수학적 시각화

Mathematical visualization
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수학적 시각화의 가장 유명한 예 중 하나인 만델브로트 세트입니다.

수학적 현상은 시각화를 통해 이해하고 탐구할 수 있다.고전적으로 이것은 2차원 도면이나 3차원 모델(특히 19세기 및 20세기 초 석고 모델)을 구축하는 것으로 구성되었지만, 오늘날에는 컴퓨터를 사용하여 정적인 2, 3차원 도면, 애니메이션 또는 인터랙티브 프로그램을 만드는 것이 가장 흔합니다.수학을 시각화하는 프로그램을 작성하는 것은 컴퓨터 기하학의 한 측면이다.

적용들

수학적 시각화는 특히 기하학과 해석 분야에서 수학 전반에 걸쳐 사용됩니다.주목할 만한 예로는 평면 곡선, 공간 곡선, 다면체, 일반 미분 방정식, 편미분 방정식(특히 유체 역학이나 비누막과 같은 최소 표면에서와 같은 수치적 해), 등각 지도, 프랙탈, 카오스 등이 있습니다.

기하학.

유클리드 및 사영 기하학에서 중요한 결과인 데사르게의 정리에 대한 삽화

지오메트리는 도형의 크기, 각도, 치수[1] 및 비율에 대한 연구로 정의할 수 있습니다.

선형 대수

3차원 유클리드 공간에서 이 세 개의 평면은 선형 방정식의 해답을 나타내며, 이들의 교차는 공통 해법의 집합을 나타냅니다: 이 경우, 고유한 점.파란색 선은 이 두 방정식의 공통 해법입니다.

복잡한 분석

도메인 색칠:
f(x) =(x2−1)(x−2−i)2/x2+2+2i

복소해석에서는 복소평면의 함수는 본질적으로 4차원이지만 저차원 시각적 표현에 대한 자연 기하학적 투영은 없다.대신 색각은 도메인 색칠과 같은 기술을 사용하여 치수 정보를 캡처하기 위해 이용됩니다.

카오스 이론

값 r = 28, θ = 10, b = 8/3에 대한 로렌츠 유인체의 그림

미분 지오메트리

코스타의 최소 표면

토폴로지

교차가 7개 이하인 모든 프라임 노트 표(미러 이미지 제외).

많은 사람들이 선명한 "마음의 눈"을 가지고 있지만, 영국 과학자 팀은 수천만 명의 사람들이 이미지를 떠올릴 수 없다는 것을 발견했다.정신 카메라의 부족은 아판타지아로 알려져 있으며, 수백만 명 이상의 사람들이 초강력 정신 이미지를 경험하고 있습니다.연구자들은 이 두 가지 상태가 뇌의 배선 변화를 통해 어떻게 발생하는지 연구하고 있다.

시각화는 다면체 분해가 매듭의 공간을 덮는 호몰로지를 계산하기 위해 사용되었을 때 위상 매듭 이론의 시작에서 중요한 역할을 했다.물리적으로 불가능한 리만 표면을 3차원으로 확장하여 모든 닫힌 방향성 2-변수를 분류하는 데 사용된 Heegaard의 1898년 논문은 두 개의 복잡한 변수의 함수에 대해 유사한 구조를 "보고" 유클리디언 6-공간에서 가상의 4차원 표면(f=x^2-y^3 함수에 해당)을 취하여 입체영상으로 투영했다.(다중성이 있는) ICICally를 3-sphere로 전송합니다.1920년대에 Alexander와 Briggs는 이 기술을 사용하여 교차점이 8개 이하인 매듭의 순환 분기 피복의 호몰로지를 계산하여 서로(그리고 매듭이 없는) 구별하는 데 성공했습니다.1932년까지 Reidemeister는 이것을 9개의 교차로까지 확장했고, 비순환 매듭 커버의 분기 곡선 사이의 숫자에 의존했다.이러한 상상의 물체들이 "실제"가 존재하지 않는다는 사실은 매듭이 구별된다는 것을 증명하는 그들의 유용성에 방해가 되지 않는다.그것은 1973년 페르코가 리틀의 1899년 10교차 매듭 표에서 중복 매듭 유형을 발견한 열쇠였다.

그래프 이론

강제 기반 네트워크 시각화.[2]

치환 그룹은 구조를 설명하는 데 도움이 되는 요소(예: 순서 2p의 이면체 그룹을 구성하는 회전 및 뒤집힌 정규 p-gon)에 대한 훌륭한 시각화를 가지고 있다.그것들은 매듭과 [3]링크의 공간을 덮는 이면체의 분기 곡선 사이의 연결 숫자 사이의 관계를 "확인"하는 데 사용될 수 있다.

조합

그래프 이론에서 가장 초기의 중요하지 않은 결과 중 하나인 변화 호출음(6개의 벨 포함)의 예입니다.

셀룰러 오토마타

Gosper's Glider Gun이 셀 오토매틱 Conway의 Game of[4] Life에서 "글라이더"를 만들어 냅니다.

스티븐 울프람의 세포자동화에 관한 책인 A New Kind of Science(2002년)는 수학 분야에서 출판된 가장 시각적인 책 중 하나다.그것은 형식적인 의미가 [5]없는 사진으로 많은 정보를 전달하면서 너무 시각적이라는 비판을 받아왔다.

계산

"Ilegant"는 나눗셈(또는 "계수" 명령)의 사용을 대체하는 감산 기반 나머지 루프를 사용하여 Knuth의 알고리즘 버전을 번역한 것입니다.Knuth 1973: 2-4에서 파생되었습니다.

기타 예

저우비 쑤안징의 피타고라스 정리에 대한 단어가 없는 증거.
모린 표면, 구체를 뒤집는 중간 단계입니다.
  • 구면 외향(구면이 구부러지지 않고 3차원으로 뒤집힐 수 있음)은 처음에는 추상적인 방법을 통해 증명된 놀랍고 직관적인 결과였으며, 나중에는 그림으로, 나중에는 컴퓨터 애니메이션으로 입증되었습니다.

미국 수학회지의 표지는 정기적으로 수학적 시각화를 특징으로 한다.

랜덤 워크 3회

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ "What is Geometry? - Definition, Facts and Examples". www.splashlearn.com. Retrieved 2021-09-07.
  2. ^ 출판일
  3. ^ Perko, K. A. (June 1976). "On dihedral covering spaces of knots". Inventiones mathematicae. 34 (2): 77–82. doi:10.1007/bf01425475. ISSN 0020-9910.
  4. ^ 다니엘 데넷(1995), 다윈의 위험한 생각, 펭귄 북스, 런던, ISBN 978-0-14-016734-4, ISBN 0-14-016734-X
  5. ^ Berry, Michael; Ellis, John; Deutch, David (15 May 2002). "A Revolution or self indulgent hype? How top scientists view Wolfram" (PDF). The Daily Telegraph. Retrieved 14 August 2012.

외부 링크