위그너-바일 변환

양자역학에서 위그너-바일 변환 또는 바일-비그너 변환(Hermann Weyl and Eugene Wigner 이후)은 슈뢰딩거 그림에서 양자 위상 공간 공식의 함수와 힐베르트 공간 연산자 사이의 가역적 매핑입니다.

종종 위상 공간의 함수에서 연산자로의 매핑을 Weyl 변환 또는 Weyl 양자화라고 하는 반면, 위상 공간의 연산자에서 함수로의 역 매핑을 Wigner 변환이라고 합니다. 이 매핑은 원래 1927년 헤르만 바일이 대칭화된 고전 위상 공간 함수를 연산자에 매핑하기 위해 고안한 것으로, 이 과정은 바일 양자화로 알려져 있습니다.^[1] 이제 와일 양자화가 일관된 양자화에 필요한 모든 특성을 만족시키지 못하고, 따라서 물리적이지 않은 답을 산출하는 경우도 있다는 것을 알게 되었습니다. 반면, 아래에 설명된 몇 가지 좋은 속성은 고전적 위상 공간에서 연산자에 대한 단일 일관된 절차 매핑 함수를 찾는 경우 웨일 양자화가 가장 좋은 옵션임을 시사합니다. 이러한 맵의 정규 좌표 유형입니다. (Groenewold의 정리는 어떤 지도도 원하는 이상적인 성질을 모두 가질 수 없다고 주장합니다.)

그럼에도 불구하고, Weyl-Wigner 변환은 위상 공간과 연산자 표현 사이에 잘 정의된 통합 변환이며 양자 역학의 작동에 대한 통찰력을 제공합니다. 가장 중요한 것은 위그너 준확률 분포는 양자 밀도 행렬의 위그너 변환이며, 반대로 밀도 행렬은 위그너 함수의 위그너 변환입니다.

일관된 양자화 체계를 추구하려는 Weyl의 원래 의도와는 달리, 이 지도는 양자역학 내에서 표현의 변화에 불과합니다. "고전적"과 "양자" 양을 연결할 필요는 없습니다. 예를 들어, 위상 공간 함수는 각운동량과 관련된 일부 익숙한 경우처럼 플랑크의 일정한 ħ에 명시적으로 의존할 수 있습니다. 이 가역적인 표현 변화는 1940년대 Hilbrand J. Groenewold와^[2] José Enrique Moyal이 인정한 바와 같이 위상 공간에서 양자역학을 표현할 수 있게 합니다.^[3][4]

일반적인 관측 가능한 와일 양자화의 정의

다음은 가장 단순한 2차원 유클리드 위상 공간에서의 와일 변환을 설명합니다. 위상공간 위의 좌표를 (q,p)라고 하고, f를 위상공간 위의 모든 곳에 정의된 함수라고 합니다. 다음에서는 슈뢰딩거 표현에서 일반적인 위치 및 운동량 연산자와 같이 표준 정류 관계를 만족하는 연산자 P와 Q를 고정합니다. 저희는 지수화된 연산자 ${\displaystyle {ei}^{}}$ ${\displaystyle a^{}}$ Q ${\$ $e$$^{iaQ}}$ 및$$ ${\displaystyle {\mathrm{eb}}^{}}$ P ${\$ e$^{ibP}}$가 Weyl 관계의 축소할 수 없는 표현을 구성한다고$$ 가정하여 스톤-본 노이만 정리(표준 교환 관계의 유일성 보장)가 유지됩니다.

기본식은

함수 f의 와일 변환(또는 와일 양자화)은 힐베르트 공간에서 다음 연산자에 의해 주어집니다.^[5]

전체적으로 ħ은 감소된 플랑크 상수입니다.

