란다우 정량화

양자역학에서 란다우 정량화는 균일한 자기장에서 전하 입자의 사이클로트론 궤도를 정량화하는 것을 말한다.결과적으로, 충전된 입자들은 란다우 수준이라고 불리는 이산적이고 등거리 에너지 값을 가진 궤도를 점유할 수 있다.이러한 레벨은 퇴화되며 레벨당 전자 수는 적용된 자기장의 강도에 정비례한다.소련의 물리학자 레브 란다우의 이름을 따서 지은 것이다.^[1]null

란다우 정량화는 란다우 직경(Landau diamagnetism)이라고 알려진 금속의 전자 감수성에 직접적인 책임이 있다.강한 자기장 아래에서 란다우 정량화는 De Haas-Van Alphen 및 Shubnikov-de Has 효과로 알려진 적용 자기장의 함수로서 물질의 전자적 특성에 진동을 유도한다.null

란다우 정량화는 정수 양자 홀 효과를 설명하는 핵심 성분이다.null

파생

x-y 면의 영역 A = LL에_xy 국한된 전하 q와 스핀 S를 가진 비 상호작용 입자의 시스템을 고려한다.균일한 자기장 $B{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \begin{array}{}0\\ \mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}0\\ \end{array}}$ B${\displaystyle \begin{array}{}\end{array}}$) ${\$ = ${\begin{pmatrix}0\\0\$을 적용하십시오.z축을$따라 \B\end${pmatrix$}}.$CGS 단위에서는 이 계통의 해밀턴식(여기서 스핀의 효과는 등한시됨)이 있다.

${\displaystyle {\hat{H}}={\frac {1}{2m}} {\hatsbf {p}}}}}}}}-q{\hatsbf {A}}} ^{2}.}$

여기서 $p\stackrel{}{\mathbf{}}$ $\stackrel{}{}$ ${\$은(는) 표준 모멘텀 연산자, $A\stackrel{}{\mathbf{}}$ ${\$은(는) 전자기 벡터 전위로서, 이는 다음에 의해 자기장과 관련된다.

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla }\times {\hatbf {A}}\,}$

주어진 자기장에 대한 벡터 전위 선택에 게이지 자유가 있다.해밀턴은 게이지 불변성으로, 이는 to에 스칼라장의 구배를 더하면 파도 기능의 전체 위상이 스칼라장에 해당하는 양만큼 변화한다는 것을 의미한다.그러나 물리적인 성질은 게이지의 특정한 선택에 의해 영향을 받지 않는다.null

란다우 게이지에

간단한 계산을 위해 Landau 게이지를 선택하십시오.

${\displaystyle {\hatsbf {A}}}}}}={\begin{pmatrix}0\\bx\0\end{pmatrix}}}.}$

여기서 B=B와 x̂은 위치 연산자의 x 성분이다.null

이 게이지에서 해밀턴인은

${\displaystyle {{\hat{H}}={\frac {{\p}_{x}^{2}}:{2m}+{{1}{2m}}\좌측({\hat{p}}}-qB{\x}\오른쪽)^{2}+{\frac {{p}}^{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

연산자 $p{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$는 연산자 ŷ가 게이지의 선택에 의해 없기 때문에 이 해밀턴인과 통근한다$$.따라서 연산자 $p{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$는 고유값 ek로 대체될_y 수 있다$$. $z{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}${\$displaystyle {\z}}$은(는) 해밀턴식에는 나타나지 않고 운동$$ 에너지에는 z-momentum만 나타나므로 z 방향을 따라 움직이는 이 동작은 자유 운동이다.null

해밀턴어는 또한 사이클로트론 주파수가 Ω_c = qB/m이고, 다음과 같은 것을 주어서 보다 간단하게 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{\rm {c}}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{\rm {c}}}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$

좌표 공간에서 x₀ = =k_y/mΩ으로_c 이동된 전위의 최소값을 제외하고, 이것은 양자 고조파 오실레이터에 대한 해밀턴식 정확히이다.

