }{g}}F\left({\frac {pi } {2}},\sin(\frac {theta _{0}} {2}}\right)

여기

서 F는 다음과 같이 정의된 첫 번째 종류의 불완전한 타원 적분이다.

F(\varphi,k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {du}{\sinrt {1-k^{2}u}},

또는 치환에 의해 보다 간결하게

(*displaystyle \sin {u}=sin frac {frac {theta } {2}} {\sin {frac {theta _ 0} {2}})

in

를 ,로 표현하면

$T=black {2}T_{0}}{\pi }K(k),\qquad {text{where}}\sin(\frac {theta _{0}}{2})$ 문제 3

$여기$ 서 K는 다음과 같이 정의된 첫 번째 종류의 완전한 타원 적분이다.

K(k)=F\left({\frac {pi }{2},k\right)=\int _{0}^{\frac {pi }{2}{\frac {du}{\frac rt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}},

전체 용액에 대한 근사치를 비교하기 위해 초기 각도 10도에서 지구 길이 1m의 진자( $g$ = 9.80665m/s²)의 주기는 다음과 같다.

(\displaystyle 4{\sqrt {1\text{m}}{g}}\K\left(\sin {10^{\circ}}{2}}\right)\약 2.0102{\text{s}}}).}

선형 근사는 다음을 나타낸다.

(\displaystyle 2\pi\frac {1\text{m}}{g}} 약 2.0064개의 텍스트.}

두 값 사이의 차이는 0.2% 미만이며 지리적 위치에 따른 $g$ 의 변동으로 인해 발생하는 값보다 훨씬 작습니다.

여기서부터 타원 적분을 계산하는 많은 방법이 있다.

타원 적분에 대한 Legendre 다항식 해

주어진 Eq.3과 타원 적분에 대한 Legendre 다항식 해:

K(k)=frac {{pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty}\leftfrac {(2n-1)!}{(2n)!!}k^{n}\right)^{2}

여기

서 n

!!

이중 계수를 나타내며, 단순 진자의 주기에 대한 정확한 해법은 다음과 같다.

{\displaystyle\alignat}{2}T&=2\pi {frac {frac } {g}\left(1+\leftfrac {1} {2}\sin ^{2} {\frac {1\cdot 3} {2\cdot 4}} {\frcd} ^2} {\sin}\&=2\pi {frac}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left(\left\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}\right)^{2}\cdot\sin^{2n}{\frac({theta_{0}}{2}}\right.\end {alignedat}}

그림 4는 전원 시리즈를 사용한 상대 에러를 나타내고 있습니다. $T$ 는₀ 선형 $근사$ 이며₂, T에서 $T$ 는₁₀ 각각 2승에서 10승까지의 항을 포함한다.

타원 적분에 대한 멱급수 솔루션

상기 용액의 또 다른 배합은 다음의 Maclaurin 시리즈에 의해 확인할 수 있습니다.

({displaystyle \sin {frac _{0}} {2}} = frac {1} {48} } \ theta _ {0} - {0} {{3} + {\frac {3,840} \ theta _ {0} {0} {5} - {\frac {045} {120} )

는 위의 Legendre 다항식 솔루션에서 사용됩니다.결과 멱급수는 다음과 같습니다.^[5]

{\displaystyle T=2\pi {frac {1}{g}}\left(1+{\frac {16})\theta _{0}^{2}+{0}{{0}{0}+{0}{4}+{\frac {3}{280}{06}^{0}}ht)})

온라인 정수 시퀀스 백과사전(OEIS 포함): A223067(분자를 포함), OEIS: A223068(분모를 포함)에서 더 많은 분수를 사용할 수 있습니다.

타원 적분에 대한 산술-기하 평균해

주어진 Eq.3과 타원 적분의 산술-기하 평균해:

{\displaystyle K(k)=pi }{2M(1-k,1+k)},

여기

서 M

(x, y)

은

x

와

y

의 산술-기하 평균이다.

이를 통해 해당 ^[6]^[7]^[8]기간의 대체적이고 빠른 수렴 공식이 생성됩니다.

