후크의 원자

후크의 원자는 하모니움 또는 후키움으로도 알려져 있는데, 쿨롬빅 전자-핵 상호작용 전위가 조화 전위로 대체되는 인공 헬륨 같은 원자를 말한다.^[1][2] 이 시스템은 고조파 격납을 정의하는 힘의 일정한 특정 값에 대해 전자 상관 관계를 명시적으로 포함하는 정확히 해결 가능한^[3] 지상 상태 다전자 문제인 것처럼 중요하다. 이와 같이 양자상관(비물리적 핵전위가 존재하는 경우가 거의 없음)에 대한 통찰력을 제공할 수 있으며 슈뢰딩거 방정식 해결을 위한 대략적인 양자 화학적 방법의 정확성을 판단하는 시험 시스템 역할을 할 수 있다.^[4][5] "후크의 원자"라는 이름은 전자와 핵의 상호작용을 묘사하는 데 사용되는 조화 전위가 후크의 법칙의 결과물이기 때문에 생겨난다.

정의

원자 단위를 사용하면서 후크의 원자를 정의하는 해밀턴인은

${\displaystyle {\hat{H}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{1}{1}^{1}{1}{1}{{1}^{1}{1}{1}}}{{1}{1}^{1}}+R_{2}}^{2}}+{\frac {1}{ \mathbf {r} \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2} }}}}$

쓰여진 대로 처음 두 항은 두 전자의 운동 에너지 연산자, 세 번째 항은 조화 전자-핵전위 전위, 그리고 마지막 항은 전자-전자 상호작용 전위다. 헬륨 원자의 비상대적 해밀턴은 대체에 있어서만 다르다.

${\displaystyle -{\frac {2}{r}\오른쪽 화살표 {\frac {1}{1}{2}}kr^{2}.}$

해결책

해결해야 할 방정식은 두 전자 슈뢰딩거 방정식이다.

${\displaystyle {\hat{H}\PSI(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}=E\PSI(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})}$

힘 상수 k의 임의 값에 대해 슈뢰딩거 방정식은 분석 솔루션을 가지고 있지 않다. 단, k=csv와 같이 셀 수 없이 많은 값의 경우 단순 폐쇄형 솔루션을 도출할 수 있다.^[5] 시스템의 인위적인 특성을 고려할 때, 이 제한은 해결책의 유용성을 방해하지 않는다.

이를 해결하기 위해 먼저 시스템을 데카르트 전자좌표(r₁,r₂)에서 질량좌표 중심(R,u)으로 변환하여 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{1}:{2}}(\mathbf {r} _{2}),\mathbf {u} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}.}$

(그리고 다른 형태로 대체되지 않았)변수 기법의 일반적인 분리는 형태 Ψ(r1, r2)의 파동 함수에 대한 해결책을 발전시키기 위해)적용될 수 있도록 χ(R)Φ(u){\와 같이 이러한 변화에 따라 그 말은 해밀토니안이 분리 –, r1-r2 용어는 두개의 전자 결합된다.출신의.$splaystyle \Psi(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}=\chi(\mathbf {R} )\Phi(\mathbf {u}$ $)\}.$ 원래의 슈뢰딩거 방정식은 다음으로 대체된다.

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}}\nabla _{\mathbf {R}{2}+kR^{2}\right)\chi(\mathbf {R} )=E_{\mathbf {R}}}}, {R},},}}}}$

${\displaystyle \left\putla _{\mathbf {u}{}^{2}+{\frac {1}{4}}ku^{2}+{\frac {1}}\오른쪽)\Phi(\mathbf {u} )=E_{\mathbf {u}\Phi(\mathbf {u}).}$

The first equation for ${\displaystyle \chi (\mathbf {R} )}$ is the Schrödinger equation for an isotropic quantum harmonic oscillator with ground-state energy ${\displaystyle E_{\mathbf {R} }=(3/2){\sqrt {k}}E_{\mathrm {h} }}$ and (unnormalized) wave function

${\displaystyle \chi(\mathbf {R} )=e^{-{\sqrt{k}R^{2}.}$

Asymptotically, the second equation again behaves as a harmonic oscillator of the form ${\displaystyle \exp(-({\sqrt {k}}/4)u^{2})\,}$ and the rotationally invariant ground state can be expressed, in general, as ${\displaystyle \Phi (\mathbf {u}$$)=f(u)\exp(-({\sqrt{k}/4)u$$^{2},$ 일부 함수 $f{\displaystyle (u}$ ) ${\$f(u)는 u에서 선형 함수에 의해 매우 잘 근사하다는 것이 오래 전부터 주목되었다.^[2] 모델이 제안된 지 30년이 지난 후 k=migration에 대한 정확한 ^[3]해법이 발견되었고, f(u)=1+u/2로 나타났다. 이후 다음과 같이 지상의 정확한 해법으로 이어지는 k의 값이 많다는 것을 알 수 있었다.^[5]