에너지를 찾으려면 고조파 오실레이터 전위를 변환하는 것이 에너지에는 영향을 미치지 않는다는 점에 유의하십시오.따라서 이 시스템의 에너지는 표준 양자 고조파 오실레이터의 에너지와 동일하다.^[2]

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}\좌측(n+{\frac {1}{1}:{1}2}}: {p_{z}^{2}},\quad n\geq 0.}$

에너지는 양자수 k에_y 의존하지 않기 때문에 유한한 수의 퇴화가 있을 것이다(입자를 고정되지 않은 공간에 두면 이 퇴화는 p $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 연속적인 순서에 해당한다.$$$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$의 값은 입자가 z 방향으로 고정되지 않은 경우 연속적이며$$, 입자가 z 방향으로 경계된 경우에도 이산적이다.n의 값이 같은 파동 함수의 각 세트를 란다우 레벨이라고 한다.null

파동 기능의 경우 ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ y ${\$이(가) 해밀턴과 통근한다는$$ 점을 기억해 두십시오.그런 다음 Y 방향으로 모멘텀 고유상태와 조화 오실레이터 고유상태 ${\displaystyle {atesn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$n $⟩{\displaystyle \phi _{n}\rangele }}}$이(가) x 방향으로 양 x로₀ 이동한다$$.

${\displaystyle \Psi (x,y,z)=e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\phi _{n}(x-x_{0}})}$

여기서 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ /${\displaystyle {}_{}\hslash }$ ${\displaystyle k_{z}=p_{z}/\hbar$ $\}.$ 요약하면 전자 상태는 양자수, n, k, k로_yz 특징지어진다.null

대칭 게이지에서

파생은 x와 y를 약간 비대칭으로 취급했다.그러나, 시스템의 대칭에 의해, 이러한 좌표를 구별하는 물리적인 양은 없다.x와 y의 적절한 교환으로 동일한 결과를 얻을 수 있었다.null

게이지의 보다 적절한 선택은 대칭 게이지로, 선택을 가리킨다.

${\displaystyle {\hatsbf {A}}}}}}{\frac {1}{1}{{1}}}\time {\hat {1}{\frac {1}{1}{\begin{pmatrix}-By\\\\\\\}Bx\\0\end{pmatrix}.}$

치수가 없는 길이와 에너지의 측면에서 해밀턴인은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}$

$q{\displaystyle }$ ,${\displaystyle q\mathbf{}}$, ${\displaystyle B}$ ${\$ $및{\displaystyle }$ m$$ ${\displaystyle m}$의 인자를 도입하여 올바른 단위를 복원할 수 있다.

연산자 고려

${\displaystyle {\hat{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}:}\왼쪽/frac {x}{2}}+{\frac {\frac}{\frac}{\frac {2}}:{\frac {\}{\frack\}}{a}}}}}오른쪽]}}}}}}$

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {{b}={\frac {1}{\sqrt {2}}:}\왼쪽/frac {x}{2}}+{\frac {\frac}{\frac}{\frac {2}}:}{\frac {\i1}{\frack\}}}{preak y\}오른쪽)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

이 운영자들은 특정한 통신 관계를 따른다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^,}{\stackrel{}{^}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ] = [${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}^,}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {^}^{}}$ ^ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [{\hat$ {$a},{\hat$ {$a}^{\n1}]=[{\hat {b}}},{\$hat {$b}^{\b$}}^{\m$}}}}=1$

위의 연산자에 관해서 해밀턴인은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\hat {{H}=\hbar \omega_{\rm {c}\왼쪽({\hat {a}^{\dager }}{a}+{\frac{1}{1}2}}\오른쪽),}$

다시 부대를 도입했던 곳이야null

Landau 수준 $지수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$은(는) 연산자 $N{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle {^}^{}}$ $^{\$의 고유값이다$.$

$b{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ $^{\$을(를) 적용하면 n ${\displaystyle n}$을(를) 보존하면서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$${z$$}$이 한 단위씩$$ 증가하는$$ 반면$,$ $^$^ ^$^{\$ n}은$$ n$}$을(으$$)을$$증가시키고 $m{\displaystyle {}_{}}$ {\displaystyputesplaystyptionstyptionstyptionstyproughotalong)을${\displaystyle {}_{}}$으)을(으)$\displaystyle m_{z}}}$단위$$.양자 조화 진동자와 유사하게 솔루션을 제공한다.

${\displaystyle {\H}n,m_{z}\rangele =E_{n}n,m_{z}\rangele ,}$

어디에

${\displaystyle E_{n}=\hbar \hbar \omega_{\rm {c}\왼쪽(n+{\frac {1}{1}2}}\오른쪽)}$

그리고

${\displaystyle n,m_{z}\rangele ={\frac {({\hat {b}^{\n}}^{m_{z}+n}}}}}}}}{\sqrt{(m_{z}+n)!}}}{\frac {({\hat {a}^{\propert }}^{n}}}{n}}{\sqrt{n!}}} 0,0\angle .}$

위의 상태가 다음에 비례하는 파장 기능을 선택하는 것과 일치하는지 확인할 수 있다.