T=mpi}{M\left(1,\cos {frac {0}}{2}}\오른쪽)}{\frac {\frac } {g}}

이 알고리즘의 첫 번째 반복은

T_{1}=black {2T_{0} {1+\cos {frac _ {0}} {2}}

이 근사치의 상대 오차는 96.11도까지의 ^[6]각도에 대해 1% 미만입니다. $1$ 2 ( ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$ + ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$ ( ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$ 0 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$ ) ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$ 2 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$ ⁡ 0 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$ 、 $cos 2$ ⁡ 0 4 $0$ 、 $left$ ( 1 $+$ \ $cos$ \ left )\ $frac （$ 1 + \ cos \ left ） = \ $cos$ ^ { $2$ } { \ $frac$ { $0$ } { $0$ } { 4 } 、 cos ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$ 。

T_{1}=T_{0}\sec ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}}.

$\sec ^{2}(\theta _{0}/4)$ 2 $\sec ^{2}(\theta _{0}/4)$ ( $\sec ^{2}(\theta _{0}/4)$ 0 / $\sec ^{2}(\theta _{0}/4)$ 4 $){$ $displaystyle \sec ^{2}$ ( \ $theta$ $_$ { $0$ } / $4$ )의 $\sec ^{2}(\theta _{0}/4)$ 2차 전개는 T ${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$ ${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$ ( ${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$ + ${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$ ${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$ 2 ${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$ ${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$ 으로 ${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$ 합니다 $.{$ $textstyle T$ \ } \ t 0 \ } \ left ( $1$ + $frac$ { $0$ } { 0 } { 0 } } } { $16$ } } } { $16$ } } ${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$ 。 $}$

이 알고리즘의 두 번째 반복은

T_{2}=1400frac {4}T_{0}}{1+\cos({frac {theta_{0}}{2}}+2)rt({cos {frac {0}}{2}}}={4})T_{0} {\left(1+{\sqrt {cos {frac {theta _ {0}} {2}}} {\right} {{2}}}

이 두 번째 근사치의 상대 오차는 최대 163.10도의 ^[6]각도에 대해 1% 미만입니다.

비선형 진자 주기에 대한 근사 공식

어떤 유한 진폭θ 0<>을 정확한 기간 T{T\displaystyle}결정될 수 있다;π{\displaystyle \theta_{0}<, \pi}라드에 의해 평가 해당하는 완전한 타원 적분 K(k){K(k)\displaystyle}, 어디에 대해서 k번의≡ 죄⁡(θ 0/2){\displaystyle k\equiv \sin(\theta_{0}일 경우 /2)}, 이 i.soften 기본 함수의 관점에서 이 적분을 닫힌 형태로 표현할 수 없기 때문에 애플리케이션에서 피한다.이것은 진자 주기의 진폭을 증가시키기 위한 간단한 근사 공식에 대한 연구를 위한 길을 열어주었다(입문 물리학 실험실, 고전 역학, 전자기학, 음향학, 전자학, 초전도 등).^[9]다른 저자에 의해 발견된 대략적인 공식은 다음과 같이 분류할 수 있다.

정확한 주기에 대한 편차는 진폭에 따라 단조롭게 증가하여 $\pi$ $\pi /2$ $\pi /2$ $\pi /2$ {\ $displaystyle \pi /2}$ rad(유연성 스트링 끝의 단발에 대한 자연 한계) 미만의 진폭에 대해 양호한 추정치를 제공하는 ' $그렇게$ 크지 않음' 공식. 즉, $\pi$ {displaystyle $\p$ }에 $\pi /2$ 가까운 진폭에는 적합하지 않다. $i }$ rad $\pi$ .문헌에서 발견된 가장 간단한 공식 중 하나는 리마(2006)에 의한 것이다. ${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$ - ${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$ ${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$ a 1 ${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$ - ${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$ \ $textstyle$ T \ $approx$ - , $T$ _ { $0$ } , { \ $frac$ { $ln$ { $a$ } { 1 - a ${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$ } ${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$ 。 $a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}$ 서 " $a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}$ cos $a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}$ " ( $a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}$ 0 / $a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}$ ) \ $display style$ a \ $equiv$ \ $cos$ { ( \ $teta$ _ { $0$ } / 2) $a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}$ ^[10]} } } 。
'매우 큰 각도' 공식, 즉 $(\displaystyle \pi$ } rad에 가까운 진폭에 대해 점근적으로 정확한 주기에 가까운 공식과 작은 진폭에 대해 단조롭게 증가하는 오차(예: 작은 진폭에 적합하지 않음)이러한 공식 중 하나는 크로머에 의한 것이다.즉,^[11] 다음과 같다. ${\textstyle T\approx {\frac {2}{\pi }}\,T_{0}\,\ln {(4/a)}}$ $T_{0},\ln$ {( $4/a$

