분석공간

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분석 공간은 특이점을 허용하는 분석 다지관의 일반화다.분석 공간은 분석적 다양성과 국소적으로 동일한 공간이다.그것들은 몇 가지 복잡한 변수의 연구에서 두드러지지만, 다른 맥락에서도 나타난다.

정의

평가로 필드 k를 수정하십시오.이 평가와 관련하여 필드가 완전하고 분리되지 않았다고 가정하십시오.예를 들어, 여기에는 일반적인 절대값과 관련된 R과 C는 물론 자연적 가치평가에 관한 Puiseux 시리즈의 분야가 포함된다.

U를 k의ⁿ 개방된 하위 집합으로 하고, f₁, ..., f를_kk 분석함수의 집합으로 한다. Z₁ = { x f₁(x) = ... = f_k(x) = 0. Z는 분석적 다양성이다.

Suppose that the structure sheaf of U is ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$. Then Z has a structure sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}={\mathcal {O}}_{U}/{\mathcal {I}}_{Z}}$, where ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z}}$ is the ideal generated by f₁, ..., f_k.즉, Z의 구조 셰프는 Z의 외부와 다를 수 있는 가능한 방법들로 U modulo의 모든 기능으로 구성된다.

An analytic space is a locally ringed space ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ such that around every point x of X, there exists an open neighborhood U such that ${\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{U})}$ is isomorphic (as locally ringed spaces) to an analytic variety with its structure sheaf.그러한 이형성을 x에서 X의 국부적 모델이라고 한다.

분석공간의 해석적 매핑 또는 형태론은 국소적으로 링이 달린 공간의 형태론이다.

이 정의는 계획의 정의와 유사하다.유일한 차이점은 구성표의 경우 국소 모델은 링의 스펙트럼인 반면, 분석 공간의 경우 국소 모델은 분석 품종이라는 것이다.이 때문에 분석공간의 기본이론과 계략이 매우 유사하다.더욱이 분석적 품종은 임의의 정류적 고리(예를 들어, 분석적 품종은 밭에 걸쳐 정의되고 항상 유한한 치수)보다 훨씬 단순한 동작을 가지고 있으므로, 분석적 공간은 밭에 걸쳐 유한한 형태의 체계와 매우 유사하게 작용한다.

기본결과

분석 공간의 모든 점에는 국부적 차원이 있다.x에서의 치수는 x에서 로컬 모델을 선택하고 x에 해당하는 지점에서 분석 다양성의 로컬 치수를 결정함으로써 발견된다.

분석 공간의 모든 점에는 접선 공간이 있다.x가 X의 지점이고 m이_x x에서 사라지는 모든 기능의 이상적인 부분이라면, x의 cotangent 공간은 m_x/m이다_x².접선 공간은 (m_x / m_x²),^* 등선 공간에 대한 이중 벡터 공간이다.해석적 매핑은 접선 공간에 푸시포워드 맵을 유도하고 접선 공간에 풀백 맵을 유도한다.

x에서 접선 공간의 치수는 x에서 임베딩 치수라고 한다. 로컬 모델을 보면 임베딩 치수보다 치수가 항상 적거나 같은 것을 쉽게 알 수 있다.

부드러움

분석 공간은 일부 n에 대해 k의 개방된ⁿ 부분 집합인 x에 로컬 모델을 가진 경우 x에서 smooth라고 불린다.분석공간은 매 지점에서 매끈하면 매끈하다고 하며, 이 경우 분석다지관이다.분석 공간이 원활하지 않은 지점의 부분 집합은 닫힌 분석 부분 집합이다.

공간의 모든 국부적 모델이 급진적인 이상 조각에 의해 정의된다면 분석적 공간은 줄어든다.축소되지 않은 분석 공간 X는 동일한 기초_red 위상학적 공간을 가진 축소된 분석 공간인 X를 가지고 있다.정론적 형태론 r : X → X가_red 있다. 모든 형태론은 r을 통한 축소된 공간 요소까지.

구조물의 피복의 모든 줄기가 정상 고리(통합적으로 닫힌 적분 영역을 의미)일 경우 분석 공간은 정상이다.정상적인 분석 공간에서는 단수 위치에는 적어도 2개의 코디네이션이 있다.X가 x에서 로컬 전체 교차로인 경우, X는 x에서 보통이다.

비정규 분석 공간은 표준적인 방법으로 정상 공간으로 평활할 수 있다.이 공사를 정상화라고 한다.분석공간 X의 정규화 N(X)은 표준지도 ν : N(X) → X. 정상 분석공간에서 X인자를 통한 X인자에 이르는 모든 지배적 형태론 ν과 함께 나온다.

정합성 있는 단

해석 공간은 그 구조의 $heaf{\displaystyle \mathcal{}}$ O ${\$이(가) 일관성 있는 heaf인 경우 일관성이 있다.$O{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ - modules의$$ 일관성 있는 피복은 피복 분석 피복이라고 한다.예를 들어, 일관성 있는 공간에서는 국소적으로 자유로운 이상과 무리는 일관성 있는 분석적 피복이다.

대수적으로 닫힌 장에 대한 분석적 공간은 일관성이 있다.복잡한 경우, 이것을 오카 일관성 정리라고 한다.비알지리학적으로 폐쇄된 필드에는 해당되지 않는다. 일관성이 없는 실제 분석 공간의 예가 있다.

일반화

어떤 상황에서는 분석 공간의 개념이 너무 제한적이다.이는 종종 지상장에 분석 세트로 포착되지 않는 추가 구조가 있기 때문이다.이러한 상황에서 국소 모델 공간에 더 많은 유연성을 허용하는 분석 공간의 일반화가 있다.

예를 들어, 실제 숫자에 대해 원 x² + y = 1을² 고려하십시오.원은 분석 공간 R의² 분석적 부분집합이다.그러나 X축에 투영되는 이 값은 닫힌 간격 [-1, 1]이며 분석 세트가 아니다.따라서 분석 지도에 따른 분석 집합의 영상이 반드시 분석 집합인 것은 아니다.분석 집합보다 훨씬 강성이 떨어지지만 임의의 영역에 걸쳐 정의되지 않는 하위 분석 집합으로 작업함으로써 이를 방지할 수 있다.분석공간의 그에 상응하는 일반화는 아분석적 공간이다.(단, 경미한 점 집합 위상 가설에서, 아분석적 공간은 본질적으로 아분석적 집합과 동일하다는 것이 밝혀졌다.)

참고 항목

• 분석적 다양성
• 복합해석공간

참조

• Onishchik, A. L. (2001) [1994], "Analytic space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Ponomarev, D.A. (2001) [1994], "Real-analytic", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press