유클리드 군

수학에서, 유클리드 군(Uclidic group)은 유클리드 $\mathbb {E} ^{n}$ (\displaystyle $\mathbb {E}^{$ n $\mathbb {E} ^{n}$ 의 등각성 군이다.그룹은 공간의 차원 n에만 의존하며 일반적으로 E(n) 또는 ISO(n)로 표기됩니다.

유클리드군 E(n)는 $(\$ 의 $\mathbb {E} ^{n}$ 변환, 회전 및 반사 및 이들의 임의의 유한 조합으로 구성됩니다.유클리드 그룹은 공간 자체의 대칭 그룹으로 볼 수 있으며, 그 공간의 모든 도형(하위 집합)의 대칭 그룹을 포함합니다.

유클리드 등각은 직접적이거나 간접적일 수 있으며, 이는 도형의 손놀림을 보존하는지에 따라 달라집니다.직접 유클리드 등각성은 강체 운동 또는 유클리드 운동이라고 불리는 특별한 유클리드 군이라는 부분군을 형성합니다.번역과 회전의 임의의 조합으로 구성되지만 반사가 아닙니다.

이 그룹들은 적어도 2차원과 3차원의 경우, 가장 오래되고 가장 많이 연구된 그룹들 중 하나이다. - 암묵적으로, 그룹의 개념이 발명되기 훨씬 이전이다.

개요

치수

E(n)의 자유도는 n(n + 1)/2로, n = 2, n = 3인 경우 3이 된다. 이 중 n은 사용 가능한 변환 대칭에, 나머지 n(n - 1)/2는 회전 대칭에 기인할 수 있다.

직간접 등각선

직접 등각성(즉, 키랄 부분 집합의 핸드네스를 보존하는 등각성)은 특수 유클리드 군이라고 불리는 E(n)의 하위 그룹으로 구성되며 보통 E(n) 또는 SE(n)로⁺ 나타난다.여기에는 번역, 회전 및 이들의 조합이 포함됩니다.아이덴티티 변환은 포함되지만 반사는 포함되지 않습니다.

역방향의 등각은 간접 또는 반대라고 불립니다.일부 초평면에 대한 반사 등 모든 고정 간접 등각 R에 대해 다른 모든 간접 등각은 직접 등각 R의 조성에 의해 얻을 수 있다.따라서 간접등각계는 E(n)의⁺ 코세트이며, E(n)로⁻ 나타낼 수 있습니다.따라서⁺ 하위 그룹 E(n)는 E(n)의 지수 2에 속합니다.

그룹의 토폴로지

유클리드 $\mathbb {E} ^{n}$ $(\$ ^{ $n})$ 의 $\mathbb {E} ^{n}$ 자연 위상은 유클리드 군 E(n)의 위상을 의미한다.즉, $(\$ $\mathbb {E} ^{n}$ { $E}$ ^{ $n})($ $i\in \mathbb {N}$ n $i\in \mathbb {N}$ N(\ $displaystyle i\in\mathbb$ {N $i\in \mathbb {N}$ 의 등각선_i f는 $\mathbb {E} ^{n}$ \ $mathbb$ {E} $^{n$ 의_i 어느 점 p에 대해 수렴하는 경우에만 수렴하도록 정의된다.

이 정의로부터 그것이 함수 f:[0,1]→ E(n){\displaystyle f:[0,1]\to E(n)}은 연속 만일에 어떤 지점 p의 En(^{n}}, 함수 fp:[0,1]→ En{\displaystyle f_{p}:[0,1]\to\mathbb{E}^{n}}에 의해 정의된 fp(t))(f(t))(p)은cont.i이러한 함수를 E(n)에서는 "연속 궤적"이라고 한다.

이 위상에서는 특별한 유클리드 군 SE(n) = E(n)가⁺ 연결되어 있는 것으로 밝혀졌다.즉, E $(\$ ^{ $n$ 의 두 개의 직접 등각점 A와 B가 주어졌을 때, E(n)에는⁺ f(0) = A 및 f(1) = B와 같은 연속 궤적 f가 존재한다.간접등각선⁻ E(n)도 마찬가지입니다.한편, 그룹 E(n)는 전체적으로 연결되어 있지 않습니다.E(n)에서 시작하여⁺ E(n)로 끝나는⁻ 연속 궤적은 없습니다.

E(3)의 연속 궤적은 고전 역학에서 중요한 역할을 한다. 왜냐하면 그것들은 시간에 따른 3차원 공간에서 강체의 물리적으로 가능한 움직임을 묘사하기 때문이다.f(0)는 본체의 초기 위치를 $\mathbb {E} ^{3}$ 하는 E3 $(\$ 의 아이덴티티 변환 I로 간주됩니다.나중에 신체의 위치와 방향 t는 변환 f(t)에 의해 설명된다.f(0) = I는 E(3)에⁺ 있으므로 나중에 f(t)에 대해서도 마찬가지여야 합니다.이러한 이유로 직접 유클리드 등각계를 "강체 운동"이라고도 한다.