연산자${\displaystyle e^{}}$(a Q + b P ) {\display e$^{i(aQ$+ $bP)}}$를 그대로 두고 함수 f의$$ 일반적인${\displaystyle \stackrel{}{}}푸리에{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 변환$$f ~ {\$displaystyle {\tilde$ {f$}}$를 계산하는 효과가 있는 위 공식의 p와 q 적분을 먼저 수행하는 것이 유용합니다$.$ 이 경우 Weyl $변환$은 다음과^[6] 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \mathrm{}}$]${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\mathrm{}\frac{1^{}}{}}$(π${\displaystyle \mathrm{)}}$ $2$ ∬ f ~ (a, b) ei a Q + ib P d dad {\displaystyle \Phi${\displaystyle \mathrm{}}$[f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}\iint {\tilde {f}}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db}.

따라서 Weyl 지도는 다음과 같이 생각할 수 있습니다. 함수 $f{\displaystyle (p,}$ ${\displaystyle q)}$ ${\displaystyle$ f$(p,q)}$의 일반적인 푸리에 변환을 취하지만$,$ 푸리에 반전 공식을 적용할 때 양자 연산자 $P{\displaystyle }${\$displaystyle P}$와$$Q {\$displaystyle$ Q$}$를 원래 고전 변수 p와 q로 대체하여 "f의 양자 버전"을 얻습니다.

덜 대칭적이지만 응용하기에 편리한 형태는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {2}{(2\pi \hbar )^{3/2}}\iint \!\!\iint \!\!dq\,dp\,d{\tilde {x}}\,d{\tilde {p}}\ e^{{\frac {i}{\hbar }}({\tilde {x}}{\tilde {p}}-2({\tilde {p}}-p)({\tilde {x}}-q))}~f(q,p)~ {\tilde {x}}\rangle \langle {\tilde {p}} .}$

위치 표현에서

그러면 와일 맵은 이 연산자의 적분 커널 행렬 요소로 표현될 수도 있습니다.^[7]

${\displaystyle \langle x \Phi [f] y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right).}$

역맵

위의 와일 맵의 역은 위그너 맵으로 연산자 φ를 원래 위상 공간 커널 함수 f로 되돌립니다.

예를 들어 발진기 열 분배 연산자 ${\displaystyle \exp }$⁡( - ${\displaystyle {\beta }^{}}$ ( ${\displaystyle P{}^{}}$2${\displaystyle }$+ ${\displaystyle Q}$2 )$$/ $2$ ) ${\displaystyle \exp(-\beta (P^{$2}+$Q^{$2}/2)}의 Wigner 맵은

${\displaystyle \exp _{\star }\left (-\beta(p^{2}+q^{2})/2\right)=\left(\cosh ({\frac {\beta \hbar }{2})\right)^{-1}\exp \left ({\frac {-2}{\hbar }\tanh ({\frac {\hbar }{2}(p^{2}+q^{2})/2\right)}$

위 식에서$$φ$$ħ [f] ${\displaystyle$\Phi [f]}를 임의의 연산자로 대체하면 결과 함수 f는 플랑크의 일정한 ħ에 의존할 수 있으며, 아래의 별 제품을 통해 적절하게 구성된다면 양자역학 과정을 잘 설명할 수 있습니다. 차례로, 위그너 지도의 웨일 지도는 그로운월드의 공식으로 요약됩니다.^[5]

${\displaystyle \Phi [f]=h\iint \,da\,db~e^{iaQ+ibP}\operatorname {Tr} (e^{-iaQ-ibP}\Phi ).}$

다항식 관측치의 와일 양자화

위의 공식들은 위상 공간에서 매우 일반적인 관측 가능한 바일 양자화를 잘 이해하지만, $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 및 $p$ ${\displaystyle p}$의 다항식과 같은 단순한 관측 가능한 것들에 대한 계산에는 그다지 편리하지 않습니다$.$ 다음 절에서 이러한 다항식에 대해 알아보겠습니다. Weyl 양자화는 비통근 연산자 $Q$ ${\displaystyle$ Q$}$와 P ${\displaystyle P}$의 완전 대칭 순서를 나타냅니다$.$ 예를 들어, 양자 각운동량 제곱 연산자 L의 위그너 맵은 고전적인 각운동량 제곱뿐만 아니라 오프셋 항 -3 ħ/2를 더 포함합니다. 그것은 지상 상태의 보어 궤도의 사라지지 않는 각운동량을 설명합니다.

