울트라리밋

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수학에서 울트라라이밋은 미터법 공간 X의 시퀀스에 제한 미터법 공간을_n 할당하는 기하학적 구조다.초경량이라는 개념은 공간_n X에서 유한한 구성의 제한적 동작을 포착하고 초경량계를 사용하여 반복적으로 반복적으로 반복적으로 반복적으로 반복해서 반복적으로 반복해서 반복해서 반복해서 반복해서 합치를 보장해 주는 과정을 피한다.초경량이란 미터법 공간의 그로모프-하우스도르프 융합 개념을 일반화한 것이다.

울트라필터

An ultrafilter ω on the set of natural numbers ${\displaystyle \mathbb {N} }$ is a set of nonempty subsets of ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (whose inclusion function can be thought of as a measure) which is closed under finite intersection, upwards-closed, and which, given any subset X of ${\displaystyle \mathbb {N} }$$$에는 X 또는 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ X가 포함되어 있다.$유한{\displaystyle \mathbb{}}$ 집합이 없는 $경우$ N {\displaystyle $\mathb {N}$의 Ω 초필터는 비주류적이다$.$

울트라필터에 대한 점 시퀀스 제한

만약 N{\displaystyle \mathbb{N}에 ω가 되non-principal ultrafilter}. 포인트가 계량 공간(X,d)과x∈ X점에서 만약()n)n∈ N{\displaystyle(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}}시퀀스)xn의 ω-limit,를 설명)라고 불린다 = lim ω)n{\displaystyle x=\lim_{\omega}x_{n}},자.y> ${\displaystyle \epsilon >0}$이(가) 있음:

${\displaystyle \{n:d(x_{n}}x)\leq \epsilon \}\in \omega.}$

다음과 같은 것을 어렵지 않게 알 수 있다.

• 일련의 점들의 Ω -limit가 존재한다면, 그것은 독특하다.
• $만약{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{lim}}$n → ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\$ x$=\lim _{n\to \infit }x_{n}}}$이 표준적인 $의미$라면${\displaystyle }$x = ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ x ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle$ x$=\lim$ _${\omega }x_{n$ (이 속성을 보유하는 것이 매우 중요하다.)

중요한 기본적인 사실에^[1] 따르면 (X,d)가 콤팩트하고 $\Omega$이 N ${\$에 비주요 울트라필터인 경우$,$ X에 있는 점의 모든 시퀀스의 Ω 한계치가 존재하며(그리고 반드시 고유해야 함).

특히, 실제 숫자의 경계 시퀀스는 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$폐쇄 간격이 콤팩트하므로)에 Ω-limit가 잘 정의되어 있다.$$

지정된 기준점이 있는 메트릭 공간의 초경량

$N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 옴을 비주요 울트라필터로 하고$,$ (X_n,d_n)는 지정된 기준점 p_n∈X를_n 갖는 메트릭 공간의 시퀀스로 한다.

만약 C가 dn()n, n)≤ C{\displaystyle d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C}. 우리 번째를 나타내자 무척 긍정적인 실수가 존재하는 순서()n)n∈ N{\displaystyle(x_{n})_{n\in \mathbb{N}말}}, xn∈Xn, 허용돼 있다면 실수를 시퀀스(데시넴(xn,pn))n을 다스릴 수 있는 그, 것입니다.e세트$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 허용하는 모든 시퀀스 중 하나$.$

그것은 어떤 두개 허용 시퀀스의 삼각 부등식은 보니까))()n)n∈ N{\displaystyle \mathbf{)}=(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}}와 y)(ny)n∈ N{\displaystyle \mathbf{y}=(y_{n})_{n\in \mathbb{N}}}시퀀스(데시넴(xn,yn))n이며, 따라서가 ω-limit 존재한 것은 매우 쉽다.${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})}$. Let us define a relation ${\displaystyle \sim }$ on the set ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ of all admissible sequences as follows.For ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}}$ we have ${\displaystyle \mathbf {x} \sim \mathbf {y} }$ whenever ${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.$$}$${\displaystyle \sim$}은$($는) $A{\displaystyle \mathcal{}}$. ${\displaystyle {\mathcal {A}$에서 동등성 관계임을 쉽게 알 수 있다$$.$}$

