접촉 역학

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2011년 3월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

다음에 대한 시리즈 일부
연속체 역학
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ 픽의 확산 법칙
법 컨버지 미사 모멘텀 에너지 불평등 클라우시우스-듀헴 (엔트로피)
고체 역학 변형 탄력성 일직선의 가소성 후크의 법칙 스트레스 유한변형 무한 변형률 호환성. 벤딩 접촉 역학 마찰의 물질적 고장 이론 파단 역학
유체역학 유체 통계학 · 역학 아르키메데스의 원리 · 베르누이의 원리 나비에-스토크스 방정식 푸아세유 방정식 · 파스칼의 법칙 점도 (뉴턴어 · 비뉴턴어) 부력 · 믹싱 · 압력 액체 접착 모세관 작용 크로마토그래피 응집(화학) 표면장력 가스 대기 보일의 법칙 찰스의 법칙 복합가스법 픽의 법칙 게이 루삭의 법칙 그레이엄의 법칙 플라즈마
리히로지 점탄성 레호메트리 레히미터 스마트 유체 전기오류 자기 지질학 페로플루이드
과학자들 베르누이 보일 카우치 찰스 오일러 픽 게이 루삭 그레이엄 훅 뉴턴 나비에르 노울 파스칼 스톡스 트뤼셀
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접촉 역학은 하나 이상의 지점에서 서로 접촉하는 고체의 변형을 연구하는 학문이다.^[1][2] 접촉 역학의 중심적 구분은 접촉하는 몸의 표면에 수직으로 작용하는 스트레스(정상 방향이라고 알려져 있음)와 표면 사이에 접선적으로 작용하는 마찰 응력 사이에 있다. 이 페이지는 주로 정상적인 방향, 즉 무마찰 접촉 역학에 초점을 맞춘다. 마찰 접촉 역학은 별도로 논의된다. 정상 응력은 깨끗하고 건조하더라도 밀접하게 접촉하는 표면에 존재하는 접착력과 힘을 가하여 발생한다.

접촉 역학은 기계 공학의 일부분이다. 피험자의 물리적, 수학적인 공식은 재료의 역학과 연속체 역학을 기반으로 하며 정적 또는 동적 접촉에서 탄성, 점탄성 및 플라스틱 신체를 포함하는 연산에 초점을 맞춘다. 접촉 역학은 기술 시스템의 안전하고 에너지 효율적인 설계와 트리뷰로지, 접촉 강성, 전기 접촉 저항성 및 들여쓰기 경도 연구에 필요한 정보를 제공한다. 접촉 역학의 원칙은 기관차 바퀴-레일 접촉, 연결 장치, 제동 장치, 타이어, 베어링, 연소 엔진, 기계적 연결 장치, 개스킷 씰, 금속 가공, 금속 성형, 초음파 용접, 전기 접점 및 기타 많은 분야에 적용되도록 구현된다. 현장에서 직면하고 있는 현재 당면 과제는 접촉부 및 연결부재의 응력 분석과 마찰 및 마모에 대한 윤활 및 재료 설계의 영향을 포함할 수 있다. 접촉 역학의 적용은 미시 및 나노기술 영역까지 확대된다.

접촉 역학에서의 원래 작업은 하인리히 헤르츠의 "탄성 고형물의 접촉에 관하여"^[3] ("Uber die Berührung fester Elastischer Körper") 논문 발표와 함께 1881년으로 거슬러 올라간다. 헤르츠는 여러 겹으로 쌓인 렌즈의 광학적 특성이 그것들을 함께 지탱하는 힘에 의해 어떻게 변화할 수 있는지 이해하려고 시도하고 있었다. 헤르츠 접촉 응력은 두 개의 곡선 표면이 접촉하고 부과된 하중 아래에서 약간 변형되면서 발생하는 국부적 응력을 말한다. 이 정도의 변형은 접촉 물질의 탄성 계수에 따라 달라진다. 그것은 정상적인 접촉력, 양쪽 신체의 곡률 반경 및 양쪽 신체의 탄성 계수의 함수로서 접촉 스트레스를 준다. 헤르츠 접촉 응력은 베어링, 기어 및 두 표면이 접촉하는 다른 모든 신체에서 하중 지지 능력 및 피로 수명에 대한 방정식의 기초를 형성한다.

역사

고전적인 접촉 역학은 가장 두드러지게 하인리히 헤르츠와 관련이 있다.^[3][4] 1882년, 허츠는 구부러진 표면으로 두 개의 탄력 있는 신체의 접촉 문제를 해결했다. 이 여전히 관련된 고전적 해결책은 접촉 역학의 현대적 문제에 대한 기초를 제공한다. 예를 들어, 기계공학 및 시련학에서 헤르츠 접촉 응력은 짝짓기 부분 내의 응력에 대한 설명이다. 헤르츠 접촉 스트레스는 보통 서로 다른 반경의 두 영역 사이의 접촉 영역에 가까운 스트레스를 가리킨다.