특성.

다항식의 와일 양자화

$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$q$}$및 p$$ ${\displaystyle$ p$}$의 다항 함수에 대한 Weyl 양자화의 작용은 다음 대칭 공식에 의해 완전히 결정됩니다$$.^[9]

${\displaystyle(aq+bp)^{n}\longmapsto (aQ+bP)^{n}}$

모든 복소수에 대하여 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$와 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ b$}.$이 공식으로부터, q $k{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {pl}^{}}$ ${\$k}$p^{l}}$ 형식의 함수에 대한 Weyl 양자화가 Q ${\displaystyle$ Q$}$의 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k}$인자$와 P$$ ${\displaystyle$ P$}$의 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ l}$인자$의 모든 $가능$한 순서의 평균을 제공한다는$$ 것을 보여주는 것은 어렵지 않습니다.$$예를 들어, 우리는

${\displaystyle 6p^{2}q^{2}~~\longmapsto ~~P^{2}Q^{2}+Q^{2}P^{2}+PQPQ+PQ^{2}P+QPQP+QP^{2}Q.}$

이 결과는 개념적으로 자연스러운 것이지만 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$와 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ l$}$이 큰 경우 계산에 편리하지 않습니다. 이런 경우에는 맥코이의 공식을^[10] 대신 사용할 수 있습니다.

${\displaystyle p^{m}q^{n}~~\longmapsto ~~{1 \over 2^{n}}\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}Q^{r}P^{m}Q^{n-r}={1 \over 2^{m}}\sum _{s=0}^{m}{m \choose s}P^{s}Q^{n}P^{m-s}.}$

${\displaystyle {이\mathrm{}}^{}}$ 표현식은 p 2 ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 경우 위의 완전 대칭 표현식과$$ 분명히 다른 답을 제공합니다. 그러나 표준 정류 관계는 동일한 연산자에 대해 둘 이상의 식을 허용하므로 모순이 없습니다. ($독자$는 p 2 ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ 2 {\${\displaystyle {displaystyle\mathrm{}}^{}}$ p$^{2}q^{2}}$의 경우에 대한 전체 대칭 $공식$을 연산자 P 2 Q 2 ${\$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2 Q {\displaystyle $QP^{2$ 그리고 $Q$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle$ Q$^{2}P^{2}}$이고, McCoy 공식의 첫 번째 $식을$ m = ${\displaystyle n}$ = ${\displaystyle 2}${\$displaystyle$m = n = 2}로 확인합니다.)

모든 양자화 체계 중에서 Weyl 양자화는 고전적인 측면의 포아송 괄호를 양자 측면의 정류자에 매핑하는 데 가능한 한 가깝다고 널리 생각됩니다. (Groenewold의 정리에 비추어 정확한 대응은 불가능합니다.) 예를 들어, 모얄은 다음을 보여주었습니다.

정리: $f{\displaystyle }$(${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle p)}$ ${\displaystyle$ f$(q, p)}$가 최대 2의 차수의 $다항식$이고${\displaystyle g}$(${\displaystyle q,}$ p$)$ {\$displaystyle$ g$(q,$ p)}가 임의의 다항식인 경우${\displaystyle }$φ ℏ${\displaystyle (\{f,}$ g}) = 1${\displaystyle \mathrm{i}}$φ$$[φ φ(f), φ (g)] {\displaystyle \Phi(\{f,g\}) = {\frac {1}{i\hbar }[\Phi(f),\Phi(g)}}입니다.

