모얄 제품

수학에서 모얄 제품(José Enrique Moyal; 스타 제품 또는 Weyl-Groenewold 제품이라고도 불리며, 헤르만 웨일 및 Hilbrand J. Groenewold 제품)은 아마도 위상 우주 별 제품의 가장 잘 알려진 예일 것이다.Poisson Bracket을 장착한 ℝ의²ⁿ 기능에 대한 연관성이 없는 비확정 제품인 (이다(아래에 기술된 공통 다지관에 대한 일반화 포함).만능포락대수의 "기호의 대수"의 ★-제품의 특수한 경우다.

과거 주석

모얄 제품은 호세 엔리케 모얄의 이름을 따서 붙여지지만, H. J. 그로네월드가 1946년 박사학위 논문에서 소개한 바 있어 위일-그로네월드 제품이라고도 불리며, 위일 통신문을 통렬히 감상하고^[1] 있다.모얄은 사실 그의 유명한 기사에서^[2] 그 제품에 대해 모르는 것 같고 그의 전기에서 보여지듯이 디락과의 전설적인 서신에서는 결정적으로 이 제품이 부족했다.^[3]모얄의 이름을 따서 지은 이 유명한 이름은 그의 평평한 위상 공간 정량화 사진에 경의를 표하기 위해 1970년대에야 등장한 것으로 보인다.^[4]

정의

ℝ의²ⁿ f와 g의 매끄러운 기능을 위한 제품이 형태를 취하고 있다.

${\displaystyle f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infit }\hbar ^{n}C_{n}(f,g),}$

여기서 각 C는_n 다음 특성으로 특징지어지는 순서의 특정 비디프추얼 연산자(명시 공식은 아래 참조)이다.

${\displaystyle f\star g=fg+{\mathcal {O}(\hbar )}$

포인트와 같은 제품의 변형 - 위 공식에 내포되어 있다.

${\displaystyle f-g\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}(\hbar ^{3})\equiv i\hbar \{f,g\}\}}}}}$

모얄 브래킷이라고 하는 포아송 브래킷의 변형.

$f\star 1=1\star f=f}$

미형식 대수 1은 새로운 대수학에서도 정격이다.

${\displaystyle {f\star g}={\overline {g}\star {\overline {f}}$

복잡한 결합은 반원형 반원형이다.

만약 어떤 사람이 실제 숫자로 평가된 기능을 취하기를 원한다면, 대안 버전은 두 번째 조건에서 i를 제거하고 네 번째 조건을 제거한다.

만일 한 가지가 다항 함수를 제한한다면, 위의 대수는 Weyl 대수 A에_n 이형적이며, 두 가지는 n 변수(또는 차원 2n의 벡터 공간의 대칭 대수)에 있는 다항식 공간의 Weyl 지도의 대체 실현을 제공한다.

명시적 공식을 제공하려면 ℝ의²ⁿ 상수 포아송 바이벡터 π을 고려하십시오.

${\displaystyle \Pi =\sum _{i,j}\Pi ^{ij}\partial _{i}\wedge \partial _{j}}$

여기서 π은^ij 각 i, j에 대한 실제 숫자다.f와 g 두 함수의 별 생산물은 그 두 함수에 작용하는 사이비 차등 연산자로 정의될 수 있다.

${\displaystyle f\star g=fg+{\frac {i\hbar }{2}}\sum _{i,j}\Pi ^{ij}(\partial _{i}f)(\partial _{j}g)-{\frac {\hbar ^{2}}{8}}\sum _{i,j,k,m}\Pi ^{ij}\Pi ^{km}(\partial _{i}\partial _{k}f)(\partial _{j}\partial _{m}g)+\ldots ,}$

여기서 ħ은 Planck 상수로서 여기서 형식적인 파라미터로 취급된다.