존슨, 켄달, 로버츠가 접착제 접촉 사례에 대해 비슷한 해결책을 찾은 것은 거의 100년이 지나서야였다.^[5] 이 이론은 1970년대에 다른^[7] 유착 이론을 제안한 보리스 더자긴과 동료들에^[6] 의해 거부되었다. 더자긴 모델은 DMT(Derjaguin, Muller, Toporov 이후) 모델로 알려졌고,^[7] 존슨 외 모델은 접착성 탄성 접점을 위한 JKR(Johnson, Kendall, Roberts 이후) 모델로 알려지게 되었다. 이러한 거부는 (JKR 및 DMT 모델의) 어떤 접촉 모델이 특정 재료에 더 잘 접착제 접점을 나타내는지를 정량화하는 Tabor^[8] 및 이후 Maugis^[6][9] 매개변수 개발에 중요한 것으로 입증되었다.

20세기 중반에 접촉 역학 분야의 추가적인 발전은 보우든과 타보르와 같은 이름들 덕분일 것이다. 보우든과 타보르는 접촉하는 신체의 표면 거칠기의 중요성을 가장 먼저 강조했다.^[10][11] 표면 거칠기 조사를 통해 마찰 파트너 사이의 실제 접촉 면적이 겉보기 접촉 면적에 미치지 못하는 것으로 밝혀졌다. 이러한 이해는 또한 시련학에서의 언더테이킹의 방향을 바꾸었다. 보우든과 타보르의 작품은 거친 표면의 접촉 역학에서 몇 가지 이론을 제시하였다.

아카드(1957)^[12]의 공헌은 이 분야의 선구적 작품 논의에서도 반드시 언급되어야 한다. 아르카드는 거친 탄성 표면의 경우에도 접촉 면적이 대략 정상 힘과 비례한다고 결론지었다. 이들 노선을 따라 더욱 중요한 통찰력은 그린우드와 윌리엄슨(1966),^[13] 부시(1975),^[14] 페르손(2002)에 의해 제공되었다.^[15] 이러한 작업의 주요 결과는 거친 재료의 실제 접촉 표면은 일반적으로 정상적인 힘에 비례하는 반면, 개별 마이크로 콘택트의 매개변수(즉, 압력, 마이크로 콘택트의 크기)는 하중에 약하게 의존할 뿐이라는 것이었다.

비접착성 탄성 접점을 위한 고전적 솔루션

탄성체 사이의 접촉 이론은 단순한 기하학적 구조의 접촉 영역과 움푹 들어간 깊이를 찾는 데 사용될 수 있다. 일반적으로 사용되는 몇 가지 해결책은 아래에 열거되어 있다. 이러한 해결책을 계산하는 데 사용된 이론은 이 글의 뒷부분에서 논의된다. 잘린 원뿔, 마모된 구체, 거친 종단, 속이 빈 실린더 등과 같이 기술적으로 관련이 있는 다른 여러 형태의 용액은 다음에서 찾을 수 있다.

와의의접촉촉의의 의의

반경 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 탄성 구체는 전체 변형이 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$인 탄성 반공간을 들여써$$ 반지름의 접촉 영역을 유발한다$.$

${\displaystyle a={\sqrt{Rd}}$

적용된 힘 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 다음에$$ 의해 $변위{\displaystyle }$ d ${\displaystyle d}$과(와) 관련됨$$

${\displaystyle F={\frac {4}{3}{3}E^{*}R^{\frac {1}{1}{1}:{2}}:d^{\frac {3}{2}}:}$

어디에

${\displaystyle {\frac{1}{E^{*}}={\frac {1-\nu _{1}{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1-\nu _{2}^{2}}:}}}$

$그리고{\displaystyle {}_{}}$ $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$${1$},$$$}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\${1},$$isson 2 ${\$}} 포아송의 신체와 관련된 비율이다.

원 중심으로부터의 거리의 함수로서 접촉부위의 정상압력의 분포는 다음과 같다^[1].

${\displaystyle p(r)=p_{0}\좌측(1-{\frac {r^{2}}:{a^{2}}\}\우측)^{\frac {1}{1}2}}:}$

여기서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 다음에 의해 주어진 최대 접촉 압력이다$$.

${\displaystyle p_{0}={\frac {3}F}{{2\pi a^{2}}={\frac {1}{\pi }}}}\왼쪽({\frac {6F{E^{*}}}}^{R^{2}}}\오른쪽)^{\frac {1}{1}{3}}}}}}$

원의 반지름은 방정식에 의해$$ $적용$된 하중 F ${\displaystyle F}$과 관련이 있다.

${\displaystyle a^{3}={\properac {3}FR}{4E^{*}}}}}$

총 변형 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$은(는) 다음에 의해 최대 접촉 압력과 관련된다.