일반 함수의 Weyl 양자화

• f가 실수 값 함수이면 해당 Weyl-map 영상 φ φ[f]는 자기접합입니다.
• 만약 f가 슈워츠 공간의 원소라면, φ[f]는 추적 클래스입니다.
• 보다 일반적으로 φ[f]는 조밀하게 정의된 무한 연산자입니다.
• 지도 φ[f]는 (제곱 적분 함수의 부분 공간으로) 슈워츠 공간에서 일대일입니다.

변형 양자화

직관적으로 수학적 개체의 변형은 어떤 매개변수에 의존하는 동일한 종류의 개체 계열입니다. 여기서는 "고전적" 관측 가능 대수를 관측 가능 대수의 양자 비통전 대수로 변형하는 방법에 대한 규칙을 제공합니다.

변형 이론의 기본 설정은 대수적 구조(예를 들어 Lie 대수)로 시작하여 다음과 같이 묻는 것입니다. 매개변수의 초기값에 대해 처음부터 동일한 구조(거짓말 대수)를 갖는 유사한 구조의 매개변수 패밀리가 하나 이상 존재합니까? (이에 대한 가장 오래된 예는 평평한 지구가 구면 지구로 변형될 수 있다는 고대 세계의 에라토스테네스의 깨달음일 수 있습니다. 변형 매개변수 1/R) 예를 들어, 모든 수렴 미묘함(일반적으로 형식 변형 양자화에서 다루지 않음)을 암시적으로 다루기 위해 ★-곱을 통한 변형 양자화로 비상호환 토러스를 정의할 수 있습니다. 공간의 함수 대수가 그 공간의 기하학을 결정하는 한, 별 곱에 대한 연구는 그 공간의 비가환 기하학 변형에 대한 연구로 이어집니다.

위의 평평한 위상-공간 예시의 맥락에서, f의 한 쌍의 함수인 f ℜ C(∈)의 항성 곱(Moyal product, 실제로 Groenewold에 의해 1946년에 소개됨) ★은 다음에 의해 지정됩니다.

${\displaystyle \Phi [f_{1}\star f_{2}]=\Phi [f_{1}]\Phi [f_{2}].\,}$

별의 곱은 일반적으로 교환적이지 않고, ħ →0의 극한에 있는 함수의 통상적인 교환적 곱으로 넘어갑니다. 이와 같이 C(ℜ)의 교환 대수의 변형을 정의한다고 합니다.

위의 Weyl-map 예제의 경우 ★-곱은 포아송 괄호 안에서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle f_{1}\star f_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\Pi ^{n}(f_{1}, f_{2}).$

여기서 π는 포아송 쌍대벡터로, 그 거듭제곱이 다음과 같이 정의된 연산자입니다.

${\displaystyle \Pi ^{0}(f_{1},f_{2})=f_{1}f_{2}}$

그리고.

${\displaystyle \Pi^{1}(f_{1},f_{2})=\{f_{1},f_{2}\}={\frac {\partial f_{1}}{\partial q}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial p}}-{\frac {\partial f_{1}}{\partial p}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial q}}~,}$

여기서 {f₁₂, f}는 포아송 대괄호입니다. 좀 더 일반적으로,

${\displaystyle \Pi^{n}(f_{1},f_{2})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \선택 k}\left ({\frac {\partial ^{k}}{\partial p^{k}}{\frac {\n-k}}{\partial ^{n-k}}{\partial ^{n-k}}}f_{1}\right)\times \left ({\frac {\partial ^{n-k}}{\partial p^{n-k}}}{\frac {\partial ^{k}}}f_{2}\right)}}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{})}$ ${\$ k$}}$는 이항 계수입니다.

예를 들어,^[5] 가우스인들은 쌍곡을 작곡합니다.

