수렴율

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
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수치 분석에서 수렴 순서와 수렴 순서의 수렴 속도는 수열이 한계에 얼마나 빨리 접근하는지를 나타내는 수량이다. $∗{\$에 수렴하는$$ 시퀀스$({\displaystyle {xn}_{}}$) ${\displaystyle (x_{n}})$는 수렴 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q\geq 1},$ 수렴 $\mu rate{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$이 있는 경우라고$$ 한다.

${\displaystyle \lim _{n\오른쪽 화살표 \inflat }{\frac {\왼쪽 x_{n+1}-x^{*}\오른쪽 }{\왼쪽 x_{n}-x^{*}}}오른쪽 ^{q}}}=\mu.}$^[1]

수렴 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$의 비율을 점근 오류 상수라고도 한다$$. 이 용어는 표준화되지 않았으며 일부 저자는 이 기사가 질서를 사용하는 비율(예: )을 사용할 것이라는 점에 유의하십시오.

실제로, 수렴 속도와 순서는 수치 근사치를 계산하기 위해 반복적인 방법을 사용할 때 유용한 통찰력을 제공한다. 수렴 순서가 더 높으면 유용한 근사치를 산출하기 위해 일반적으로 더 적은 반복이 필요하다. 그러나 엄밀히 말하면, 수열의 무증상 행동은 수열의 어떤 유한한 부분에 대한 결정적인 정보를 주지 않는다.

디스커버리징 방법에는 유사한 개념이 사용된다. 탈피한 문제의 해결은 그리드 크기가 0으로 갈 때 연속적인 문제의 해결로 수렴되며, 수렴 속도는 방법의 효율성의 요인 중 하나이다. 그러나 이 경우 이 용어는 반복적인 방법에 대한 용어와 다르다.

Series Acceleration은 Series Discretation의 수렴 속도를 개선하기 위한 기법의 모음입니다. 그러한 가속은 일반적으로 시퀀스 변환을 통해 이루어진다.

반복 방법의 수렴 속도

Q-융합 정의

시퀀스$({\displaystyle {xk}_{}}$) ${\displaystyle (x_{k})$가 $L{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle L}($으)로 수렴된다고$$ 가정합시다$.$ 숫자 $\mu {\displaystyle \in }$ (${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \mu \in (0,1)$이 있으면$$ Q-선형으로 $수렴$한다고 한다$.$

${\displaystyle \lim_{k\to \flt}{\frac {x_{k+1}-L}{x_{k}-L}{x_{k}-L}}=\mu.}$

숫자 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$을(를) 수렴 속도라고 한다$$.^[3]

이 시퀀스는 $Q-선형적$으로 L ${\displaystyle L}($즉, 선형보다 빠름)에 수렴한다고 한다.

${\displaystyle \lim_{k\to \inflt}{\frac {x_{k+1}-L}{x_{k}-L }{{k}-L }}}}}{{k}-{}-L }=0}$

그리고 $Q-subline$으로 L ${\displaystyle L}($즉, 선형보다 느림)에 수렴한다고 한다.

${\displaystyle \lim_{k\to \inflt}{\frac {x_{k+1}-L }{x_{k}-L }}}=1.}$

시퀀스가 하위 선형으로 추가적으로 수렴되는 경우

${\displaystyle \lim _{k\to \flat }{\frac {x_{k+2}-x_{k+1}{x_{k}{x_}{x_}}{x_}}}{x_{k}}}}}}}}}$

그러면 sequence$({\displaystyle {}_{}{k}_{}}$) {\$displaystyle(x_{k})$는 logarritmic을 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에 로그적으로 수렴한다고 한다$.$^[4]참고, 이전 정의와 달리 logarithmic은 "Q-logarithmic"이라고 불리지 않는다.

정합화를 더욱 분류하기 위해 정합화 순서를 다음과 같이 정의한다. 시퀀스는 $q{\displaystyle }$ q q q q {\$displaystyle q}$에서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}($으)로 수렴된다고 하며, 다음과$$ 같은 경우 q ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q\geq$ 1$}$에 대한$$ 순서 $q{\displaystyle }$ ${\$d

${\displaystyle \lim_{k\to \flt}{\frac {x_{k+1}-L }{x_{k}-L ^{q}}}<M}$

일부 양의 M> ${\displaystyle M>0}($> ${\displaystyle q>1}$인 경우 반드시 1보다 작을 필요는 없다.) 특히 질서와의 융합.