${\displaystyle d={\frac {a^{2}}:{R}=\왼쪽({\frac {9)F^{2}}:{16{E^{*}^{2}R}}\오른쪽)^{\frac{1}{3}}}$

최대 전단 응력은 $\nu {\displaystyle }$=${\displaystyle 0.33}$${\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle$$z\$약 0$.49a}$의 $실내$에서 ${\displaystyle \mathrm{발생}}$한다$.$

두 구간의 접촉

$radii$ ${\displaystyle {R\mathrm{}}_{}}$1 {\$displaystyle R_{$1} ${\displaystyle {및\mathrm{}}_{}}$ $R{\displaystyle {}_{}}$2 {\$displaystyle R_{$2}}의 두 영역 사이의 접촉을 위해$,$ 접촉 면적은 $반지름{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$의 원이다$.$ 유효 반지름 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 다음과 같이 정의된다는 점을 제외하고 이 방정식은 반평면과 접촉하는 구에 대해 동일하다.

${\displaystyle {\frac {1}{R}={\frac {1}{R_{1}}+{\frac {1}{R_{2}}:}$

동일한 반지름 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 교차된 두 실린더 사이의 접촉

이것은 반지름 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$과 평면 사이의 접촉에 해당한다.

끝이 평평한 강체 실린더와 탄성 반공간 사이의 접촉

강체 실린더가 탄성 반공간에 압입될 경우 다음과^[17] 같이 설명되는 압력 분포를 생성한다.

${\displaystyle p(r)=p_{0}\좌측(1-{\frac {r^{2}}:{R^{2}}:}\우측)^{-{\frac{1}{1}2}}:00}$

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) 실린더의 반지름이며

${\displaystyle p_{0}={\frac {1}{{\frac {1}{\pi }{*}{\frac {d}{R}}}}}}$

삽입 깊이와 정상 힘 사이의 관계는 다음과 같다.

$F=2RE^{*}d}$

단단한 원뿔형 인데터와 탄성 반공간 사이의 접촉

단단한 원뿔형 인데터를 사용하여$$ 영의 $계량형{\displaystyle }$E {\$displaystyle$ E$}$의 탄성 반공간을 들여쓰는 경우, 접점 영역의 깊이 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$ 및$$ 접점 반경 $a{\displaystyle }$ ${\displaysty a}$은 다음에^[17] 의해 관련된다$$.

$\displaystyle \epsilon =a\tan(\theta )}$

원뿔의 평면과 측면 표면 사이의 각도로 정의된$$ $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }.$ 총 들여쓰기 깊이 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$은(는) 다음을 통해 제공된다$$.

${\displaystyle d={\frac {\pi }{2}}\epsilon }}$

총력은

${\displaystyle F={\frac {\pi E}{2\왼쪽(1-\nu ^{2}\오른쪽)}}a^{2}\tan(\theta )={\frac {2E}{\pi \left(1-\nu ^{2}\오른쪽)}}}{\frac {d^{{\tan(\teta )}}}}}}}}$

압력 분포는 다음과 같다.

${\displaystyle p\left(r\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\ln \left({\frac {a}{r}}+{\sqrt {\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}-1}}\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}}\cosh ^{-1}\좌측 ^_{a}{r}\우측)}$

응력은 원뿔 끝에 로그 특이점이 있다.

평행 축을 가진 두 실린더 사이의 접촉

평행 축으로 두 실린더 사이에 접촉할 때, 힘은 실린더 L의 길이와 들여쓰기 깊이 d에 선형 비례한다.^[18]

${\displaystyle F\ 약 {\frac {\pi }{4}E^{*}Ld}$

곡률의 반경은 이 관계에서 완전히 빠져 있다. 접촉 반경은 통상적인 관계를 통해 설명된다.

${\displaystyle a={\sqrt{Rd}}$

와 함께

${\displaystyle {\frac {1}{R}={\frac {1}{R_{1}}+{\frac {1}{R_{2}}:}$

두 개의 구가 서로 맞닿아니다. 최대 압력은 다음과 같다.

${\displaystyle p_{0}=\왼쪽({\frac {E^{*}F}{\pi LR}\오른쪽)^{\frac {1}{1}2}}:}$

베어링 접촉

베어링의 경우 접촉은 종종 볼록한 표면(남성 실린더 또는 구체)과 오목한 표면(암성 실린더 또는 구체: 보어 또는 반구형 컵) 사이의 접촉이다.

차원성 감소 방법

일부 접촉 문제는 MDR(Method of Dimensality Reduction)으로 해결할 수 있다. 이 방법에서 초기 3차원 시스템은 선형 탄성 또는 점탄성 토대를 가진 신체의 접촉으로 대체된다(그림 참조). 원래 3차원 시스템과 1차원 시스템의 속성은 그 일치하다 정확히, 만약 이 사체들의 형태와 그 재단의 원소들은 MDR.[19][20]MDR의 규칙에 선대칭의 접촉 문제 먼저 루트비히 Föppl(1941년)과 Gerhar 것이 해법에 기초한다 따라 정의된 수정된다.d슈브에르트(^[21] ()

단, 정확한 분석 결과를 위해서는 접촉 문제가 축대칭이고 접점이 콤팩트해야 한다.