${\displaystyle \property_{n,m_{z}(x,y)=\left\frac {\precent w}{\frac {\w}}{4}\오른쪽)^{n}w^{n+m_{z}}e^{-w ^{2}/4}}$

여기서 $w{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle w=x+iy$

특히 가장 낮은 Landau $레벨{\displaystyle \mathrm{n}}$ = 0 ${\displaystyle n=0}$은(는) 가우스, $\psi {\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ )${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$(${\displaystyle w}$ ) ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle w^{}}$ ${\displaystyle {{}^{\mathrm{}}}^{}}$/ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 곱한 임의 분석 함수로 구성된다$.$

란다우 수준의 퇴보

란다우 게이지에

란다우 수준의 영향은 평균 열 에너지 kT가 에너지 수준 분리 kT ≪ ω Ω보다_c 작을 때만 관측할 수 있으며, 이는 저온 및 강한 자기장을 의미한다.null

각 란다우 수준은 값을 취할 수 있는 두 번째 양자수 k 때문에_y 퇴보한다.

${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$= ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ N ${\displaystyle \frac{L_{}}{}}$ y ${\$ N$}{L_{y$

여기서 N은 정수다.허용된 N 값은 오실레이터의 힘의 중심인 x가₀ 물리적으로 0 ≤ x₀ < L_x 안에 있어야 하는 조건에 의해 더욱 제한된다.이것은 N에 대해 다음과 같은 범위를 제공한다.

${\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega_{\rm {c}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}}.}$

전하 q = Ze를 가진 입자의 경우, N의 상한은 단순히 플럭스의 비율로 쓸 수 있다.

$디스플레이 스타일 {\frac {ZBL_{x}L_{y}}}{(h/e)}}}}}=Z{\frac {\Phi }{\피 _{0}}}$

여기서 φ₀ = h/e는 기본 자속 양자, φ = BA는 시스템을 통과하는 자속이다(영역 A = LL_xy).null

따라서 스핀 S가 있는 입자의 경우 란다우 레벨당 최대 입자 수 D는 다음과 같다.

${\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\\Phi _{0}}~,}$

전자(Z=1 및 S=1/2)에 대해 D = 2φ/φ을₀ 부여하며, 시스템을 관통하는 각 플럭스 퀀텀에 대해 두 개의 사용 가능한 상태를 제공한다.null

위의 내용은 유한 크기 기하학의 효과에 대한 대략적인 아이디어만 제공한다.엄밀히 말하면, 고조파 오실레이터의 표준 용액을 사용하는 것은 x방향(무한 스트립)으로 묶이지 않은 시스템에만 유효하다.L_x 크기가 유한할 경우, 그 방향의 경계 조건은 자기장에 비표준 정량화 조건을 발생시키며, (원리적으로) 헤르미트 방정식에 대한 두 해법 모두를 포함한다.이 수준들을 많은 전자들로 채우는 것은 여전히^[3] 연구의 활동 영역이다.null

일반적으로 란다우 수준은 전자 시스템에서 관찰된다.자기장이 증가함에 따라 점점 더 많은 전자가 주어진 란다우 레벨에 들어갈 수 있다.가장 높은 란다우 수준의 점유 범위는 완전히 꽉 찬 것부터 완전히 비어 있는 것까지 다양하며, 다양한 전자적 특성에서 진동을 초래한다(De Haas–Van Alphen 효과 및 Shubnikov–De Has 효과 참조).null

Zeeman 분할이 포함되면 각 Landau 레벨은 한 쌍으로 나뉘는데, 하나는 스핀 업 전자, 다른 하나는 스핀 다운 전자를 위한 것이다.그렇다면 각 스핀 랜도 레벨의 점수는 플럭스 D = φ/φ의₀ 비율일 뿐이다.Zeeman 분할은 에너지 척도가 같기_B 때문에 란다우 수치에 상당한 영향을 미친다. 2μB = ħΩ_c.그러나, 페르미 에너지와 지상 주 에너지는 많은 채운 레벨이 있는 시스템에서 거의 동일하게 유지된다. 왜냐하면 분할 에너지 레벨의 쌍은 합치면 서로를 상쇄하기 때문이다.null

