고조파 트랩의 가스

양자 고조파 오실레이터의 결과는 고조파 트랩에서 양자 이상 기체의 평형 상황을 살펴보는 데 사용할 수 있는데, 이는 즉각적인 열화 충돌 이외에는 서로 상호작용하지 않는 다수의 입자를 포함하고 있는 고조파 전위다.이러한 조화 덫에서 보세 가스에 대한 많은 실험 연구가 행해지고 있기 때문에 이러한 상황은 실제적으로 매우 중요하다.

맥스웰-볼츠만 통계, 보즈-아인슈타인 통계 또는 우리가 사용하는 페르미-디락 통계 중 하나의 결과를 사용하여-페르미 근사치(상자 안의 가스)와 매우 큰 트랩의 한계로 가서, 에너지 상태의 퇴보성(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$을 미분(differential)으로 표현하고, 상태에서의 합계를 통합으로 표현한다.그러면 우리는 칸막이 기능이나 그랜드 칸막이 기능을 이용하여 기체의 열역학적 특성을 계산할 수 있는 위치에 있게 될 것이다.상자 안의 이상적인 기체의 경우처럼 그 결과도 질량이 없는 입자로 확장될 수 있지만, 질량이 큰 입자의 경우만 고려될 것이다.더 완전한 계산은 기사를 구분하는데 남겨질 것이지만, 이 글에는 몇 가지 간단한 예가 주어질 것이다.

토마스-페르미 국가 퇴화에 대한 근사치

조화 우물 안의 거대한 입자의 경우 입자의 상태는 양자 숫자 집합$[$${\displaystyle n_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle y_{}}$ n ${\displaystyle z_{}}$ $]$에 의해 열거된다[$n_{x},n_{y},n_{z}].$특정 상태의 에너지는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle E=\hbar \omega \left(n_{x}+n_{y}+n_{z}+3/2\right)~~~~~~~~n_{i}=0,1,2,\ldots }$

각 양자 번호 집합이 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 상태를$$ 지정한다고 가정합시다. $여기$서 f ${\displaystyle f}$은 충돌에 의해 변경될 수 있는 입자의 내부 자유도 수입니다.예를 들어 스핀-1/2 입자는 각 스핀 상태에 대해 하나씩$$$f{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle f=$2}을$($를) 가질 수 있다.우리는 입자의 각각의 가능한 상태를 양의 정수의 3차원 그리드에 있는 점으로 생각할 수 있다.토머스-페르미 근사치는 양자 수가 너무 커서 연속체로 간주될 수 있다고 가정한다.$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 큰 값에 대해 위 방정식에서 에너지가$$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$보다 작거나 같은 상태의 수를 다음과 같이 추정할 수 있다$.$

${\displaystyle g=f\,{\frac {n^{3}}{6}}=f\,{\frac {(E/\hbar \hbar \omega)^{3}{6}}}}$

$이것$은 에너지 방정식과 양의 옥탄트의 경계면에 의해 묘사된 평면에 의해 형성된 4면체의 부피의 단지 f $[\displaystyle f}$배이다$$.$따라서{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$과(와) $E{\displaystyle }$+ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E+dE}$ 사이에 에너지가 있는 상태의 수는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle dg={\frac {1}{1}:{2}}\,fn^{2}\,dn={frac {f}{{hbar \omega \beta )^{3}}}{{1}{1}:{1}{1}2}}~\frac ^{3}E^{2}\,dE}$

이 연속체 근사치를 사용할 때, ${\displaystyle {우리}_{}}$는${\displaystyle {}_{}\mathrm{ni}}$ = 0$${\$displaystyle n_{$i}=$0}$을(를) 포함한 저에너지 상태를 특성화할 수 있는 능력을 상실했다는 점에$$유의하십시오. 대부분의 경우 이는 문제가 되지 않지만, 가스의 많은 부분이 지면 상태 또는 그 근처에 있는 보스-아인슈타인 응결을 고려할 때,e, 우리는 낮은 에너지 상태에 대처하는 능력을 회복해야 할 것이다.

연속체 근사치를 사용하지 않고 에너지 ${\displaystyle {energy}_{}}$ i ${\$를 가진 입자의 수는 다음과 같이 주어진다$$.

${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{\\피 }}$

어디에

${\displaystyle \Phi =e^{\beta (\엡실론 _{i}-\mu )}}}$	Maxwell-Boltzmann 통계를 준수하는 입자용
${\displaystyle \Phi =e^{\beta(\엡실론 _{i}-\mu )}-1}$	보스-아인슈타인 통계에 따르는 입자용
${\displaystyle \Phi =e^{\beta(\엡실론 _{i}-\mu )}+1}$	Fermi-Dirac 통계에 따르는 입자용

$\beta {\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \beta =1/kT$ k {\$displaystyle k}$은(는$)$ 볼츠만의 상수, $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은(는) 온도$,$ μ {\$displaysty \mu }$은(는) 화학 전위성이 된다.연속체 근사치를 사용하여 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$과(와) $E{\displaystyle }$+ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E+dE}$ 사이의 에너지를 가진$$ ${\displaystyle d}$ N ${\displaystyle dN}$의 개수가 기록된다$$.

