양자 진자

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양자 진자는 화학에서 방해되는 내부 회전, 산란 원자의 양자 특성, 그리고 수많은 다른 양자 현상을 이해하는 데 기본적이다.소각 근사치의 대상이 아닌 진자는 고유의 비선형성을 가지고 있지만 정량화된 시스템의 슈뢰딩거 방정식은 비교적 쉽게 풀 수 있다.

슈뢰딩거 방정식

고전 역학에서 나온 라그랑기 역학을 이용하면, 이 시스템을 위한 해밀턴식 역학을 개발할 수 있다.단순한 진자에는 하나의 일반화된 좌표(각 $변위{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \phi$ )와 두 가지 제약조건(끈의 길이와 운동면)이 있다.시스템의 운동 에너지와 전위 에너지는 다음과 같은 것을 발견할 수 있다.

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot{\phi }}^{2},}$

$[\displaystyle U=mgl(1-\cos \phi).}$

이것은 해밀턴의 결과를 낳는다.

${\displaystyle {\hat{H}={\frac {{\p}^{2}}:{2ml^{2}}+mgl(1-\cos \phi).}$

시스템에 대한 시간 의존적 슈뢰딩거 방정식은

${\displaystyle i\hbar {d\psi }{dt}=-{{\frac {\hbar ^{2}}:{d^{2}\PSI }{d\pi ^{2}}}+mgl(1-\cos \phi )\psi .}$

사람은 에너지 수준과 그에 상응하는 고유성을 찾기 위해 시간에 구애받지 않는 슈뢰딩거 방정식을 풀어야 한다.이는 독립 변수를 다음과 같이 변경함으로써 가장 잘 달성된다.

${\displaystyle \eta =\phi +\pi ,}$

${\displaystyle \PSI =\psi e^{-iEt/\hbar }}}$

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar^{2}}:{2ml^{2}}:{d^{2}\psi }{d\eta ^{2}}+mgl(1+\cos \eta )\psi .}$

이것은 단순히 마티유의 미분 방정식이다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{d\eta ^{2}}}+\left({\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}\cos \eta \right)\psi =0,}$

누구의 해법은 마티외 기능이다.

해결 방법

에너지

특성 값이라 불리는 {\$displaystyle$ a$}$의 많은 특수 값에 대해$$$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q$$}$을(를$)$ 부여하면, Mathieu $방정식$은 기간 2 $[\displaystyle 2$\pi $}$으로 주기적인 솔루션을 허용한다.$$Mathieu cosine, 사인 함수의 특성 ${\displaystyle {값}_{}}$은 ${\displaystyle \mathrm{각각}{}_{}}$n (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle )}$ , ${\displaystyle {bn}_{}}$)로 기록된다.${\displaystyle {}_{}(}$ ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q$ 여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(는) 자연수다.The periodic special cases of the Mathieu cosine and sine functions are often written ${\displaystyle CE(n,q,x),SE(n,q,x)}$ respectively, although they are traditionally given a different normalization (namely, that their ${\displaystyle L^{2}}$norm equals ${\displaystyle \pi }$).

${\displaystyle {}_{}}$ 진자의 경계 조건은 n (${\displaystyle {}_{}q}$)$$,${\displaystyle {}_{}b}$ ( q ) {\$displaystyle a_{n}($q),b_${n}(q)}$이(가) 주어진 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 대해 다음과$$ 같음을 의미한다$.$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{d\eta ^{2}}}+\left({\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}\cos \eta \right)\psi =0,}$

${\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q)={\frac {2mEl^{2}}:{{\hbar^{2}}-{2m^{2}gl^{3}{\hbar ^{2}}:}}.}$

The energies of the system, ${\displaystyle E=mgl+{\frac {\hbar ^{2}a_{n}(q),b_{n}(q)}{2ml^{2}}}}$ for even/odd solutions respectively, are quantized based on the characteristic values found by solving the Mathieu equation.

유효 전위 깊이는 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle q={\frac {m^{2}gl^{3}{\hbar ^{2}}.}$

깊은 전위는 독립적인 전위에서 입자의 역학을 산출한다.이와는 대조적으로, 얕은 잠재력에서는, 양자 터널링뿐만 아니라, 블로흐 파동이 중요해진다.

일반용액

a와 q의 주어진 값에 대한 위의 미분 방정식의 일반적인 해법은 각각 짝수 해법이고 홀수 해법인 마티외 코사인과 마티외 시인의 집합이다.일반적으로 마티외 함수는 주기적인 것이지만, ${\displaystyle n_{}}$ (${\displaystyle {}_{}q}$)${\displaystyle }$, b ($q$)의 특성 값의 경우$,$ $마티외$ 코사인 및 사인($sine$)은 2$$sine {\$displaystyle 2\pi }$의 기간으로 주기적인 값이 된다$.$

아이겐스타테스

q의 양수 값에 대해서는 다음이 참이다.

${\displaystyle C(a_{n}(q),q,x)={\frac {CE(n,q,x)}{CE(n,q,0)}},}$

${\displaystyle S(b_{n}(q),q,x)={\frac {SE(n,q,x)}{SE'(n,q,0)}}}.}$

여기 $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q=1}$에 대한 몇 가지 주기적인 Mathieu cosine 함수가 있다$.$

예를 들어, $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$( 1,${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle CE ($1$,1,x)}($녹색)는 코사인 함수와 유사하지만 평평한 언덕과 얕은 계곡이 있다는 점에 유의하십시오.

참고 항목

• 양자 조화 진동자

참고 문헌 목록

• Bransden, B. H.; Joachain, C. J. (2000). Quantum mechanics (2nd ed.). Essex: Pearson Education. ISBN 0-582-35691-1.
• Davies, John H. (2006). The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction (6th reprint ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-48491-X.
• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• 무함마드 아유브, 원자 광학 양자 진자, 2011, 파키스탄 이슬라마바드, http://lanl.arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1012/1012.6011v1.pdf