비접착성 탄성 접촉의 헤르츠 이론

고전적인 접촉 이론은 주로 접촉 영역 내에서 어떠한 장력 힘도 발생하지 않는 비접속 접촉에 초점을 맞췄다. 즉, 접촉하는 신체들은 접착력 없이 분리될 수 있다. 무접착 조건을 만족시키는 접촉 문제를 해결하기 위해 여러 가지 분석적 및 수치적 접근법을 사용해 왔다. 복잡한 힘과 순간들이 접촉하는 신체 사이에 전달되기 때문에 접촉 역학의 문제는 상당히 복잡해질 수 있다. 또한 접촉 응력은 대개 변형의 비선형 함수다. 솔루션 절차를 간소화하기 위해 일반적으로 기준 프레임을 정의하는데, 이 프레임은 물체(아마도 서로 상대적으로 움직이고 있을 것이다)가 정적인 것이다. 그들은 그들의 인터페이스에서 표면 트랩(또는 압력/스트레스)을 통해 상호작용한다.

예를 들어 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ -축이$$ 표면과 정규 분포를 가정하는 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$\},$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle y})$ $$면의 일부$$ 표면 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 만나는 두 개체를 예로 들어보자. One of the bodies will experience a normally-directed pressure distribution ${\displaystyle p_{z}=p(x,y)=q_{z}(x,y)}$ and in-plane surface traction distributions ${\displaystyle q_{x}=q_{x}(x,y)}$ and ${\displaystyle q_{y}=q_{y}(x,y)}$$$ 영역 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 걸쳐 힘을 가한다$.$ 뉴턴의 힘 균형 관점에서, 힘은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{z}=\int _{S}p(x,y)~\mathrm {d} A~;~~Q_{x}=\int _{S}q_{x}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~Q_{y}=\int _{S}q_{y}(x,y)~\mathrm {d} A}$

다른 신체에서 설정된 힘과 동일하고 반대여야 한다. 이러한 힘에 해당하는 순간:

${\displaystyle M_{x}=\int _{S}y~q_{z}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~M_{y}=\int _{S}-x~q_{z}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~M_{z}=\int _{S}[x~q_{y}(x,y)-y~q_{x}(x,y)]~\mathrm {d} A}$

또한 신체 간에 동적으로 움직이지 않도록 취소해야 한다.

헤르츠 이론의 가정

헤르츠 접촉 문제의 해결책을 결정할 때 다음과 같은 가정을 한다.

• 균주가 작고 탄성 한계 내에 있다.
• 표면은 연속적이고 부합되지 않는다(접촉 면적이 접촉체의 특성 치수보다 훨씬 작다는 것을 의미한다).
• 각각의 몸은 탄력 있는 반공간으로 간주될 수 있다.
• 표면은 마찰이 없다.

이러한 가정들의 일부 또는 전부를 위반할 때 추가적인 합병증이 발생하며 그러한 접촉 문제를 보통 비 헤르츠어라고 부른다.

분석 솔루션 기법

비접속성 접촉 문제에 대한 해석적 해결 방법은 접촉 영역의 기하학적 구조에 기초하여 두 가지 유형으로 분류할 수 있다.^[22] 적합한 접촉은 변형이 발생하기 전에 두 물체가 여러 지점에서 접촉하는 접촉이다(즉, 두 물체가 "함께 결합"). 불만족 접촉은 무부하 상태에서는 한 지점(또는 선을 따라)에서만 접촉할 수 있을 정도로 신체의 모양이 서로 다른 접촉이다. 부적합한 경우 접촉면적은 물체의 크기에 비해 작으며 응력은 이 영역에 고도로 집중된다. 그러한 접촉을 집중이라고 하고, 그렇지 않으면 다변화라고 한다.

선형 탄력성의 일반적인 접근방식은 접촉 영역에 작용하는 점 하중에 해당하는 여러 해법들을 과대포장하는 것이다. 예를 들어, 반평면을 적재하는 경우, 플라망 용액을 출발점으로 사용한 후 접촉 면적의 다양한 형태로 일반화시키는 경우가 많다. 접촉하는 두 신체 사이의 힘과 순간 균형이 해결책에 대한 추가적인 제약조건으로 작용한다.

(2D) 하프 평면의 점 접촉

접촉 문제를 해결하기 위한 출발점은 오른쪽 그림에서 보이는 등방성, 균질, 선형 탄성 반면에 적용되는 "점하중"의 영향을 이해하는 것이다. 문제는 평면 응력이나 평면 변형일 수 있다. 이는 견인 경계 조건에 따라 선형 탄성성의 경계 값 문제다.

${\displaystyle \sigma _{xz}(x,0)=0~;~~\sigma _{z}(x,z)=-P\delta(x,z)}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \delta (x,z)}$은 Dirac 델타 함수다. 경계조건은 표면에 전단응력이 없으며 (0, 0)에서 단일한 정규력 P가 가해진다고 명시한다. 이러한 조건을 탄력성 관리 방정식에 적용하면 결과가 나온다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {x^{2}z}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{zz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {z^{3}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{xz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {xz^{2}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

일부 지점의 경우$({\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle(x,y)},$ 반평면에$.$ 그림에 표시된 원은 최대 전단 응력이 일정한 표면을 나타낸다. 이 응력장으로부터 변형 성분과 따라서 모든 재료 점의 변위를 결정할 수 있다.