더욱이, 란다우 게이지의 위 파생은 예를 들어 2차원 전자 기체에서 발견되는 관련 실험 상황인 z 방향으로 제한된 전자를 가정했다.그러나 이러한 가정은 결과에 필수적인 것은 아니다.만약 전자가 z 방향을 따라 자유롭게 움직일 수 있다면, 파동 함수는 추가적인 승법 용어 exp(ikz_zz)를 얻는다; 이 자유 운동에 해당하는 에너지는 논의된 E에 추가된다.²이 용어는 이후 서로 다른 란도 수준의 에너지 분리를 채워 정량화의 효과를 흐리게 한다.그럼에도 불구하고 자기장에 수직인 x-y-plane에서의 동작은 여전히 정량화된다.null

대칭 게이지에서

각 Landau 수준에는 대칭 게이지에$$ 양자수 m ${\displaystyle z_{}}$ ${\$로 라벨이 표시된 퇴행 궤도가 있다.단위 면적당 퇴행성은 각 란다우 레벨에서 동일하다.null

각운동량의 z성분은

${\displaystyle {\l}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \data }}}}{\hat{b}^{\dager{b}-{\dager{b}-{\dager}}{\hat {a}}}}}}}}}}}}}}}$

Exploiting the property ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0}$ we chose eigenfunctions which diagonalize ${\displaystyle {\hat {H}}}$ and ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$, The eigenvalue of ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ is denoted by $$${\displaystyle -}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ $-m_{z}\hbar$ $\},$ $여기$서 n${\displaystyle {}_{}}$${\$$displaystyle$ $m_$${z}\geq$이(가) Landau 레벨에$$ 있는$$ $것$이 분명하다.단, 임의로 클 수 있으며, 이는 시스템이 나타내는 무한 변질(또는 단위 면적당 유한 변질)을 얻기 위해 필요하다.null

상대론적 사례

일정한 자기장 아래 디락 방정식을 따르는 전자는 분석적으로 해결될 수 있다.^[4][5]에너지는 에 의해 주어진다.

${\displaystyle E_{\rm {rel}=\pm {\sqrt {(mc^{2})^{2}+(c\hbar k_{z})^{2}+2\nu \hbar \omega_{\rm}mc}mc^{2}}:$

여기서 c는 빛의 속도, 기호는 입자-입자 성분에 따라 달라지며 ν은 음이 아닌 정수다.스핀으로 인해 ==0의 접지 상태를 제외한 모든 레벨이 퇴보한다.null

질량이 없는 2D 케이스는 Dirac cones 근처에 있는 그래핀과 같은 단층 재료로 시뮬레이션할 수 있으며, 여기서 고유성들은 다음과^[6] 같이 주어진다.

${\displaystyle E_{\rm {graphne}=\pm {\sqrt {2\nu \hbar eBv_{\rm{F}^{2}}:$

빛의 속도는 물질의 페르미 속도 v로_F 대체되어야 하고 마이너스 부호는 전자 구멍에 해당한다.null

페르미 가스의 자기 감수성

페르미 가스(비 상호 작용 페르미온의 앙상블)는 금속의 열역학적 성질을 이해하는 기초의 일부다.1930년에 랜도는 작은 자기장에 대해 일정하게 존재하는 랜도우 감수성으로 알려진 페르미 가스의 자기 감수성에 대한 추정치를 도출했다.랜도는 또한 수용성이 큰 자기장에 대해 높은 주파수로 진동한다는 것을 알아챘는데,[7] 이 물리적 현상을 De Haas-Van Alphen 효과라고 한다.null

이차원 격자

2차원 무한 격자 내 전하 입자의 촘촘한 결합 에너지 스펙트럼은 호프스태터의 나비에서 보듯이 자기 유사성과 프랙탈로 알려져 있다.격자 셀을 통한 자속 양자 및 자속의 정수 비율은 큰 정수에 대한 란다우 레벨을 회복한다.^[8]null

정수 양자 홀 효과

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도움도 된다(2021년 8월)

참고 항목

• 바크하우젠 효과
• 러플린 파동 기능
• 자기장에 내장된 두 개의 전류 루프 사이의 쿨롱 전위

참조

추가 읽기

• 란다우, L. D.와 리프시츠, E. M.; (1977년)양자역학: 비-상대론 이론. 이론 물리학 과정.제3권 (제3판)런던:페르가몬 프레스).ISBN 0750635398.