텐서 불변제

수학에서 다항식 대수학 및 표현 이론 분야에서 2등급 $텐서{\displaystyle \mathbf{}}$ A ${\$의 주요 불변수는 특성^[1] 다항식의 계수다$$.

${\displaystyle p}$ (${\displaystyle \lambda \mathbf{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle det}$( A -${\displaystyle \lambda \mathbf{}}$ I${\displaystyle }$) ${\displaystyle \p(\lambda )=\det(\mathbf {A}$ -$\lambda \mathbf {I}$ $)\},$

여기서 $I{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) ID 연산자이고$$ $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 다항식의 고유값을 나타낸다$$.

More broadly, any scalar-valued function ${\displaystyle f(\mathbf {A} )}$ is an invariant of ${\displaystyle \mathbf {A} }$ if and only if ${\displaystyle f(\mathbf {Q} \mathbf {A} \mathbf {Q} ^{T})=f(\mathbf {A} )}$ for all orthogonal ${\displaystyle \mathbf {Q} }$. This는 성분 측면에서 불변성을 나타내는 공식인 ${\displaystyle {\mathrm{Ai}}_{}}$ j ${\$가$$모든 데카르트 베이스에 대해 동일한 결과를 제공한다는 것을 의미한다.예를 들어, $A{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf {A}}$의 개별 대각선 구성요소가 기본 변경에 따라 변경되더라도$$ 대각선 구성요소의 합은 변경되지 않는다.

특성.

주요 불변성은 좌표계의 회전에 따라 변하지 않으며(객관적이거나 보다 현대적인 용어로는 물질적 프레임-지표의 원리를 만족한다) 주요 불변성의 어떤 기능도 객관적이다.

순위 2 텐서 불변량 계산

대부분의 엔지니어링 애플리케이션에서 우측 Cauchy-Green 변형 텐서와 같이 치수 3의 주요 불변성자를 구한다.

주요 불변제

그러한 시제의 경우 주요 불변제는 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle {\reasoned}I_{1}&=\mathbf {A}(\mathbf {a} )=A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\\\\\\I_{2}&={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽((\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \right))^{2}-\mathrm {tr}(\mathbf {A}^{2}\right)=A_{11}A_{22}+A_{22}}}A_{33}+A_{11}}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{23}-{32}-A_{13}A_{31}=\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3\}I_{3}&=\det(\mathbf {A} )=-A_{13}A_{22}A_{22}A_{31}+A_{12}A_{23}A_{31}+A_{13}}A_{21}A_{32}-A_{11}A_{23}A_{32}-A_{12}A_{21}A_{33}+A_{11}A_{22}A_{33}=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\end{aligned}}}$

대칭 텐셔너의 경우 이러한 정의는 감소한다.^[2]

주요 불변량과 텐서의 특성 다항식 사이의 일치성은 Cayley-Hamilton 정리와 함께 다음과 같은 것을 드러낸다.

${\displaystyle \mathbf {A} ^{3}-I_{1}\mathbf {A} ^{2}+I_{2}\mathbf {A} -I_{3}\mathbf {I} =0}$

여기서 $I{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) 2차 ID 텐서입니다$$.

주요 불변제

위에 열거한 주요 불변성 외에 주불변성의^[3][4] 개념을 도입하는 것도 가능하다.

${\displaystyle {\reasoned}J_{1}&=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=I_{1}\\J_{2}&=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=I_{1}^{2}-2I_{2}\\J_{3}&=\lambda _{1}^{3}+\lambda _{2}^{3}+\lambda _{3}^{3}=I_{1}^{3}-3I_{1}I_{2}+3I_{3}\end{aigned}}}$

위와 같은 주요 불변제들의 기능이다.${\displaystyle 이}$는 특성 $다항식{\displaystyle \mathbf{}}$ A${\displaystyle }$- T ${\displaystyle r\mathbf{}}$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ 3 ${\displaystyle \mathbf {A} -Tr(\mathbf {A} )/3$의 계수로서, 추적이 없다.수력역학에서는 텐서(tensor)의 분리가 표준으로 되어 있는데, 이는 아이덴티티(identity)와 트레이스리스(traceless) 성분의 배수가 되는 성분으로, 전자를 등방성이라고 하여 변형된 압력을 제공하고, 후자를 데빌라이저(deviatoric)라고 하여 전단 효과를 제공한다.