물론, 견고한 막대 또는 ^[12]디스크를 사용한 많은 실험에서 관찰된 바와 같이, 진폭을 가진T {\ $displaystyle$ T $}$ 의 $\pi /2<\theta _{0}<\pi$ 는 $\pi /2<\theta _{0}<\pi$ $\pi /2<\theta _{0}<\pi$ 2 < $\pi /2<\theta _{0}<\pi$ $\pi /2<\theta _{0}<\pi$ <\ $displaystyle \pi$ / $2$ <\ $theta$ _ ${0}$ <\ $pi$ 일 때 더욱 뚜렷하게 나타납니다.현재 입문 물리학 실험실에서도 정확한 타이머와 센서를 이용할 수 있어 '매우 큰 각도' 실험에서 발견된 실험 오차는 이미 정확한 주기와 비교할 수 있을 만큼 작고 마찰이 무시할 수 있는 이론과 실험 간의 매우 좋은 일치도 발견됐다.이 활동은 많은 강사들에 의해 장려되었기 때문에 실험 데이터를 비교할 수 있는 모든 가능한 진폭에 유효한 진자 주기에 대한 간단한 근사 공식을 찾았다.2008년에 리마는 다음과 같은 ^[9]특성을 가진 가중 평균 공식을 도출했다.

약 {\frac {r,a^{2}의 디스플레이 스타일 T,T_{\text{Lima}}+k^{2},T_{\text{Cromer}}{r,a^{2}+k^{2}}}}

r=7.17

서 r

r=7.17

7

({displaystyle

r

=7.

17

r=7.17

\theta _{0}=95^{\circ }

오차는 0.6%(µ 0

\theta _{0}=95^{\circ }

\theta _{0}=95^{\circ }

{

displaystyle \theta

_ {0} =

95^{\display }

\theta _{0}=95^{\circ }

）。

임의-진폭 각도 변위 푸리에 급수

$\theta (t)$ ( $t$ ) {displaystyle $\theta (t)}$ 의 $\theta (t)$ 푸리에 급수 전개는 다음과 같습니다.

\theta (t)=8\sum _{n\geq 1captext{n}{\left\lfloor {n/2}\right\loor }{n}}{\frac {q^{n/2}}{1+q^{n}\cos(n\Omega t)}}

q

서

q {

displaystyle

q}는

q

타원 nome,

q=\exp(-\pi K'/K)

q=\exp(-\pi K'/K)

exp

q=\exp(-\pi K'/K)

⁡ (

q=\exp(-\pi K'/K)

-

q=\exp(-\pi K'/K)

K

q=\exp(-\pi K'/K)

/

q=\exp(-\pi K'/K)

) {

displaystyle

\omega =2\pi /T

= \

exp

K'

/

\omega =2\pi /T

q=\exp(-\pi K'/K)

\omega =2\pi /T

\omega =2\pi /T

2

\omega =2\pi /T

/

\omega =2\pi /T

T {

displaystyle = 2\pi

/

T}

의

\omega =2\pi /T

각 주파수입니다.

정의하면

({displaystyle\ilon}={1-{\csfracrt {1-}}{{0}}}{2+2cosrt {frac\ta_{0}}}}}}

q

(\displaystyle

q)는

q

확장을 사용하여 근사치를 구할 수

있습니다

.

q=\varepsilon +2\varepsilon ^{5}+15\varepsilon ^{9}+150\varepsilon ^{13}+1707\varepsilon ^{17}+varepsilon ^{21}+\cdots

(OEIS: A002103 참조).

\theta _{0}<\pi

0 < { \

displaystyle

\

theta

_ {

0 }

< \ pi

\theta _{0}<\pi

}

\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}

< <

\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}

、

\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}

<

\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}

\

displaystyle

\

varepsilon

< { \

tfrac {1}

{2

\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}

이므로 큰 진폭에도 근사치가 적용됩니다.