거짓말 구조

유클리드 군들은 위상군일 뿐만 아니라, 그들은 Lie 군이다. 그래서 미적분 개념들이 이 환경에 즉시 적응될 수 있다.

아핀 그룹과의 관계

유클리드 군 E(n)는 n차원에 대한 아핀 군의 부분군이며, 두 그룹의^{[clarification needed]} 반직접 곱 구조를 존중하는 방식으로이다.이것은 명시적 표기법으로 요소를 쓰는 두 가지 방법을 제공한다.다음과 같습니다.

쌍(A, b)에 의해, A는 n × n 직교 행렬이고 b는 n 크기의 실제 열 벡터이다. 또는
크기 n + 1의 단일 정사각형 행렬에 의해, 아핀 그룹에 대해 설명됩니다.

첫 번째 표현에 대한 자세한 내용은 다음 섹션에서 설명합니다.

펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램의 관점에서, 우리는 유클리드 대칭 그룹의 기하학인 유클리드 기하학은 따라서 아핀 기하학의 전문화라는 것을 읽어냈다.모든 아핀 이론이 적용된다.유클리드 기하학의 기원은 거리의 개념을 정의할 수 있게 하고, 그 각도에서 유추할 수 있게 한다.

상세한 설명

부분군 구조, 행렬 및 벡터 표현

유클리드 그룹은 아핀 변환 그룹의 부분군이다.

부분군으로서 변환 그룹 T(n)와 직교 그룹 O(n)가 있습니다.E(n)의 모든 요소는 고유한 방식으로 직교 변환(등각계의 선형 부분)이 뒤따르는 변환입니다.

x\map to A(x+b)

여기서 A는 직교 행렬입니다.

또는 같은 직교 변환 후에 변환됩니다.

x\map to Ax+c,

c

=

Ab일

때

T(n)는 E(n)의 정규 부분군이다: 모든 변환 t 및 모든 등각 u에 대해, 조성물은

u^{-1}tu

다시 번역입니다.

이러한 사실은 E(n)가 T(n)에 의해 확장된 O(n)의 반직접 곱임을 의미하며, ${\text{E}}(n)={\text{T}}(n)\rtimes {\text{O}}(n)$ ${\text{E}}(n)={\text{T}}(n)\rtimes {\text{O}}(n)$ ${\text{E}}(n)={\text{T}}(n)\rtimes {\text{O}}(n)$ O $)$ \ $displaystyle {E}(n)$ = $textext{$ n}{n $}($ n}) $T}(n)\rtimes {O$ 즉, O(n)는 (자연적인 방법으로) T(n)에 의한 E(n)의 몫군이기도 합니다.

\displaystyle\text{O}}(n)\cong\text{E}}(n)/{\text{T}}(n)}

특수 직교 그룹인 SO(n)는 지수 2의 O(n)의 부분군입니다.따라서 E(n)는 직접 등각선으로 구성된 지수 2의 부분군⁺ E(n)를 가진다.이 경우 A의 행렬식은 1입니다.

그것들은 번역 후 회전이 아닌 회전이 뒤따르는 번역으로 표현된다(치수 2와 3에서는 원점을 포함하거나 3D에서는 회전 회전을 포함할 수 있는 미러 라인 또는 평면에서의 익숙한 반사이다).

이 관계는 일반적으로 다음과 같이 기술됩니다.

디스플레이 스타일SO}}(n)\cong { text 。E}}^{+}(n)/{\text{T}}(n)}

또는 동등하게:

디스플레이 스타일E}}^{+}(n)= 텍스트{SO}}(n)\text{T}}(n)}.

서브그룹

E(n)의 부분군 유형:

유한 그룹

그들은 항상 고정점을 가지고 있다.3D에서는 모든 점에 대해 O와_h I라는 유한한 그룹 중에서 (포함 여부에 대해) 최대인 두 개의 방향이 있습니다_h.내가_h 속한 그룹은 다음 카테고리를 포함한 그룹에서도 최대이다.

임의의 소규모 번역, 회전 또는 조합 없이 무한 확장 그룹

즉, 모든 점에 대해 등각선 아래의 이미지 세트는 위상적으로 이산적이다(예를 들어, 독립 방향으로의 m 변환에 의해 생성된 그룹, 그리고 유한점 그룹).여기에는 격자가 포함됩니다.그것들보다 더 일반적인 예는 이산 공간 그룹이다.

임의의 소규모 번역, 회전 또는 조합으로 무한 확장 가능

이 경우 등각선 아래의 영상 세트가 닫히지 않는 지점이 있습니다.예를 들어 1차원에서는 1의 변환에 의해 생성된 군과 2차원에서는 원점 주위를 1라디안 회전함으로써 생성된 군을 들 수 있다.

등각선 아래의 이미지 세트가 닫히지 않은 포인트가 있는 비카운트 그룹

(예를 들어, 2D에서는 모든 번역이 한 방향으로, 모든 번역이 다른 방향으로 합리적 거리에 따라 이루어집니다).

카운트할 수 없는 그룹. 모든 포인트에 대해 등각선 아래의 이미지 세트가 닫힙니다.