a(2D) 하프 평면의 라인 접촉

영역$({\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle(a,b)}$에 대한 일반 로드

점 하중 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P$${\displaystyle \}}$이$($가) 아닌 < <${\displaystyle b}$> ${\displaystyle p(x)}$이(가) < x < > ${\displaystyle a<b}$ 범위에 걸쳐 표면에 대신 적용된다고$$ 가정합시다 선형 중첩의 원리를 적용하여 적분 방정식의 해결책으로 결과 응력장을 결정할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\sigma _{xx}&, =-{\frac{2z}{\pi}}\int _{를}^{b}{\frac{{2p\left(x'\right)\left(x-x'\right)^}\,dx의}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}일;~~\sigma _{zz}=-{\frac{2z^{3}}{\pi}}\int _{를}^{b}{\frac{p\left(x'\right)\,dx의}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\\[3pt]\sigma _{xz}&, =-{\frac{2z^{2}}.{\pi}})int _{a}^{b}{\frac {p\좌측(x'\우측)\좌측(x-x'\우측)\,dx'}{\좌측[\좌측(x-x'\우측)^{2}+z^{2}\우측]^{2}}}\끝{정렬}}}}}}}}}}}}}}$

영역${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$) {\디스플레이 스타일$(a,b)}$에 대한 전단 하중

표면의 평면에서 표면에 하중을 가하는 경우에도 같은 원리가 적용된다. 이런 종류의 납치들은 마찰의 결과로 발생하는 경향이 있다. 솔루션은 위와 유사하지만(단수 $부하{\displaystyle }$ Q ${\displaystyle Q}$ 및$$ 분산 부하 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle q(x$ 약간 변경되었다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\sigma _{xx}&, =-{\frac{2}{\pi}}\int _{를}^{b}{\frac{q\left(x'\right)\left(x-x'\right)^{3}\,dx의}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}일;~~\sigma _{zz}=-{\frac{2z^{2}}{\pi}}\int _{를}^{b}{\frac{q\left(x'\right)\left(x-x'\right)\,dx의}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\\[3pt]\sigma _{xz}&, =.-{\frac {2z}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q\좌측(x'\우측)\좌측(x-x'\우측)^{2}\{2}좌측[\좌측(x'\우측)^{2}+z^{2}}:{2}}:끝 {정렬}$

이러한 결과는 보다 복잡한 하중을 처리하기 위해 정상 하중을 위해 위에 제시된 결과에 중첩될 수 있다.

(3D) 하프 스페이스의 포인트 접점

2D 하프 평면의 플라망 솔루션과 유사하게, 기본 솔루션은 선형 탄성 3D 하프 공간으로도 알려져 있다. 이것들은 Boussinesq가 농도 정상 부하에 대해 그리고 Cerruti가 접선 부하에 대해 발견했다. 선형 탄성에서 이 섹션의 내용을 참조하십시오.

수치해결기법

접촉 문제를 해결하기 위해 수치적 해결 방안을 채택할 때 준수 접촉과 부적합 접촉 간의 구분이 필요하지 않다. 이러한 방법은 기초 방정식의 일반적인 공식화에만 기초하기 때문에 솔루션 프로세스 내의 추가 가정에 의존하지 않는다.^{[23][24][25][26][27]} 신체의 변형과 움직임을 설명하는 표준 방정식 외에도 두 가지 추가적인 불평등이 공식화될 수 있다. 첫째는 단순히 침입이 일어날 수 없다는 가정에 의해 신체의 움직임과 변형을 제한한다. 따라서 두 신체 사이의$$ 간격 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는) 양 또는 0일 수 있다.

${\displaystyle h\geq 0}$

여기서 $h{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h=0}$은 접촉을 의미한다. 접촉 역학에서 두 번째 가정은 접촉 영역 내에서 어떤 장력 힘도 발생할 수 없다는 사실과 관련이 있다(접속력 없이 접촉체를 들어올릴 수 있다). 이것은 응력이 접점 인터페이스에서 따라야 하는 불평등을 초래한다. 정상 스트레스 ${\displaystyle {stressn}_{}}$= ${\displaystyle t\mathbf{}tn\mathbf{}}$ ${\$에 대해 공식화된다$.$

지역에 있는 격차를 제로, 즉 h)0{\displaystyle h=0}하고 정상적인 스트레스 0보다 다른는 참으로,σ n<0{\displaystyle \sigma_{n}<. 0}일 경우, 표면 접촉에서 정상적인 스트레스 0으로 동일하지 않은 위치에서;σ nx0{\displays 표면 사이의 접촉이다.tyle)$시그마 _{n}=0}$은$($는) 공백이 양수인 동안, 즉 > ${\displaystyle h>0}$. 이러한 종류의 보완성 공식은 이른바 쿤-로 표현될 수 있다.터커 폼, 비즈

$\displaystyle h\geq 0\...\cH00\nma _{n}\leq 0\...\nma _{n}\h=0\, .}$

이러한 조건은 일반적으로 유효하다. 간격의 수학적 공식은 고체의 기초 이론(예: 2차원 또는 3차원의 선형 또는 비선형 고형, 빔 또는 쉘 모델)의 운동학적 특성에 따라 결정된다. 접촉 압력에 관한 정상$$ 응력 ${\displaystyle {\sigma n}_{}}$ ${\$n}을 재작성함으로써 p ${\displaystyle$ p$\},$ $즉{\displaystyle }$ p${\displaystyle }$= -${\displaystyle {\sigma n}_{}}$ ${\$ 쿤터커 문제는 표준$$ 보완성 형식과 같이 재작성할 수 있다.