예

아래 애니메이션은 단발의 초기 변위량이 증가하거나 초기 속도가 증가하는 단순(마찰이 없는) 진자의 움직임을 나타낸다.각 진자 위의 작은 그래프는 대응하는 위상 평면도입니다.수평축은 변위, 수직축은 속도입니다.초기 속도가 충분히 크면 진자는 앞뒤로 진동하지 않고 완전히 피벗을 중심으로 회전합니다.

초기 각도 0°, 안정된 평형
초기 각도 45°
초기 각도 90°
초기 각도 135°
초기 각도 170°
초기 각도 180°, 불안정한 평형
겨우 풀스윙에 충분한 에너지를 가진 진자
풀스윙에 충분한 에너지를 가진 진자

복합 진자

복합진자(또는 물리진자)는 로드가 질량이 없는 것이 아니라 확장된 크기, 즉 피벗에 의해 흔들리는 임의의 형상의 강체이다.이 경우 진자의 주기는 피벗점 주위의 $관성$ 모멘트 I에 따라 달라집니다.

토크 방정식은 다음과 같습니다.

{\displaystyle\display=I\alpha}

여기서:

$α$ 는 각가속도이다.
θ는 $토크$ 입니다.

토크는 중력에 의해 생성되므로 다음과 같습니다.

\displaystyle =-mgL\sin \theta

여기서:

$m$ 은 체질량이다.
$L$ 은 피벗에서 물체의 질량 중심까지의 거리입니다.
θ는 수직으로부터의 $각도$ 입니다.

따라서 $소각근사$ sin $θ$ θ θ θ $θ$ θ θ 에서는

\alpha = about - {\frac {mgL\theta } {I}}

여기

서 I는 회전점에 대한 신체의 관성 모멘트입니다.

α에 $대한$ 식은 일반적인 단순 진자와 같은 형태이며 다음과 같은 주기를^[2] 제공한다.

({displaystyle T=2\pi}{frac {I}{mgL}})

그리고 빈도는

{\displaystyle f=flac {1}{T}} = flac {1} {2\pi }} {\flacrt {mgL} {I}}}}}}:

초기 각도(큰 진폭의 경우)를 고려할 경우 $\alpha$ α {\ $displaystyle \alpha}$ 의 $\alpha$ $\alpha$ 다음과 같습니다.

\alpha = displayddot {\theta } =-{\frac {mgL\sin \theta} {I}}

다음과 같은 주기를 부여합니다.

T=4\operatorname {K} \left(\sin ^{2} {\frac {0}}} \right {\frac {I} {mgL}}

여기서

θ

는₀ (수직과 관련된) 최대 진동각이고

K (k)

는 제1종류의 완전한 타원 적분이다.

가상 주기의 물리적 해석

진자의 위치를 시간의 함수로 표현하는 야코비안 타원함수는 실주기와 가상주기를 갖는 이중 주기함수이다.실제 기간은 물론 진자가 한 번의 완전한 주기를 거치는 데 걸리는 시간입니다.폴 아펠은 가상 ^[13]주기의 물리적 해석을 지적했다. 만약 $θ$ 가₀ 한 진자의 최대 각도이고 $180°$ - $θ$ 가₀ 다른 진자의 최대 각도라면, 각각의 실제 주기는 다른 진자의 가상 주기의 크기이다.

커플링 펜듈라

봅스를 연결하는 스프링을 통해 두 개의 동일한 단순 진자가 결합됩니다.

결합된 진자는 방향 연결(예: 밥상을 연결하는 스프링) 또는 지지 구조물(예: 테이블 상판)의 움직임을 통해 서로의 움직임에 영향을 미칠 수 있습니다.밥스를 연결하는 스프링에 의해 결합된 두 개의 동일한 단순 진자에 대한 운동 방정식은 라그랑지안 메커니즘을 사용하여 얻을 수 있습니다.

시스템의 운동 에너지는 다음과 같습니다.

E_{\text{K}}=420frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^2}\오른쪽)

m

서

m {\

displaystyle

m

}

은

m

밥의 질량,

L

{\

displaystyle

L

\theta _{1}

은

L

문자열 길이,

{\

1 {\

displaystyle \theta

_{

1},

\theta _{2}

2 {\

displaystyle \theta

_

{2}}

는

\theta _{2}

평형에서 두 밥의 각도 변위입니다.