• ${\displaystyle q}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q=1$}을$($를) 선형 수렴이라고 한다(< 1 ${\displaystyle M<1}),$
• ${\displaystyle q}$= ${\displaystyle 2}$ $[\displaystyle q=2$}을$($를) 2차 수렴이라고 한다.
• ${\displaystyle q}$= ${\displaystyle 3}$ $[\displaystyle q=3}$을(를) 입방 수렴이라고 한다.
• 등

일부$$${\displaystyle \mathrm{출처}}$에서는$$q = 1 {\displaystyle $q=1}$에M < 1 {\displaystyleq$$=^[5]1}이(가) 필요하므로 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $q}$이(가) 엄격히 1$${\$displaystyle q$$}$보다 클 것을 요구한다. 그러나 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이(가) 정수일$$ 필요는 없다. 예를 들어, 세컨트 방법은 규칙적이고 단순한 루트로 수렴할 때 when 1.618의 순서를 가진다.^{[citation needed]}

위의 정의에서 "Q-"는 두 개의 연속적인 용어 사이의 인수를 사용하여 정의되기 때문에 "양수"를 의미한다.^{[6]: 619} 그러나 종종 "Q-"가 떨어지고 시퀀스가 단순히 선형 수렴, 2차 수렴 등을 갖는다고 한다.

오더추정

시퀀스에 대한 수렴 순서를 계산하는 실용적인 방법은 다음과 같은 시퀀스를 계산하는 것이며, 이 시퀀스는 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$로 수렴된다.

${\displaystyle q\ 약 {\frac {x_{k+1}-x_{k_{k-1}{k-1}{k-1}\{x_-1}{k-1}}{\log 왼쪽 {\frac {x_{k-1}-1}{x_{k-1}-1}:{k-2}}: 오른쪽 \}}}}}}}.}$^[7]

R-융합 정의

Q-융합 정의는 아래의$$ 순서$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$) ${\displaystyle (b_{k})$와 같이 일부 시퀀스를 포함하지 않는다는 점에서 단점이 있으며, 이러한 시퀀스의 속도는 상당히 빠르지만 가변적이다. 따라서 수렴율의 정의는 다음과 같이 확장된다.

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle x_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (x_$${k$$}})$이 L ${\displaystyle$ L$}($으$$)로 수렴된다고 가정합시다$.$ 시퀀스$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle$ $L}$이($가)$ 있는$$ 경우$$, R-선형으로 $수렴$한다고 한다$.$

${\displaystyle x_{k}-L \leq \varepsilon _{k}\quad{\text{\text{{}모든 }}$

그리고 (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$) ${\displaystyle (\varpsilon _{k})$은 Q-선형을 0으로 수렴한다$$.^[3] "R-" 접두사는 "root"를 의미한다. ^{[6]: 620}

예

순서를 고려하십시오.

${\displaystyle(a_{k}}}=\1,{\frac {1}{1}{1}:{1}:{1}:{1}:{4},{\frac {1}{1}{8},{\frac {1}{1},{\frac {1}{1}{32},\ldots,{\frac {1}{2^{k},},},},},},},},},},},},},},},},},},},...},...},},...},...},...},...\right\}}$

이 시퀀스가 $L{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L=0}$으로 수렴됨을 알 수 있다$.$ 수렴 유형을 결정하기 위해 Q-선형 수렴의 정의에 시퀀스를 연결한다.

${\displaystyle \lim_{k\to \flac{{k+1}-0-\right }{\frac 1/2^{k}-0-{}}}}}{k\lim_{k\flock{2^{k+1}}}={\frac {1}{1}{1}{1}{1}{1}2}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Thus, we find that ${\displaystyle (a_{k})}$ converges Q-linearly and has a convergence rate of ${\displaystyle \mu =1/2}$. More generally, for any ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,\mu \in (-1,1)}$, the sequence ${\displaystyle (c\mu ^{k})}$ converges linearly 비율 $displaystyle \mu$ $\}.$

순서

${\displaystyle (b_{k})=\left\{1,1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{16}},\ldots ,{\frac {1}{4^{\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor }}},\,\ldots \right\}}$

또한 R-융합 정의에서는 비율 1/2로 선형적으로 수렴하지만 Q-융합 정의에서는 수렴하지 않는다. (${\displaystyle \mathrm{참고}}$: $\lfloor {\displaystyle }$ x ${\displaystyle \rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$은(는) 바닥 함수로서, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 제공한다.)$$

순서

${\displaystyle (c_{k})=\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{256}},{\frac {1}{65,\!536}},\ldots ,{\frac {1}{2^{2^{k}}}},\ldots \right\}}$

초선형적으로 수렴하다 사실, 그것은 2차적으로 수렴된다.

마지막으로, 그 순서는

${\displaystyle(d_{k}}}=\1,{\frac {1}{1}:{1}{1}:{1}:{1}{1}:{3},{\frac {1}{1}{1}{4}},{\frac {1}{5}}, {\frac {1}{1},\ldots, {k+1}, \ldright\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

선형으로 그리고 로그로 수렴한다.