시퀀스(X,d_nn,p_n)의 Ω에 관한 울트라리밋은 다음과 같이 정의된$$ 메트릭 공간$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (X_{\infit },d_{\infit }})$이다.^[2]

세트로는 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle A}$/${\displaystyle }$~ ${\$이 있다.$$

For two ${\displaystyle \sim }$-equivalence classes ${\displaystyle [\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]}$ of admissible sequences ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ and ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$$d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]}$,${\displaystyle }$[ y ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle :={\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle {\infty }_{\mathrm{}}}$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{임}}$ ${\displaystyle \underset{}{\Omega }}$ ${\displaystyle d_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle y_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle d_{\inft }([\mathbf {x} ],$ [\$mathbf${y$}$ ]):$={\hat{d}_{\n}(\mathbf {x},\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).$$}$

$∞{\$이(가) 잘 정의되어$$ 있고, X$∞{\$ 세트에서 미터법임을 어렵지 않게 알 수 있다$.$

데노테${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}}$d ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{임}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}\underset{}{}}$( X ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle d_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$, p ${\displaystyle n_{}}$) ${\d_{\infit }}\$d_${\infit }}=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n}}}}}}}}}}}}}}.$

균일하게 경계된 공간의 경우 기준점

한결같이 한정적 직경의 계량 공간의 그(Xn,dn)시퀀스 가정하면, 그, 새로운 실수 C>0등 모든 n에 diam(Xn)≤C Xn에 base-points의 어떤 선택 pn에 ∈ N{\displaystylen\in \mathbb{N}}. 그리고 매일 순서,)n∈()n)Xn{\displaystyle(x_{n})_{n},x_{n}\in X_ 존재한다.{n}}나는인정의따라서, 이 상황에서 base-points의 선택은 ultralimit을 정의하는 지정되어야 하며, 그ultralimit(X∞, d∞){\displaystyle(X_{}\infty ,d_{\infty})}(Xn,dn)과 ω에의 base-point 시퀀스의 선택에 n∈ Xn.{\displaystyle p_{n}\in X_ 의존하지 않는다 달려 있지 않다.{$n$ 이 경우에는${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$, d ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{임}}$ ${\displaystyle {}_{}\underset{}{}}$( X${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)$${\$d_{\infit }}\d_{\infit }}=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n}})}$라고 쓴다$.$

울트라리미트의 기본 특성

1. (X_n,d_n)가 지오데틱 메트릭스 공간이라면 $({\displaystyle {}_{,\mathrm{}}{}_{}}$ =${\displaystyle \underset{}{\Omega }}$(${\displaystyle X_{}\underset{}{}}$n${\displaystyle {}_{}}$, d ${\displaystyle n_{}}$, p ${\displaystyle {}_{}}$) ${\d_{\infit }}}\d_${\$infit }}=\lim _{\omega }(X_{n_{n},p_{n}}}})$도 지오데틱 메트릭 공간이다$$.^[1]
2. (X_n,d_n)가 완전한 메트릭스 공간이라면 $({\displaystyle X_{}{,\mathrm{}}_{}{}_{}}$ =${\displaystyle \underset{}{}\underset{}{\Omega }}$(X n , d ${\displaystyle n_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$p ${\displaystyle {}_{}}$)$${\$d_{\nft }}\d_{\nft }}=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n}}}})$도 완전한 메트릭 공간이다$$.^[3][4]

실제로 시공에 의해 (X_n,d_n)가 완성되지 않은 공간의 반복 순서(X,d)인 경우에도 한계공간은 항상 완성된다.^[5]