시스템의 잠재적 에너지는 다음과 같습니다.

\displaystyle E_{\text{p}}=mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})+{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}

$g$ 서 g $\displaystyle$ g는 $g$ 중력 $k$ 이고 k $\displaystyle$ k는 $k$ 스프링 상수입니다.평형 위치에서 스프링의 $L(\theta _{2}-\theta _{1})$ L $L(\theta _{2}-\theta _{1})$ θ $L(\theta _{2}-\theta _{1})$ 2 - $L(\theta _{2}-\theta _{1})$ 1 $)(\displaystyle$ L $(\theta$ _{ $2}-\theta$ _ ${1}))$ 은 $L(\theta _{2}-\theta _{1})$ 작은 각도 근사치를 가정한다.

라그랑지안은 그때

{\mathcal {L}}=420frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}\right)-mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}-{\fright}-mgLL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}

이는 다음과 같은 커플링 미분 방정식으로 이어집니다.

{\displaystyle {\ddot {theta }}_{1}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{1}+{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}}{L}}\sin \theta _{2}-{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end {aligned}})

이 두 방정식을 차례로 더하고 빼서 작은 각도 근사치를 $\theta _{1}+\theta _{2}$ 하면 변수 $+$ 1 + $\theta _{1}+\theta _{2}$ $\theta _{1}-\theta _{2}$ 2 (\ $displaystyle$ \ $theta$ _{1} +\ $theta$ _{2}) 및 $\theta _{1}-\theta _{2}$ - $\theta _{1}-\theta _{2}$ - $\theta _{1}-\theta _{2}$ 2 (\ $displaystyle$ \ $theta$ _ ${1$ }-\ $theta$ _ $\theta _{1}-\theta _{2}$ 2 $\theta _{1}+\theta _{2}$ }}):

{\displaystyle {\theta } {\ddot {1} + {\frac {g} {L}} (\theta _ {1} + \theta _ {2} ) & = 0 \ \ dd { {\theta } {1} - {\ fr2 }L}}+2{\frac {k}{m}}\right}(\theta _{1}-\theta _{2}&=0\end {aligned}})

대응하는 해결책과 함께

({displaystyle {displaystyle _{1}+\theta _{2}&=A\cos(\obega _{1}t+\alpha)\\\theta _{1}-\theta _{2}&=B\cos(\obe _2}t+\t)\end {aligned}}})

어디에

{\displaystyle\mega_{1}&=moderrt {frac {g}{L}}\\\메가 _{2}&=sqrt {\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}}}\end {aligned}}

$(\displaystyle$ A $A$ $\alpha$ $(\displaystyle$ B $B$ $\alpha$ α(\ $displaystyle \alpha$ $\beta$ β(\ $displaystyle \beta)$ 는 $\beta$ 통합 상수입니다.

$\theta _{1}$ 을 $§$ 1({ $displaystyle\theta_{1})$ 및 $\theta _{1}$ § $({$ 만으로 $\theta _{2}$ 표현:

_{1}\theta _{1}&=sqfrac {1}{2}A\cos(\obe _{1}t+\alpha)+{\frac {1}B\cos(\obe _{2}t+\cos)\theta _{2}&=sqfrac {2}A_cos1\cos1\cos1

봅스를 처음 누르지 $\alpha =\beta =0$ 조건 ${\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0$ 1 ${\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0$ ( ${\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0$ ) ${\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0$ 2 ${\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0$ ( ${\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0$ ) ${\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0$ ${\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0$ { $displaystyle {dot {theta$ }} $_$ 0 $=$ β $\alpha =\beta =0$ $\alpha =\beta =0$ { $style \alpha$ = $0$ learging이 필요합니다.