선형 탄성 사례에서 갭은 다음과 같이 공식화될 수 있다. 여기서 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 강체 몸체$$ $분리{\displaystyle }$,$$g {\$displaystyle$ g$}$은 접촉부의 기하학적/지형(지형 및 거칠기)이며$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은 탄성 변형/편향이다. 접촉체가 선형 탄성 반공간으로 근사하게 추정될 경우, Boussinesq-Cerruti 적분 방정식 솔루션을 적용하여 접촉 압력의 함수로서 변형(${\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$)을 표현할 수 있다(${\displaystyle }$ ${\displaystyle p}).$ 어디에 반 및 탄성의 탄성 반공간의 점 적재를 위해.^[1]

탈고 후 선형탄성 접촉 역학 문제는 표준 선형보완성 문제(LCP) 양식에 명시될 수 있다.^[28]

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{h}&=\mathbf{h}_{0}+\mathbf{g}+\mathbf{Cp},\\\mathbf{h}\cdot \mathbf{p}&=0,\,\,\,\mathbf{p}\geq 0,\,\,\,\mathbf{h}\geq 0,\\\end{정렬}}}{\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{h}&=\mathbf{h}_{0}+\mathbf{g}+\mathbf{Cp},\\\mathbf{h}\cdot \mathbf{p}&=0,\,\,\,\mathbf{p}.\geq 0,\,\,\,\matsbf {h} \geq 0,\\\end{aigned}}$

여기서 $C{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) 행렬이며$$, 이러한 요소를 접촉 압력과 변형과 관련된 영향 계수라고 한다. 위에 제시된 CM 문제의 엄격한 LCP 제형은 렘케의 선회 알고리즘과 같은 잘 확립된 수치해결 기법을 직접 적용할 수 있다. 렘케 알고리즘은 한정된 반복 횟수 내에서 수치적으로 정확한 솔루션을 찾을 수 있다는 장점이 있다. Almqvist 등이 제시한 MATLAB 구현은 숫자적으로 문제를 해결하기 위해 채용할 수 있는 하나의 예다. 또한 2D 선형탄성접촉역학문제의 LCP솔루션 사례코드는 Almqvist 등이 MATLAB 파일교환에서도 공개되었다.

거친 표면 사이의 접촉

표면이 거친 두 개의 몸체를 서로 누를 때, 두 몸 사이에 형성된 진정한 접촉 $영역$인 A ${\디스플레이 스타일$ A$}$이$($가) 겉보기 또는 공칭 접촉 영역인 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 스타일 $A_{0}$보다 훨씬 작다$.$ 거친 표면에 접촉하는 역학은 정상적인 접촉 역학과 정적 마찰 상호작용 측면에서 논의된다.^[29] 자연 표면과 공학 표면은 일반적으로 광범위한 길이에 걸쳐 분자 레벨까지 척도를 낮추며 표면 구조는 표면 프랙탈리티라고도 알려진 자기 친화력을 나타낸다. 표면의 자체 부착 구조는 실제 접촉 면적의 선형 스케일링의 원점임을 인식한다.^[30] 고난도 상호작용에서 용접접합부의 모델을 가정할 때, 이러한 보편적으로 관찰되는 접촉 영역과 압력 사이의 선형성은 정적 마찰과 적용된 정상 힘의 관계의 선형성의 기원으로도 간주될 수 있다.^[29]

"랜덤 러프" 표면과 탄성 반공간 사이에 접촉할 때, 실제 접촉 영역은 다음 기준의$$^{[1][30][31][32]} 정상 힘 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$과 관련이 있다.

$}{}{\displaystyle A={\frac {\papa }{E^{*h'}F}}$

h${\displaystyle {}^{}}$′ ${\$이(가) 표면 기울기의 루트 평균 제곱(일명 2차 평균)과 같고$$${\displaystyle }\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \kappa$\ 약 $2}.$ 실제 접촉 표면의 중위수

${'}{\displaystyp p_{\frac {F}{A}}\frac {1}{1}{{*h'}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

유효 탄성계수 $∗{\$의 절반에 표면 $경사{\displaystyle {}^{}}$ h$′{\$의 루트 평균 제곱을 곱한 것으로 합리적으로 추정할 수 있다.$$