1. 만약(Xn,dn) 있는 Gromov–Hausdorff 의미에서 소형 계량 공간(X,d)에 모이는 컴팩트한 계량 공간은 한결같이), 다음 ultralimit(X∞, d∞))ω(Xn, dn){\displaystyle(X_{}\infty ,d_{\infty})=\lim_{\omega}(X_{n},d_{n})lim 직경을 경계 하(이 자동으로 내포하고 있는 것은 공간(Xn,dn).}등축 방향(X,d)
2. (X_n,d_n)가 적절한 메트릭스 공간이고 p ${\displaystyle p_{}}$X ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가_n) 그로모프-하우스도르프 감각의 적절한 메트릭스 공간(X,d_nn)으로 수렴되도록 기준점이라고$$ 가정한다.그러면 초경량$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\Omega }}$(${\displaystyle X_{}}$ $n$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, p ${\displaystyle n_{}}$) ${\d_{\infit }}}\$d_${\infit }}=\lim_{\omega$}($X_{n},d_{n},p_{n}}}}}}}})$에 등축이 된다.^[1]
3. κ≤0과 (X_n,d_n)를 CAT(수평)-금속 공간의 연속이 되게 한다.그러면 울트라리밋$({\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{림}}$ ${\displaystyle \underset{}{\Omega }{}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle d_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle p_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\d_{\infit }}\$d_${\infit }}=\lim$ _${\omega$}($X_{n},d_{n},p_{n}})$도 CAT(()-공간이다.^[1]
4. Let (X_n,d_n) be a sequence of CAT(κ_n)-metric spaces where ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\kappa _{n}=-\infty .}$ Then the ultralimit ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ is real tree.^[1]

점근 원추형 원추체

초경량계의 중요한 종류는 미터법 공간의 소위 점근성 원추형이다.let (X,d)은 미터법 공간이고$,$ $\Omega$은 N ${\$ \mathb ${N}$의 비주교적 울트라필터가 되게 하고_n, p x X는 염기점의 연속이 되게 한다.Then the ω–ultralimit of the sequence ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$ is called the asymptotic cone of X with respect to ω and ${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$ and is denoted ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$. Oneoften takes the base-point sequence to be constant, p_n = p for some p ∈ X; in this case the asymptotic cone does not depend on the choice of p ∈ X and is denoted by ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$ or just ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$.

점근 원뿔의 개념은 점근 원추형 원추형(또는 더 정확히 말하면 위상학적 형태와 바이 립시츠형)이 일반적으로 그리고 특히 미세하게 생성된 집단의 준등계 불변성을 제공하기 때문에 기하학적 집단 이론에서 중요한 역할을 한다.^[6]무증상 원추형 원추형도 비교적 쌍곡선과 그 일반화를 연구하는 데 유용한 도구로 밝혀졌다.^[7]