탈부착 방법의 수렴 속도

이 섹션은 검증을 위해 추가 인용구가 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. (2020년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

이 섹션은 위키피디아의 품질 기준을 충족시키기 위해 정리가 필요할 수 있다. 구체적인 문제는 다음과 같다. 그리드 포인트 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$과 단계 $크기{\displaystyle }$ h ${\displaysty h}$에 대한 정의 수렴이 혼합된 것으로 보인다$.$ 일관성을 위해 섹션이 수정되어야 하며 대안(동등?) 정의의 포함 및 탐구가 포함되어야 한다. 가능한 경우 이 섹션을 개선하는 데 도움을 주십시오. (2020년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

디스커버리징 방법에도 비슷한 상황이 존재한다. 수렴속도에 대한 여기서 중요한 매개변수는 반복수 k가 아니라 격자점 수 및 격자간격이다. 이 경우, 탈색 공정에서 격자점 n의 수는 격자 간격에 반비례한다.

이 경우 순서$({\displaystyle {xn}_{}}$) ${\displaystyle(x_{n})$은 다음과 같은 상수 C가 존재할 경우 순서 q와 함께 L에 수렴한다고 한다$$.

${\displaystyle x_{n}-L <Cn^{-q}{\text{ 모든 }n에 대해.}$

이는 큰 O 표기법을 사용하여$$ ${\displaystyle x{}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle L}$= ${\displaystyle O}$( ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle q^{}}$) ${\displaystyle x_{n}-L$ = ${\mathcal{O}(n^{-q})$로 표기된다.

이것은 수치적 사분해법이나 일반 미분방정식의 해법에 대해 논할 때 관련되는 정의다.^{[example needed]}

탈색 방법에 대한 수렴 순서를 추정하는 실용적인 방법은 새로운 단계 크기$($ $new$ {\$displaystyle h_{\text{$new}) 및 ${\displaystyle {\text{이전}}_{}}$ 단계$($ ${\$ $e_$${\text{new})$ 및$$ e ${\displaystyle {\text{기존}}_{}}$ 단계(${\displaystyle {\text{new}}_{}}$ ${\$를 계산하는$$ 것이다$.$ 수렴 순서는 다음과 같은 공식으로 근사치를 구한다.

${\displaystyle q\약 {\frac(e_{\text{new}/e_{\text{old})}{\log(h_{\text{new}/h_{\text{old}}}}}}}}}}}}.}$^{[필요하다]}

예제(계속)

$위$에$$d ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle 1}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$+${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle d_{k}=1/(k+1$)의$$ 시퀀스$k$)가 도입되었다$$. 이 순서는 탈고 방법의 관례에 따라 순서 1과 수렴한다.^[why?]

위에서도 $소개$된${\displaystyle {}_{}{k}_{}}$ = ${\displaystyle 2^{}}$- k$${\$displaystyle$ a_${k}=2^{-k$의 시퀀스$({\displaystyle k_{}}$) ${\displaystyle (a_{k}})$는 q마다 순서 q와 수렴된다. 탈고 방법의 관례를 이용하여 기하급수적으로 수렴한다고 한다. 그러나 반복적인 방법에 대한 규약을 사용하여 선형적으로(즉, 순서 1) 수렴할 뿐이다.^[why?]

디스커버리징 방법의 융합 순서는 글로벌 잘라내기 오류(GTE)와 관련이 있다.^[how?]

수렴 가속도

주어진 시퀀스의 수렴 속도를 높이기 위해, 즉 주어진 시퀀스를 동일한 한계로 더 빠르게 수렴하는 하나로 변환하기 위해 많은 방법이 존재한다. 그러한 기법은 일반적으로 "시리즈 가속"이라고 알려져 있다. 변환된 시퀀스의 목적은 계산의 계산 비용을 줄이는 것이다. 직렬 가속의 한 예는 Aitken의 델타 제곱 공정이다.

참조

문학

간단한 정의는 에 사용된다.

• Michelle Shatzman(2002년), 수치 분석: 수학적인 소개, 옥스포드 주 Clarendon Press. ISBN 0-19-850279-6

확장된 정의는 다음에서 사용된다.

• Walter Gautschi(1997), 수치 분석: 보스턴 비르케유저(Birkhauser)의 소개. ISBN 0-8176-3895-4.
• Endre Süli와 David Mayers(2003), 수치 분석에 대한 소개, Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.

Big O 정의는

• Richard L. Borbled와 J. Douglas Fmagers(2001), 수치 분석(7차), Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9

Q-선형과 R-선형이라는 용어가 사용된다; Taylor 시리즈를 사용할 때의 빅 O 정의는 에서 사용된다.

• Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Numerical Optimization (2nd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. pp. 619+620. ISBN 978-0-387-30303-1..