GW 모델 개요

그린우드와 윌리엄슨은 1966년(GW)^[30]에 거친 표면의 탄성 접촉 역학 이론을 제안했는데, 이것은 오늘날 트리폴로지(마찰, 접착, 열 및 전기 전도성, 마모 등)의 많은 이론의 기초가 되고 있다. 그들은 평탄한 강체면과 동일한 반경 R의 둥근 끝 단부 반경으로 덮인 명목상 평평한 변형 가능한 거친 표면 사이의 접촉을 고려했다. 그들의 이론은 각 아스퍼리티의 변형이 이웃의 변형과 독립적이며 헤르츠 모델에 의해 설명된다고 가정한다. 아스퍼레이트의 높이는 랜덤 분포를 가진다. 아스퍼리티 높이가 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$과 $z{\displaystyle }$+ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle z}$ ${\d디스플레이스타일$ z$+dz}$ 사이에 있을 확률은 probability$$ (${\displaystyle z}$)${\displaystyle d}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi (z)dz$ 저자는 접촉 지점 수 n, 총 접촉 ${\displaystyle {면적}_{}}$ A $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 총$$ 하중 P를 계산했다. 그들은 그러한 공식들을 두 가지 형태로 제공했다: 기본과 표준화된 변수 사용. 만약 N개의 아스퍼티가 거친 표면을 덮고 있다고 가정한다면, 예상되는 접점의 수는 다음과 같다.

$(z n=N\int _{d}^{\infit }\phi (z)dz}$

예상되는 총 접촉 면적은 공식에서 계산할 수 있다.

$}{\displaystyle A_{a}=N\pi R\int _{d}^{d}\int _{d}(z)dz}$

그리고 기대되는 총 힘은 다음에 의해 주어진다.

$displaystyle P={\frac {4}{3}}}}}NE_{r}{\sqrt{R}\int _{d}^{\inflt }{{3}{2}}\pi (z)dz}$

여기서:

R, 극수정의 률률,

z z, 종단선 부터 부터 , 이,

을 닫아 d 면 을로

${\displaystyle E_{r}=\left({\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}\right)^{-1}}$, composite Young's modulus of elasticity,

${\displaystyle E_{}}$ i ${\$ 표면의 탄성계수,

${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 포아송의 표면 계수$.$

표준화된 $분리{\displaystyle }$ h${\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$ /${\displaystyle \sigma }$ ${\dplaystyle h=d$/\sigma $}$과(와) 표준화된 높이 분포 $){\displaystyle \phi ^{*s}$을(를) 도입하였으며, 표준$$ 편차는 1과 같다. 아래는 표준화된 형태로 공식을 제시한다.

$displaystyle {\displaystyle}F_{n}(h)&=\int _{h}^{\infit }^{n}{n}\phi^{n}{*ds\n&=\eta A_{n}F_{0}(h)\\A_{a}&=\pi \eta AR\sigma F_{1}(h)\2}}P&={\frac {4}{3}\eta AE_{r}{\sqrt{R}\sigma^{3}{2}}:F_{3}{2}}(h)\}}}}}}}}}}}}}$

여기서:

d는 모리,

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$은(는) 공칭 접촉 영역이며,

${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$은(는) 아스퍼리티의 표면 밀도,

$∗{\$ E$^{*}}$는 효과적인$$ 영계수 입니다.

${\displaystyle {최근}_{}}$ 지드나크에 의해 $A{\displaystyle {}_{}}$ r ${\$와 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에 대한 정확한 근사치가 발표되었다$$.^[33] 다음과 같은 합리적인 공식에 의해 주어지는데, F ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle F_{n}(h)}$ 통합에 매우 정확한 근사치 입니다$.$ 가우스 분포의 아스퍼리티에 대해 계산한다.

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{1}h+a_{1}h+a_{1}h+a_{1}{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}}h^{3}+b_{4h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}}}}}\exp \exp \h^{h^{2}}:\c)}}$

$F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle F_{1}(h)}$의 경우 계수는$$

${\displaystyle{\begin{정렬}[][a_{0}일 경우 ,a_{1},a_{2},a_{3}]&, =[0.398942280401,0.159773702775,0.0389687688311,0.00364356495452]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&, =\left[1.653807476138,1.170419428529,0.448892964428,0.0951971709160,0.00931642803836,-6.383774657279\times 10^{-6}\right]\end{정렬}}}{\displaystyle{\begin{정렬}[]-LSB- a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.398942280401,0.159773702775,0.0389687688311,0.00364356495452]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=\left[1.653807476138,1.170419428529,0.448892964428,0.0951971709160,0.00931642803836,-6.383774657279\times 10^{-6}\right]\end{aligned}}}$

최대 상대 오류는 $9{\displaystyle .93}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ - ${\displaystyle 8^{}}$%${\displaystyle$ 9$.93\times 10^{-8}\%}$ 입니다$.$

${\displaystyle {\frac{\mathrm{F}}{}}_{}}$ 3 ${\displaystyle 2{}_{}}$( h${\displaystyle }$) ${\displaystyle F_{\frac {3}{2}}(h)}$의 경우 계수는$$

${\displaystyle{\begin{정렬}[][a_{0}일 경우 ,a_{1},a_{2},a_{3}]&, =[0.430019993662,0.101979509447,0.0229040629580,0.000688602924]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&, =[1.671117125984,1.199586555505,0.46936532151,0.102632881122,0.010686348714,0.0000517200271]\end{정렬}}}{\displaystyle{\begin{정렬}[][a_{0}일 경우 ,a_{1},a_{2},a_{3}]&.-경우 0.430019993662,0.101979509447,0.0229040629580,0.000688602924]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.671117125984,1.199586555505,0.46936532151,0.102632881122,0.010686348714,0.0000517200271]\end{aligned}}}$

최대 상대적 $오류$는${\displaystyle \mathrm{}}$1.${\displaystyle 91}$× ${\displaystyle {10}^{}}$- 7%${\displaystyle 1.91\times 10^{-7}\%}$ 입니다$.$ 논문에는^[33] F ${\displaystyle n{}_{}}$( h${\displaystyle }$) ${\displaystyle F_{n}(h)}$에 대한 정확한 표현도 수록되어 있다.