혼합불변제

또한 순위 2개 텐서 쌍 사이의 혼합 불변제도 정의할 수 있다.^[4]

차원이 더 높은 2차원의 순서에 따른 불변량 계산

이들은 Faddeev-LeVerrier 알고리즘을 사용하여 특성 다항식을 직접 평가하여 추출할 수 있다.

고차 텐더의 불변량 계산

3등급, 4등급, 상위 등급의 불변량도 결정할 수 있다.^[5]

엔지니어링 응용 프로그램

텐서의 주요 불변성에 전적으로 의존하는$$ 스칼라 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는 객관적이다. 즉, 좌표계의 회전으로부터 독립적이다.이 특성은 등방성 대칭을 갖는 비선형 물질의 변형 에너지 밀도 또는 헬름홀츠 자유 에너지에 대한 폐쇄형 표현에 일반적으로 사용된다.^[6]

이 기술은 하워드 P에 의해 처음으로 등방성 난류에 도입되었다. 1940년 로버트슨은 불변의 원리로부터 카르만-하와르스 방정식을 도출할 수 있었다.^[7]George Batchelor와 Subrahmanyan Chandrasekhar는 이 기술을 이용하여 축대칭 난류에 대한 확장된 치료법을 개발했다.^[8][9][10]

비대칭 텐서의 불변성

실제 텐서 $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$A} 3D($즉,$ 3x3 성분 행렬이 있는 1개)에는$$ 대칭 부분의 불변수 3개와 대칭 부분의 주요 방향에 상대적인 대칭 부분의 축 벡터 방향을 특징짓는 3개의 독립 불변수가 있다.예를 들어, $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 데카르트 구성 요소가$$

${\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}931&5480&-717\\\-5120&1650&1090\\1533&-610&1169\end{bmatrix},}$

첫 번째 단계는 스큐-큐브릭 부품과 관련된$$ 축 벡터 $w{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 평가하는 것이다.특히 축 벡터에는 구성 요소가 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}&={\frac {A_{32}-A_{23}}{2}}=-850\\w_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2}}=-1125\\w_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2}}=-5300\end{aligned}}}$

다음 단계는 $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 대칭 부분의 주값을 찾아낸다$.$ 실제 비대칭 텐서의 고유값이 복잡할 수 있지만 대칭 부분의 고유값은 항상 실제 값이므로 가장 큰 값에서 가장 작은 값까지 정렬할 수 있다.해당 직교 주근거 방향은 축 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ w$${\$displaystyle \mathbf {w}이($가) 첫 번째 옥탄트 내에서 포인트가$$ 되도록 감지할 수 있다.이러한 특수한 기반과 관련하여 $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$구성 요소는 다음과 같다$$.

${\displaystyle [A']={\begin{bmatrix}1875&-2500&31250\\2500&-3750\-31250\-3125\\-3125&#31250\&#31250&#3125},},}$

The first three invariants of ${\displaystyle \mathbf {A} }$ are the diagonal components of this matrix: ${\displaystyle a_{1}=A'_{11}=1875,a_{2}=A'_{22}=1250,a_{3}=A'_{33}=625}$ (equal to the ordered principal values of the tensor's symmetric part). The remaining three invariants are the axial vector's components in this basis: ${\displaystyle w'_{1}=A'_{32}=3750,w'_{2}=A'_{13}=3125,w'_{3}=A'_{21}=2500}$.Note: the magnitude of the axial vector, ${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} }}}$, is the sole invariant of the skew part of ${\displaystyle \mathbf {A} }$, whereas these distinct three invariants characterize (in a sense) "alignment" between the symmetric and skew parts of ${\displaystyle \$$mathbf {A}$ $\}.$ 우연히도 텐서는 고유치가 양이면 양수가 확실하다는 것은 신화다.대신 대칭 부분의 고유값이 양수인 경우에만 양수성이 확실하다.

참고 항목

• 대칭 다항식
• 기본 대칭 다항식
• 뉴턴의 정체성
• 불변론

참조