순열 표현

수학에서 (일반적으로 유한한) $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 순열 표현이란 두 가지 개념 중 하나를 가리킬 수$$ 있다. 즉, 순열 표현 $그룹$으로서의 G {\$displaystyle G}$ 또는 순열 행렬의 그룹으로서의$$ 표현이다$.$이 용어는 또한 둘의 결합을 가리킨다.

추상 순열 표현

집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 순열 표현은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $G$$}$에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 대칭 그룹에 이르는$$ 동형상이다$.$

${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {Sym}(X).}$

그 이미지 ρ(G)⊂ Sym ⁡(X){\displaystyle\rho(G)\subset \operatorname{Sym}(X)}은 치환 군이 지나고 비바람의 G{G\displaystyle}이 나타내는으로 순열의 X{X\displaystyle}.[1] 순열 표현은 해당하는 액션의 G{G\displaystyle}에 집합 X{\displays.tyl$e X}$:

$G\time X\to X.}$

자세한 내용은 그룹 작업에 대한 문서를 참조하십시오.

선형 순열 표현

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$$}$이(가$)$ n $등급$의 순열 그룹인 경우 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 순열 표현은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 선형 표현이다.

${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} _{n}(K)}$

$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$을(를) 해당 순열 매트릭스에 매핑한다($여기$서 K ${\displaystyle K}$는 임의 필드임).^[2]즉, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은 표준 기준 $벡터$를 ${\displaystyle {허용}^{}}$하여$$Kn {\$displaystyle$K^{$n}$에 작용한다$$.

물론 이러한 순열 표현 개념은 임의의 추상 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$을 순열 표현 행렬의 그룹으로 나타내기 위해 이전 개념과 함께 구성될 수 있다.하나는 먼저 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을 순열 그룹으로 표시한$$ 다음 각 순열을 해당 행렬에 매핑한다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을 번역에 의해 스스로 작용하는 순열 그룹으로 표현하면 정규표현을 얻는다.

순열 표현 특성

$그룹{\displaystyle }$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$과(와)$$G {\$displaystyle$ G$}$이(가)$$설정된 X {\$displaystyle X$}에 $작용$하는 유한$$집합 X {\$displaystyle$$$X$}$에 대해${\displaystyle ,}$ 순열 $표현$에서 문자 {$$${\$$displaystyle$ X}은$(g)$의 작용에 따른 $X$의 고정 포인트 수입니다.${\displaystyle )}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 있는$$\$displaystyle$$$\$rho$$$($g$$)\}.$ 즉${\displaystyle ,}$${\displaystyle \rho }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$(g$)$에 $의해$ 고정된$$X {\$displaystyle$ $X}$의$포인트$ 수입니다$.$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$의 요소에 의해 정의된 기준으로 행렬을 사용하여$$ 지도 $\rho {\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \rho (g)}$을(를) 표시하면 $X$ ${\displaystyle$ X$}$의 순열 행렬이 표시되므로, 이 표현 문자는 이 순열 행렬의 추적으로 정의된다$.$$순열{\displaystyle }$매트릭스의 $대각선$에 있는 요소는 $X${\displaystyle X}의 점이 고정되어$$ 있으면 1이고 그렇지 않으면 0이다.$따라서{\displaystyle }$ 순열 매트릭스의 추적이 X ${\displaystyle$ X$}$의 고정 지점 수와 정확히 동일하다는 결론을 내릴 수 있다$.$

For example, if ${\displaystyle G=S_{3}}$ and ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$ the character of the permutation representation can be computed with the formula ${\displaystyle \chi (g)=}$ the number of points of ${\displaystyle X}$ fixed by ${\displaystyle g}$. So

()= ([ 0 0 0 1 ) = ${\displaystyle \chi ((112)=\desname {tr}({bmatrix}0&0\\1&0$\&0\&$0\#0&$0\$end${bmatrix$})=1}$3}만 고정되어 있음

${\displaystyle \chi ((123))$$=\\operatorname {tr}({\begin{bmatrix}0&0$&0$\\0&0$&1$\\1&0\end{bmatrix})=$0}은$($는$)$ X {\$displaysty$ X$}$의 요소가 고정되어 있지$$ 않으므로,

() = ([ 0 0 0 0 0 0 0 0 1]) = ${\$$displaystyle$$\chi$(1$)=\operatorname {tr}({\bgin{bmatrix}1&0\0$&0\0\$0\0&0&1\end{bmatrix})=$$3}$의 모든 요소가 고정되어$$ 있다$.$

참조

외부 링크

• https://mathoverflow.net/questions/286393/how-do-i-know-if-an-irreducible-representation-is-a-permutation-representation