디스플레이 스타일A&=\theta _{1}(0)+\theta _{2}(0)\B&=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0)\end{aligned}}

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Christiaan Huygens에 의해 정의되었습니다.Part 4, Definition 3, 2007년7월 Ian BruceHuygens, Christian (1673). "Horologium Oscillatorium" (PDF). 17centurymaths. 17thcenturymaths.com. Retrieved 2009-03-01. 번역
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^ Xue, Linwei (2007). "Pendulum Systems". Seeing and Touching Structural Concepts. Civil Engineering Dept., Univ. of Manchester, UK. Retrieved 2008-12-10.
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^ Borwein, J.M.; Borwein, P.B. (1987). Pi and the AGM. New York: Wiley. pp. 1–15. ISBN 0-471-83138-7. MR 0877728.
^ Van Baak, Tom (November 2013). "A New and Wonderful Pendulum Period Equation" (PDF). Horological Science Newsletter. 2013 (5): 22–30.
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^ Gil, Salvador; Legarreta, Andrés E.; Di Gregorio, Daniel E. (September 2008). "Measuring anharmonicity in a large amplitude pendulum". American Journal of Physics. 76 (9): 843–847. Bibcode:2008AmJPh..76..843G. doi:10.1119/1.2908184. ISSN 0002-9505.
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추가 정보

Baker, Gregory L.; Blackburn, James A. (2005). The Pendulum: A Physics Case Study (PDF). Oxford University Press.
Ochs, Karlheinz (2011). "A comprehensive analytical solution of the nonlinear pendulum". European Journal of Physics. 32 (2): 479–490. Bibcode:2011EJPh...32..479O. doi:10.1088/0143-0807/32/2/019.
Sala, Kenneth L. (1989). "Transformations of the Jacobian Amplitude Function and its Calculation via the Arithmetic-Geometric Mean". SIAM J. Math. Anal. 20 (6): 1514–1528. doi:10.1137/0520100.

외부 링크

마티외 함수에 관한 매스월드 기사

[1] Christiaan Huygens에 의해 정의되었습니다.Part 4, Definition 3, 2007년7월 Ian BruceHuygens, Christian (1673). "Horologium Oscillatorium" (PDF). 17centurymaths. 17thcenturymaths.com. Retrieved 2009-03-01. 번역

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[3] Xue, Linwei (2007). "Pendulum Systems". Seeing and Touching Structural Concepts. Civil Engineering Dept., Univ. of Manchester, UK. Retrieved 2008-12-10.

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[Carvalhaes-6] Carvalhaes, Claudio G.; Suppes, Patrick (December 2008), "Approximations for the period of the simple pendulum based on the arithmetic-geometric mean" (PDF), Am. J. Phys., 76 (12͒): 1150–1154, Bibcode:2008AmJPh..76.1150C, doi:10.1119/1.2968864, ISSN 0002-9505, retrieved 2013-12-14

[7] Borwein, J.M.; Borwein, P.B. (1987). Pi and the AGM. New York: Wiley. pp. 1–15. ISBN 0-471-83138-7. MR 0877728.

[8] Van Baak, Tom (November 2013). "A New and Wonderful Pendulum Period Equation" (PDF). Horological Science Newsletter. 2013 (5): 22–30.

[:0-9] Lima, F. M. S. (2008-09-10). "Simple 'log formulae' for pendulum motion valid for any amplitude". European Journal of Physics. 29 (5): 1091–1098. doi:10.1088/0143-0807/29/5/021. ISSN 0143-0807 – via IoP journals.

[10] Lima, F. M. S.; Arun, P. (October 2006). "An accurate formula for the period of a simple pendulum oscillating beyond the small angle regime". American Journal of Physics. 74 (10): 892–895. arXiv:physics/0510206. Bibcode:2006AmJPh..74..892L. doi:10.1119/1.2215616. ISSN 0002-9505. S2CID 36304104.

[11] Cromer, Alan (February 1995). "Many oscillations of a rigid rod". American Journal of Physics. 63 (2): 112–121. Bibcode:1995AmJPh..63..112C. doi:10.1119/1.17966. ISSN 0002-9505.

[12] Gil, Salvador; Legarreta, Andrés E.; Di Gregorio, Daniel E. (September 2008). "Measuring anharmonicity in a large amplitude pendulum". American Journal of Physics. 76 (9): 843–847. Bibcode:2008AmJPh..76..843G. doi:10.1119/1.2908184. ISSN 0002-9505.

[13] Appell, Paul (July 1878). "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique" [On an interpretation of imaginary time values in mechanics]. Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. 87 (1).

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진자 길이에 대한 경험칙

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타원 적분에 대한 산술-기하 평균해

비선형 진자 주기에 대한 근사 공식

임의-진폭 각도 변위 푸리에 급수

예

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