예:

원점을 고정시키고, 보다 일반적으로 어떤 점(3D에서 회전군이라고 함)을 유지하는 모든 직접 등각선
원점을 고정하거나 더 일반적으로 어떤 점(직교군)을 유지하는 모든 등각선
모든 직접 등각선⁺ E(n)
전체 유클리드 군 E(n)
직교(n-m) 차원 공간의 이산적인 등각성 군과 결합된 m 차원 부분 공간의 이들 군 중 하나
직교(n-m) 차원 공간의 다른 것과 결합된 m 차원 부분 공간의 이들 그룹 중 하나

3D 조합의 예:

하나의 고정 축에 대한 모든 회전
축을 통과하는 평면 및/또는 축에 수직인 평면에서의 반사와 결합된 ditto
축을 따라 또는 축을 따라 모든 등각점과 결합된 ditto
수직 방향의 대칭군과 결합된 평면 내의 이산 점군, 프리즈군 또는 벽지군
어떤 축을 중심으로 한 회전과 축을 따른 비례 변환의 조합인 모든 등각선. 일반적으로 이것은 같은 축을 중심으로 한 k배 회전 등각선(k k 1)과 결합된다. 등각선 아래의 점의 세트는 k배 나선형이다. 또한 수직 인터세이에 대한 2배 회전도 있을 수 있다.즉, 이러한 축의 k-접힘나선이다.
모든 점군에 대하여: 점군의 등각과 변환의 조합인 모든 등각계의 그룹. 예를 들어, 원점의 반전에 의해 생성된 그룹의 경우: 모든 점의 모든 변환과 반전의 그룹. 이것은 R, Dih(R³)의³ 일반화 이면체군이다.

최대 3차원 등각선 개요

E(1), E(2) 및 E(3)는 다음과 같이 자유도와 함께 분류할 수 있습니다.

E(1)의 등각선
등각의 종류	자유도	오리엔테이션 유지?
신원	0	네.
번역.	1	네.
점에서의 반사	1	아니요.

E(2)의 등각선
등각의 종류	자유도	오리엔테이션 유지?
신원	0	네.
번역.	2	네.
점을 중심으로 회전	3	네.
라인 내 반사	2	아니요.
활공 반사	3	아니요.

E(3)의 등각선
등각의 종류	자유도	오리엔테이션 유지?
신원	0	네.
번역.	3	네.
축을 중심으로 회전	5	네.
나사 변위	6	네.
평면에서의 반사	3	아니요.
활공 평면 작동	5	아니요.
부적절한 회전	6	아니요.
점의 반전	3	아니요.

Chasles의 정리는 E(3)의⁺ 어떤 원소도 나사 변위라고 단언한다.

원점을 고정된 상태로 두는 3D 등각선, 공간 그룹, 회전도 참조하십시오.

통근 등각선

일부 등각쌍의 경우 조성은 순서에 의존하지 않는다.

두 개의 번역
같은 축을 중심으로 한 두 개의 회전 또는 나사
평면에 대한 반사 및 그 평면에 대한 변환, 평면에 수직인 축에 대한 회전 또는 수직면에 대한 반사
평면에 대한 활공 반사 및 그 평면의 변환
점의 반전 및 점을 고정시키는 등각계
축을 중심으로 180° 회전하고 그 축을 통과하는 평면에서의 반사
축을 중심으로 180° 회전하고 수직 축을 중심으로 180° 회전한다(양쪽에 수직인 축을 중심으로 180° 회전).
같은 축에 대해 같은 평면에 대한 두 개의 회전곡선
같은 평면에 대한 두 개의 활공 반사

켤레 클래스

어느 방향으로든 일정한 거리에 의한 변환은 공역 클래스를 형성합니다.번역 그룹은 모든 거리에 대한 변환의 합입니다.

1D에서는 모든 반사가 동일한 클래스에 있습니다.

2D에서는 어느 방향으로든 동일한 각도로 회전하는 것이 같은 클래스입니다.같은 거리에서의 변환에 의한 활공 반사는 같은 클래스에 있습니다.

3D:

모든 점에 대한 반전은 동일한 클래스에 있습니다.
같은 각도에서의 회전은 같은 클래스입니다.
각도와 변환 거리가 같으면 해당 축에 대한 변환과 결합된 축 주위의 회전은 동일한 클래스에 속합니다.
평면의 반사가 동일한 클래스에 있음
평면에서의 반사와 그 평면에서의 같은 거리에서의 변환은 같은 클래스에 속합니다.
180°가 아닌 동일한 각도로 축에 대한 회전과 해당 축에 수직인 평면에서의 반사가 결합되는 것은 동일한 등급이다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

Cederberg, Judith N. (2001). A Course in Modern Geometries. pp. 136–164. ISBN 978-0-387-98972-3.
윌리엄 서스턴입니다3차원 지오메트리 및 위상 제1권 실비오 레비 편집자프린스턴 수학 시리즈, 35. 프린스턴 대학 출판부, 프린스턴, 뉴저지, 1997.x+311pp.ISBN 0-691-08304-5

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