이것은 기호의 대수학에서 베레진 공식으로^[5] 알려진 특수한 경우로서 폐쇄형(Baker-Campbell-Hausdorff 공식에서 따옴)을^[6] 부여할 수 있다.닫힌 폼은 지수 값을 사용하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle f\star g=m\circule e^{\frac {i\hbar }{2}}\Pi }(f\otimes g),}$

여기서 m은 ${\displaystyle \mathrm{곱셈}}$ 맵, ${\displaystyle m(}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle m(a\otimes b)=ab$ 지수(expective series)는 파워 시리즈로 처리된다.

${\displaystyle e^{A:=1+\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{n!}}}A^{n}.}$

즉, $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 공식은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle C_{n}={\frac {i^{n}}{2^{n}n!}}}\circule \Pi ^{n}.}$

표시된 대로 위에 있는 i의 모든 발생을 제거하는 경우가 많으며, 공식은 자연적으로 실제 숫자로 제한된다.

함수 f와 g가 다항식인 경우 위의 무한 합계는 유한(일반적인 Weyl-algebra 사례로 감소)하게 된다는 점에 유의한다.

모얄 제품과 보편적 포락 대수학의 "기호의 대수"의 정의에 사용되는 일반화된 ★-제품의 관계는 웨일 대수학이 하이젠베르크 대수학의 보편적 포락 대수(중추가 단위와 같다는 modulo)라는 사실에서 비롯된다.

다지관 온

모든 공감각 다지관에서는 Darboux의 정리에 의해 적어도 국부적으로 공감각 구조를 일정하게 만들기 위해 좌표를 선택할 수 있으며, 관련 Poisson 바이벡터를 사용하여 위의 공식을 고려할 수 있다.그것이 전지구적으로 작용하기 위해서는 (지역 공식뿐만 아니라) 전체 다지관의 함수로서, 공통 다지관을 비틀림 없는 동시 다지관 연결로 장착해야 한다.이것은 그것을 페도소프 다지관으로 만든다.

임의의 포아송 다지관(다르복스 정리가 적용되지 않는 곳)에 대한 보다 일반적인 결과는 콘체비치 정량화 공식에 의해 주어진다.

예

★-제품의 구성과 효용성에 대한 간단한 명시적 예(2차원 유클리드 위상 공간의 가장 단순한 경우)는 위그너–에 관한 기사에 제시되어 있다.Weyl transform: 쌍곡선 탄젠트 법칙에 따라 두 명의 가우스인이 이 ★-제품으로 작곡한다.^[7]

${\displaystyle \exp \left[-a\frc(x^{2}+p^{2}\right)\star \exp \ex \efl[-b]={\frac {1}{1+p^{2}\hbar ^{2}}}}}}}}}}\expref.+\hbar ^{2}ab}\왼쪽(x^{2}+p^{2}\오른쪽)\오른쪽]}$

(고전적 한계, ħ → 0)

그러나 위상 공간과 힐버트 공간 사이의 모든 대응 처방은 그 자체의 적절한 proper-제품을 유도한다.^[8][9]

유사한 결과가 세이갈-바르그만 공간과 하이젠베르크 그룹의 세타 표현에서 나타나는데, 여기서 생성 및 소멸 연산자 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= z ${\displaystyle$ $a$$^{*}=z}$ 및$$${\displaystyle }a{\displaystyle }$ = ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$/ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle$ a$=\partial /\partial$ z$}$은 복잡한 평면(존중복사면)에 작용하는 것으로 이해된다$$.e Heisenberg 그룹)을 통해 위치 및 모멘트 $연산자$가${\displaystyle }$x =${\displaystyle }$(${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle$ x$=(a+a^{*}}/$$2{\displaystyle }$$}$ 및 p$$${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$)${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$ i${\displaystyle }$) ${\displaystyp=(a-a^{*}})/(2i)}$에 의해 주어진다$.$이러한 상황은 위치가 실제 가치로 평가되는 경우와는 분명히 다르지만, 하이젠베르크 대수학의 전체적인 대수 구조와 그 봉투인 웨일 대수학에 대한 통찰력을 제공한다.

참조