${\displaystyle \exp \left(-{a}(q^{2}+p^{2})\right)~\star ~\exp \left(-{b}(q^{2}+p^{2})\right)={1 \over 1+\hbar ^{2}ab}\exp \left(-{a+b \over 1+\hbar ^{2}ab}(q^{2}+p^{2})\right),}$

아니면

${\displaystyle \delta(q)~\star ~\delta(p)={2 \over h}\exp \left(2i {qp \over \hbar}\right),}$

등. 이러한 공식은 포아송 쌍대벡터가 일정한 좌표(평판 포아송 대괄호)를 기준으로 합니다. 임의의 포아송 다양체에 대한 일반 공식의 경우, cf. Kontsevich 양자화 공식.

이 ★-제품의 반대 대칭화는 보다 일반적인 양자 역학의 힐베르트 공간 공식에서 모얄 브래킷, 포아송 브래킷의 적절한 양자 변형 및 양자 교환기의 위상 공간 동형(위그너 변환)을 산출합니다. 따라서 이 위상 공간 공식에서 관찰 가능한 동적 방정식의 초석을 제공합니다.

결과적으로 연산자 곱셈과 동형적으로 평행한 별-배수와 함께 힐베르트-공간 연산자 표현과 완전히 동일한 양자역학의 완전한 위상 공간 공식이 생성됩니다.^[5]

위상 공간 양자화의 기대 값은 힐베르트 공간의 밀도 행렬을 사용하여 관측 가능한 φ을 추적하는 연산자와 동형적으로 얻어집니다: 위의 f와 같은 관측 가능한 변수의 위상 공간 통합과 위그너 준확률 분포가 효과적으로 측정 역할을 함으로써 얻어집니다.

따라서 위와 같은 Weyl 맵은 위상 공간에서 양자역학을 표현함으로써(고전역학과 동일한 야심) 양자역학을 변형 매개변수 ħ/S로 고전역학의 변형(일반화, cf. 대응 원리)으로 인식하는 것을 용이하게 합니다. (물리학에서 다른 친숙한 변형에는 변형 매개변수 v/c를 사용하여 고전적인 뉴턴의 상대론적 역학으로의 변형 또는 변형 매개변수 슈바르츠실트-반지름/특성-차원을 사용하여 뉴턴의 중력을 일반 상대성 이론으로 변형시키는 것이 포함됩니다. 반대로, 그룹 수축은 형성되지 않은 이론인 고전적 한계인 소멸 매개 변수로 이어집니다.

고전적 표현, 관측 가능 및 연산(예: 포아송 괄호)은 ħ 의존적 양자 보정에 의해 수정되는데, 이는 고전 역학에 적용되는 기존의 교환 곱셈이 양자 역학을 특성화하고 불확실성 원리의 기초가 되는 비교환 별-곱셈으로 일반화되기 때문입니다.

그 이름에도 불구하고, 일반적으로 변형 양자화는 성공적인 양자화 계획, 즉 고전적인 이론에서 양자 이론을 생성하는 방법을 구성하지 않습니다. 오늘날, 그것은 힐베르트 공간에서 위상 공간으로의 단순한 표현 변화에 해당합니다.

일반화

보다 일반적으로, Weyl 양자화는 위상 공간이 심플렉틱 다양체 또는 포아송 다양체인 경우에 연구됩니다. 관련 구조에는 포아송-거짓말 그룹과 Kac-Moody 대수가 포함됩니다.

참고 항목

참고문헌

• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, Bibcode:2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158

더보기

• Case, William B. (October 2008). "Wigner functions and Weyl transforms for pedestrians". American Journal of Physics. 76 (10): 937–946. Bibcode:2008AmJPh..76..937C. doi:10.1119/1.2957889. (이 문서의 제1절부터 제4절까지는 위그너에 대한 개요를 제공합니다.와일 변환, 위그너 준확률 분포, 양자 역학의 위상 공간 공식 및 양자 고조파 발진기의 예.)
• "Weyl quantization", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 테렌스 타오의 2012년 Weyl Ordering에 관한 노트