${\displaystyle dN={\frac {dg}{\피 }}$

에너지 분배 함수

우리는 지금 "조화 함정에 있는 가스"에 대한 분배 기능을 결정할 수 있는 위치에 있다.모든 변수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대한 분포 함수는 P $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{A}dA}$이며 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 A${\displaystyle }$+ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+dA}$ 사이의$$ A$${\$displaystystyle A}$에 대한 값을 갖는 입자 비율과 동일하다$.$

${\displaystyle P_{A}~dA={\frac {dN}{N}}={\frac {dg}{N\Phi}}}}}$

그 다음은 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{A}{A}~dA=1}$

이러한 관계를 사용하여 에너지 분배 기능을 얻는다.

${\displaystyle P_{E}~dE={\frac {1}{{{1}{N}\,\frac({f}{f}{hbar \omega \beta )^{3}}\frac {1}{1}{1}:{3}E^{}}}}}}}{\\\}}}}}}}}}}}}}}}{\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\파이 }}\,dE}$

구체적인 예

다음 절에서는 일부 특정 사례에 대한 결과의 예를 제시한다.

매시브 맥스웰-볼츠만 입자

이 경우:

${\displaystyle \Phi =e^{\beta (E-\mu )}\,}$

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$에 대한 에너지 분배 기능 통합 및 해결 방법$$:

${\displaystyle N={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}~e^{\beta \mu }}}}}}$

원래의 에너지 분배 기능으로 대체하면 다음을 얻을 수 있다.

${\displaystyle P_{E}~dE={\frac {\beta ^{3}E^{2}e^{-\beta E}{2}}\,dE}$

메시브 보세-아인슈타인 입자

이 경우:

${\displaystyle \Phi =e^{\\beta \epsilon }/z-1\,}$

$여기$서 z ${\displaystyle z}$은(는) 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle z=e^{\data.mu }\,}$

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$에 대한 에너지 분배 기능 통합 및 해결 방법$$:

${\displaystyle N={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}\mathrm {Li} _{3}(z)}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 L ${\displaystyle {}_{}}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {Li} _{s}(z)}$은 다로그함수다.다변량 용어는 항상 양수여야 하며 실제여야 하며$,$ $이$는 값이 0에서 ${\displaystyle \mathrm{\zeta }}$ (${\displaystyle }$3${\displaystyle }$)로,$$z {\$displaystyle$$\zeta$ (3$)$은 0에서 1로 변경됨을$$ 의미한다.온도가 0이 되면 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta$ $}$이(가) 점점 더 커지고 마침내$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$beta$ $_{c}$이(가) 임계 값$$ c {\$displaystyle$ \$beta$ _$\{$c}에$$ 도달할 때까지$$ 여기서 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystystylean$ z$=1}$및

${\displaystyle N={\frac {f}{(\hbar \omega \beta _{c}^{3}}}}\제타 (3)}$

$\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$의 온도는 보스-아인슈타인 응축수가 형성되기 시작하는 임계 온도다$$.문제는 위에서 언급한 바와 같이 연속적인 근사치에서 지상 상태가 무시되어 왔다는 것이다.상기 표현은 흥분된 상태에서 보손의 수를 다소 잘 표현하고 있으므로 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle N={\frac {g_{0}z}{1-z}+{\frac {f}{{{f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}\mathrm {Li}{3}(z)}$

여기서 추가된 항은 지면 상태의 입자 수입니다.(지상국 에너지는 무시되었다.)이 방정식은 영온으로 유지될 것이다.이상적인 보세 가스에 관한 글에서 더 많은 결과를 찾을 수 있다.

거대한 페르미-디락 입자(예: 금속의 전자)

이 경우:

${\displaystyle \Phi =e^{\beta (E-\mu )}+1\,}$

에너지 분배 기능의 통합은 다음을 제공한다.

${\displaystyle 1={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}\왼쪽[-\mathrm {Li} _{3}(-z)\오른쪽]}}}$

${\displaystyle {\mathrm{여기}}_{}}$서 다시 L ${\displaystyle i{}_{}}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {Li} _{s}(z)}$은 다로그함수다.이상적인 페르미 가스에 관한 기사에서 더 많은 결과를 찾을 수 있다.

참조

• Huang, Kerson, "통계역학", John Wiley and Sons, New York, 1967년
• A. 이시하라, 1971년 뉴욕 아카데믹 프레스 "통계 물리학"
• L. D. 랜도와 E. M. 리프시츠, "통계학, 제3판 1부", 버터워스-하이네만, 옥스포드, 1996년
• C. J. Pethick과 H. Smith, "Bose-Einstein Consolution in Emmin Gases", 2004년 캠브리지 주 캠브리지 대학 출판부