분해 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle u\mathbf{}}$) = R ${\displaystyle l_{}}$ (${\displaystyle u}$ ) Y ${\displaystyle l_{}}$ m ${\$$Y_{lm}}$과(와) 라플라시안(Laplacian)을 구형 좌표로 표현하고,

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\partial }{\partial u}}\left(u^{2}{\frac {\partial }{\partial u}}\right)+{\frac {{\hat {L}}^{2}}{u^{2}}}+{\frac {1}{4}}ku^{2}+{\frac {1}{u}}\right)R_{l}(u)Y_{lm}({\hat {\mathbf {u}}}}}})=E_{l}R_{l}(u)Y_{lm}({\hat {\mathbf {u}}}),}$

R ${\displaystyle l_{}}$ (${\displaystyle u}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ (${\displaystyle u}$ ) /${\displaystyle u}$ ${\$로 방사파 함수를 분해한다.첫$$ 번째 파생상품을 산출하는 $S_{l}(u)/u\,}$

${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}S_{l}(u)}{\partial u^{2}}:00}\좌측({\frac u^{l+1)}{u^{1}{1}{4}}}}{4}ku^{1}}}}}}}}\우측)S_{l}(u)=E_{l}S_{l}(u).}$

점근거동 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ (${\displaystyle u}$ )${\displaystyle }$~ e${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {u{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ $displaystyle S_{l}(u)\심$ e$^{-{\frac{\sqrt{k}}{4}}{4}u^{2}}:}}}}$는 형태의 솔루션을 권장한다$$.

${\displaystyle S_{l}(u)=e^{-{-{\frac {\sqrt{k}}{4}u^{2}}T_{l}(u).}$

${\displaystyle T_{}}$ l (${\displaystyle {}_{}u}$) ${\$에 의해 충족되는 미분 방정식은$$

${\displaystyle -{\frac {\fract ^{2}T_{l}(u)}{\partial u^{2}}}+{\sqrt {k}}u{\frac {\partial T_{l}(u)}{\partial u}}+\left({\frac {l(l+1)}{u^{2}}}+{\frac {1}{u}}+\left({\frac {\sqrt {k}}{2}}-E_{l}\right)\right)T_{l}(u)=0.}$

이 방정식은 프로베니우스 방식으로 해결책에 도움이 된다. 즉, T ${\displaystyle l_{}}$ (${\displaystyle {}_{}u}$) ${\$는 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle T_{l}(u)=u^{m}\sum _{k=0}^{\inflt }\a_{k}u^{k}.}$

$다음$을 만족하는$$ 일부 $m{\displaystyle }$ ${\$ m$\,}$ 및$$${\displaystyle }${${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_k^{}}$ ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ = 0 k${\displaystyle {}_{}^{}}$= $displaystyle$의 경우:

$[\displaystyle m(m-1)=l(l+1)\...}$

${\displaystyle a_{0}\neq 0\,}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {a_{0}}{2(l+1)},}$

${\displaystyle a_{2}={\frac {a_{1}+\left({\sqrt {k}}(l+{\frac {3}{2}})-E_{l}\right)a_{0}}{2(2l+3)}}={\frac {a_{0}}{2(2l+3)}}\left({\frac {1}{2(l+1)}}+{\sqrt {k}}\left(l+{\frac {3}{2}}\right)-E_{l}\right),}$

${\displaystyle a_{3}={\frac {a_{2}+\좌측({\sqrt{k}{5}{2}}:-E_{l}\우측)a_{1}{6(l+2)},},}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+\좌측({\sqrt{k}})(l+{1}{2}}+n)-E_{l}\우측)a_{n-1}{n-1}{n+1)(2l+2+n)}}.}$

지시 방정식에 대한 두 가지 해결책은 $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{l}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m=l+1$} 및$$ $m{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- l ${\displaystyle$ m$=-l}$이며, 이 중$$ 전자는 정규(경계, 정규화) 파형 함수를 산출하므로 취한다. 단순한 해결책이 존재하기 위해 무한 시리즈가 종료를 모색하고, 여기서 k의 특정 가치를 정확한 폐쇄형 해결책에 활용한다. 특정 순서에 따라 다항식을 종료하는 것은 해밀턴어를 정의하는 k의 다른 값으로 수행할 수 있다. 이와 같이 정확한 지상국 솔루션과 함께 조화 격납장 강도에서만 다른 무한대의 시스템이 존재한다. 가장 간단히 말해서, k ≥ 2에 대해_k a = 0을 부과하려면 다음 두 조건을 충족해야 한다.