예

1. Let (X,d) be a compact metric space and put (X_n,d_n)=(X,d) for every ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Then the ultralimit ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$ is isometric to (X,d).
2. (X,d_X)와 (Y,d_Y)는 구별되는 두 개의 작은 메트릭 공간이고 (X_nn,d_nn)는 각 n에 대해 (X,d_n)=(X,d)=(X,d_Xn)=(X,d)=(Y,d_Y)와 같은 메트릭 공간의 시퀀스가 된다.}과 2){n(Xn, dn))(Y, dY)}{\displaystyle A_{2}=\{n(X_{n},d_{n})=(Y,d_{Y})\}\,}. 따라서 A1A2은 해체되다, A1∪는 2= N.{\displaystyle A_{1}\cup A_{2}=\ma는 1){n(Xn, dn))(X, dX)}{\displaystyle A_{1}=\{n(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,자.t$hbb {N}.}$ 따라서$$ A₁ 중 하나는₂ Ω-측정 1이고 다른 하나는 Ω-측정 0이다.Hence ${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$ is isometric to (X,d_X) if ω(A₁)=1 and ${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$ is isometric to (Y,d_Y) if ω(A₂)=1.이는 초경량 Ω의 선택에 따라 초경량체가 좌우될 수 있음을 보여준다.
3. 렛 (M,g)은 치수 m의 콤팩트하게 연결된 리만니안 다지관으로, 여기서 g는 M의 리만니안 미터법이다.(M,d)가 지오데틱 메트릭스 공간이 되도록 g에 해당하는 M의 메트릭스가 되도록 한다.기준점 p∈M을 선택하십시오.그 다음 울트라리밋(그리고 보통의 그로모프-하우스도르프 한계까지) ${\displaystyle \underset{}{림}}$ ${\displaystyle \underset{}{\Omega }M,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle p}$ )${\displaystyle \lim$ _${\omega }($M,$nd,p)})$은 내부 제품 g(p)이 제공한 TM의_p 거리 함수와 함께 p에서 M의 탄젠트_p 공간 TM에 등축한다.따라서 초경량 림 ${\displaystyle \underset{}{\Omega }M,}$ n ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$은 표준 유클리드 측정기준으로 유클리드 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ $m{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$^{$m}}}$에 등축적이다$$.^[8]
4. ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle m}$, d ) ${\displaystyle (\mathb {R} ^{m}d)}$은$({\displaystyle }$는) 표준 유클리드 지표를 가진 표준 m-차원 유클리드 공간이다.그런 다음 점근 원뿔 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}R}$ m${\displaystyle {}^{}}$, d${\displaystyle }$) ${\displaystyle Conn_{\\omega }(\mathb {$$R} ^{m}$$d)$에 대한 등축계를$$ (${\displaystyle {}^{}}$m , ${\displaystyle d}$) ${\d$)로 한다$.$
5. $({\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}d}$) ${\displaystyle (\mathb {Z} ^{2},d)}$은 격자에서 두 격자점 사이의 최단 에지 경로의 길이에 의해 두 격자점 사이의 거리가 주어지는 2차원 정수 격자가 된다$$.Then the asymptotic cone ${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {Z} ^{2},d)}$ is isometric to ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$ where ${\displaystyle d_{1}\,}$ is the Taxicab metric (or L¹-metric) on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.
6. (X,d)는 일부 Δ³0에 대한 Δ-hyperbolic 지오데틱 메트릭 공간이 되도록 한다.그러면 점근원추 C ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ (${\displaystyle {}_{}X}$) ${\$는 진짜 나무다.^[1][9]
7. Let (X,d)는 지름이 유한한 미터법 공간이다.그러면 점근성 $원뿔{\displaystyle }$ C ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \Omega {}_{}}$( X${\displaystyle }$)$${\$displaystyle Conn_{\\omega$}(X$)\,}$는 $단일점$이다.
8. (X,d)는 CAT(0)-금속 공간이다.그러면 점근 원뿔 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ (${\displaystyle {}_{}X}$) ${\$도 CAT(0)-공간이다$$.^[1]

각주

참조

• 존 로.거친 기하학 강의.2003년 미국 수학 학회ISBN 978-0-8218-332-2; 7장.
• 엘반 덴 드라이, A.J.Wilkie, On Gromov의 정리 다항식 성장과 기초 논리 집단에 관한 것이다.대수학 저널, 89권(1984), 페이지 349–374.
• M. 카포비치 B.Lib. 3-manifolds, 기하학적 및 기능적 분석, Vol. 5(1995) 3, 페이지 582–603의 기본 그룹의 점근성 원추 및 준등계 등급에 대하여
• M. 카포비치.쌍곡선 다지관 및 이산형 그룹.비르카유저, 2000년ISBN 978-0-8176-3904-4; 9장
• 코넬리아 드루수와 마크 사피르(Denis Osin과 Mark Sapir의 부록 포함), 나무로 된 공간과 무증상 그룹의 원뿔.위상, 44권(2005), 5, 페이지 959–1058.
• 그로모프 M.리만 및 비 리만 공간의 미터법 구조.수학의 진보 152번, Birkhauser, 1999.ISBN 0-8176-3898-9; 3장
• B. 클라이너와 B.Lib, 대칭 공간 및 유클리드 건물에 대한 준등각의 강성.출판물: L'IHES.제86권, 제1권, 1997년 12월, 페이지 115-197.

참고 항목

• 울트라필터
• 기하군 이론
• 그로모프-하우스도르프 융합