전류대수학

양자장 이론에서 현재 밀도 연산자 사이의 특정 정류 관계는 현재 대수라고 불리는 무한 차원 리 대수학을 정의한다.^[1]수학적으로 이것들은 다지관에서 유한 치수 리 대수학까지의 매끄러운 지도들로 구성된 리 알헤브라스다.^[2]

역사

머레이 겔만(Murray Gell-Mann)이 1964년에 제안한 원래의 전류 대수학에서는 강하게 상호작용하는 입자, 하드론(Hadron)의 약하고 전자기적인 전류를 기술하여 애들러-웨이스버거 공식과 기타 중요한 물리적 결과를 이끌어냈다.양자 색역학 바로 앞의 시대에 기본 개념은 라그랑의 지배 하드론 역학을 자세히 알지 못하더라도 정확한 키네마틱 정보, 즉 국소 대칭은 여전히 전류의 대수학으로 암호화될 수 있다는 것이었다.^[3]

현재의 대수학에 관련된 정류자는 요르단 지도의 무한 차원 확장에 해당하는데, 여기서 양자장은 오실레이터의 무한 배열을 나타낸다.

현재의 대수학 기법은 여전히 대칭을 분석할 때 입자 물리학의 공유 배경의 일부분이며 골드스톤 정리의 논의에 불가결하다.

예

V와 A가 각각 향미 전류와 축류 전류 밀도인 비아벨리안 양-밀스 대칭에서, 현재 대수학의 패러다임은 다음과^[4][5] 같다.

${\displaystyle [V^{a}({\vec {x}}),V^{b}({\vec {y}})]=if_{c}^{ab}\delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})$$V$$^{c}({\vec{x}),$ 및

${\displaystyle [V^{a}({\vec {x}),A^{b}({\vec{y}})]=if_{c}^{ab}\delta({\vec}-{x}-{\vec {y})A^{c}({\vec {x}),\qquad [A^{a}({\vec {x}),A^{b}({\vec{y}})]=if_{c}^{ab}\delta({\vec}-{x}-{\vec {y})V^{c}({\vec{x}})~,}$

여기서 f는 리 대수학의 구조 상수다.의미 있는 표현을 얻으려면, 이것들은 정상적인 순서여야 한다.

대수학은 정의하면 L과 R이라는 두 알헤브라의 직접적인 합으로 결정된다.

${\displaystyle 2L^{a}({\vec{x}})\equiv V^{a}({\vec {x}),\qquad 2R^{a}({\vec {x})}\equiv V^{a}({vec {x}})++}A^{a}({\vec{x}),}$

whereupon ${\displaystyle [L^{a}({\vec {x}}),$$L^{b}({\vec {y}})]=if_{c}^{ab}\delta({\vec}-{x}-{\vec {y})$$L^{c}({\vec {x}}),\quad [L^{a}({\vec {x}}),R^{b}({\vec {y}})]=0,\quad [R^{a}({\vec {x}}),R^{b}({\vec {y}})]=if_{c}^{ab}\delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})$$R^{c}({\vec{x})~$$}$

등각장 이론

공간이 1차원 원인 경우, 현재의 알헤브라는 Kac-Moody 알헤브라스 또는 보다 구체적으로 말하면, 리 알헤브라스라고 알려진 루프 대수의 중심 확장자로서 자연적으로 발생한다.이 경우 정류자와 정상 순서는 복잡한 평면의 통합 등고선 측면에서 매우 정밀한 수학적 정의를 내릴 수 있으므로 양자장 이론에서 공통적으로 부딪히는 형식적 분기 난관의 일부를 피할 수 있다.

리 대수학의 킬링 형식이 현재의 정류자와 수축되면, 2차원 등정장 이론의 에너지-모멘텀 텐서를 얻는다.이 텐서(tensor)가 로랑 시리즈로 확장될 때, 결과 대수는 비라소로 대수(Virasoro 대수학)라고 불린다.^[6]이 계산은 스가와라 건설로 알려져 있다.

일반적인 경우는 정점 연산자 대수로서 공식화된다.

참고 항목

• 아핀 리 대수
• 치랄 모형
• 요르단 지도
• 비라소로 대수
• 정점 연산자 대수
• 카크무디 대수

메모들

참조

• Gell-Mann, M. (1962). "Symmetries of baryons and mesons". Physical Review. 125 (3): 1067–84. Bibcode:1962PhRv..125.1067G. doi:10.1103/PhysRev.125.1067.
• Gell-Mann, M.; Ne'eman, Y., eds. (1964). The Eightfold Way. W. A. Benjamin. LCCN 65013009.
• Goldin, G.A. (2006). Françoise, J-P.; Naber, G. L.; Tsun, T. S. (eds.). Encyclopedia of Mathematical Physics. Current Algebra. ISBN 978-0-12-512666-3 – via ScienceDirect.
• Treiman, S. B.; Jackiw, R.; Gross, D.J. (2015) [1972]. Lectures on current algebra and its applications. Princeton Series in Physics. Princeton, N.J.: Princeton University Press. doi:10.1515/9781400871506. ISBN 978-1-4008-7150-6 – via De Gruyter. 견본.