${\displaystyle {\frac {1}{1}{2(l+1)}+{\sqrt{k}\왼쪽(l+{\frac {3}{2}}\오른쪽)-E_{l}=0,}$

${\displaystyle {\sqrt{k}(l+{\frac {5}{2}})=E_{l}}}$

이는 각각 a₂ = 0과 a = 0을₃ 직접 강제하며, 3기 불황의 결과로 높은 계수도 모두 사라진다. $k{\displaystyle \sqrt{}}$ $displaystyle {\sqrt {k}\,}$ 및$$ E ${\displaystyle l_{}}$ $displaystyle E_{l}\$에 대한 해결$$

${\displaystyle {\sqrt{k}={\frac {1}{2(l+1)}},}$

${\displaystyle E_{l}={\frac {2l+5}{4(l+1)}},}$

및 방사파 함수

${\displaystyle T_{l}=u^{l+1}\좌측(a_{0}+{prac{a_{0}}{0}}}{2(l+1)}우측).}$

$R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ (${\displaystyle {}_{}u}$) ${\$으)로 다시 변환하는 중

${\displaystyle R_{l}(u)={\frac {T_{l}(u)e^{-{\frac {\sqrt {k}}{4}}u^{2}}}{u}}=u^{l}\left(1+{\frac {1}{2(l+1)}}u\right)e^{-{\frac {\sqrt {k}}{4}}u^{2}},}$

지상 상태($l{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\$ 및$$ 에너지 $5{\displaystyle \mathrm{}}$/ 4 ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ h $displaystyle 5/4E_{\mathrm {h$가 마침내 된다.

${\displaystyle \Phi(\mathbf {u} )=\왼쪽(1+{\frac {u}{2}}\오른쪽)e^{-u^{2}/8}.}$

원래의 좌표를 조합, 정상화 및 다시 변환하면 다음과 같은 접지 상태 파동 기능을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{2{\sqrt {8\pi ^{5/2}+5\pi ^{3}}}}}\left(1+{\frac {1}{2}} \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2} \right)\exp \left(-{\frac {1}{4}}{\big (}r_{1}^{2}+r_{2}^{2}{\big )}\오른쪽).}$

그러면 $해당{\displaystyle }$ 지상 상태 총 에너지는 E${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$+ ${\displaystyle E\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle u_{}}$= ${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\displaystyle 4}$+ ${\displaystyle \frac{5}{}}$= 2 ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ h ${\$4}}}}{$4}}=2E_{\mathrmatrm$

언급

특수 케이스 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ $[\displaystyle k=1/4}$에 대한 Hooke 원자의 정확한 접지 상태 전자$$^[4] 밀도는

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )={\frac {2}{\pi ^{3/2}(8+5{\sqrt {\pi }})}}e^{-(1/2)r^{2}}\left(\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{1/2}\left({\frac {7}{4}}+{\frac {1}{4}}r^{2}+\left(r+{\frac {1}{r}}\right)\mathrm {erf} \left({\frac {r}{\sqrt {2}}}\right)\right)+e^{-(1/2)r^{2}}\right).}$

이를 통해 우리는 밀도의 방사상 파생물이 핵에서 사라짐을 알 수 있다. 이는 한이 없는 쿨롱 전위의 결과로 밀도가 핵에 정점을 표시하는 실제(비-상대적) 헬륨 원자와 극명한 대조를 이룬다.

참고 항목

• 분석 솔루션을 갖춘 양자-기계 시스템 목록

참조

추가 읽기

• Cioslowski, Jerzy; Pernal, Katarzyna (2000). "The Ground State of Harmonium". The Journal of Chemical Physics. 113 (19): 8434–8443. Bibcode:2000JChPh.113.8434C. doi:10.1063/1.1318767.
• O’Neill, Darragh P.; Gill, Peter M. W. (2003). "Wave functions and two-electron probability distributions of the Hooke's-law atom and helium" (PDF). Physical Review A. 68 (2): 022505. Bibcode:2003PhRvA..68b2505O. doi:10.1103/PhysRevA.68.022505.