링 익스텐션

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정류 대수학에서 링 연장은 정류 링의 ${\displaystyle \mathrm{고리}}$ $동형성{\displaystyle }$ R${\displaystyle }$→ S ${\displaystyle R\to S}$이며, 이것은 S를 R-알제브라로 만든다.

이 글에서 아벨 그룹 I에 의한 링 R의 링 익스텐션은 링 E의 한 쌍이며, 굴절 링 동형주의 ϕ${\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \phi$:$E\to R}$ 즉$$, 나는 ($아벨{\displaystyle }$ 그룹으로서) to의 낟알에 이소모르픽이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \pi.}$ 다시$$ 말하면,

${\displaystyle 0\to I\to E{\phi }{{}\to {}R\to 0}$

아벨 그룹들의 짧은 정확한 순서다.(이것은 내가 E의 양면 이상을 갖게 한다)

정류 링 A가 주어진 경우, A 확장자는 "링"을 "A"보다 "알제브라"로, "아벨라 그룹"을 "A-modules"로 대체함으로써 같은 방식으로 정의된다.

$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$이(가) 분할될 경우, 즉 $algebra{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$이(가) 대수 동형인 섹션을 인정하는 경우 확장은 사소한 것이라고 한다.이것은 E가 R과 I의 직접 생산물에 이형성이라는 것을 암시한다.

I에 의한 R의 확장의 형태론, 즉 A에 의한 형태론은 I와 R에 있어서의 정체성을 유도하는 대수적 동형성 E → E'이다.다섯 개의 보조기구에 의해 그러한 형태주의는 반드시 이형성(異形性)이며, 따라서 그들 사이에 형태주의가 있으면 두 개의 확장이 동등하다.

예

예 1

전체 숫자의$$ 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 가져가고, 아벨 $그룹{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle \mathb {Z} _{$2$\}\}($추가 중) 이진수를 가져갑시다.Let E = ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}}$ we can identify multiplication on E by ${\displaystyle (x,a)\cdot (y,b)=(xy,\phi (x)a+\phi (y)b)}$(where ${\displaystyle \phi :\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2}}$ is the homomorphism은 짝수를 0에 매핑하고 홀수를 1에 매핑한다.이것은 짧은 정확한 순서를 제공한다.

${\displaystyle 0\to \mathb {Z} \to E{p}{{}\{}}\mathb {Z} \to 0}$

여기서 p는 동형상 매핑$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle a}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi }$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (x,a)\mapsto a\pi (x)}$이다$.$

예 2

R은 교감 링이 되고 M은 R-모듈이 되게 하라.Let E = R ⊕ M은 아벨 그룹들의 직접적인 합이다.E에 대한 곱셈 정의 기준

$(a,x)\cdot(b,y)=(ab,ay+bx).}$

a 제곱이 0인 + zerox로 (a, x)를 식별하고 확장 (a + εx)(b + εy)는 위의 공식을 산출한다는 점에 유의하십시오. 특히 우리는 E가 고리임을 알 수 있다.그리고 나서 우리는 짧은 정확한 순서를 가지고 있다.

${\displaystyle 0\to M\to E{p}{{}\to {}R\to 0}$

여기서 p는 투영법이다.따라서 E는 R by M의 연장선이다.이 구조의 한 가지 흥미로운 특징은 모듈 M이 어떤 새로운 고리의 이상이 된다는 것이다.나가타는 그의 저서 '로컬 링스'에서 이 과정을 이상화의 원리라고 부른다.^[1]

참조

• 세르네시:대수 체계 변형