$displaystyle {\displaystyle}F_{1}(h)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\exp \exp \cH{1}{2}}h^{2}\pi)-{\frac {1}{1}{1}{2}}h\,\erfc}{fc}{sqr)\\\ {F_{\frac{3}{2}}(h)&={\frac{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{{\frac{\pi }}}\exp \ \(-{\frac{h^{4}}}\sqrt{{{2}+1\c)K_{\frac{1}{4}}\왼쪽({\frac {h^{2}}:{4}\오른쪽)-h^{2}K_{\frac {3}{4}}\왼쪽({\frac {h^{4}\오른쪽)\end{conliged}}}}}}$

여기서 erfc(z)는 보완적 오류 함수를 의미하며, $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$(${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle K_{\nu }(z)}$는 두 번째 종류의 수정된 Besel 함수를 의미한다$$.

그 상황에 대한 내용은 그 두 표면에 고난과 봉우리 spherical,[30]평균 접촉 압력 사용했을 pav)1.1σ y ≈ 0.39 σ 0{\displaystyle p_{\text{av}}=1.1\sigma _{y}\approx 0.39\sigma _{0}}이σ는 y{\displa을 유발할 수 있는 것으로 가정할 수 있는 가우스 높이 분포를 가지고 있다.ysty$le \sigma _{y}$는 단색 항복응력이고 $and{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 들여쓰기 경도이다.^[1] 그린우드와 윌리엄슨은^[30] 접촉이 탄성인지 플라스틱인지를 결정하는 데 사용될 수 있는 가소성 지수라고 불리는$$ 치수 없는 파라미터 ${\displaystyle \Psi }$을 정의했다.

그린우드-윌리암슨 모델은 두 가지 통계적으로 의존하는 수량에 대한 지식이 필요하다. 표면 거칠기의 표준 편차와 아스퍼리티 피크 곡률이다. 가소성 지수에 대한 대체 정의는 미키치에 의해 제시되었다.^[31] 수율은 압력이 단축 수율 스트레스보다 클 때 발생한다. 항복응력은 수축경도 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 비례하므로, Mikic은 탄성-플라스틱 접촉에 대한 가소성 지수를 다음과 같이 정의했다$.$

$}}{\displaystyle \Psi ={\frac {E^{*}h'}{\sigma _{0}}{\frac {2}{3}}}.}$

이 정의에서 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Psi }$은 완전 가소성 상태의 미세한 선을 나타내며 표면 측정에서 계산할 수 있는 rms 기울기 하나만 필요하다. < ${\$의 경우 접촉 중에 표면이 탄력적으로 작용한다

그린우드-윌리암슨 모델과 미키크 모델 모두에서 하중은 기형 영역에 비례하는 것으로 가정한다. 따라서 시스템이 탄력적으로 동작하는지 또는 탄력적으로 동작하는지 여부는 적용된 정상 힘과 무관하다.^[1]

GT 모델 개요

그린우드와 트립(GT)이 제안한 모델은 GW 모델을 거친 두 표면 사이에 접촉하도록 확장했다.^[34] GT 모델은 엘라스토하이드로다이내믹 분석 분야에서 널리 사용되고 있다.

GT 모델에 의해 가장 자주 인용되는 방정식은 아스퍼리티 접촉 영역에 대한 것이다.

${\displaystyle A_{a}=\pi ^{2}(\eta \beta \sigma )^{2}AF_{2}(\lambda ),}$

과부하로 운반되는 하중

${\displaystyle P={\frac {8{\sqrt{2}}:{15}\pi(\eta \beta \sigma )^{2}{\sqrt{\frac {}{\sigma }}E'AF_{\frac {5}{2}}(\lambda ),}$

여기서:

${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \eta \betama$ $\},$ 거칠기 매개 변수,

$A {\displaystyle$ A$\},$ 공칭 접촉 구역,

${\displaystyle }$Stribeck \cite{gt}에 의해 $defined{\displaystyle }$= h${\displaystyle }$/ ${\displaystyle h}$ / ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \$$lambda$$=h/\sigma }$로 처음 정의된$$$\\displaystyle$ \$lambda$ =h$/\$sigma $\},$

${\displaystyle E^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ E$\text{'}\},$ 유효 탄성계수,

${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {\frac{\mathrm{F}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {5\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ 2 (${\displaystyle {}_{}\lambda }$) ${\displaystyle F_{2},F_{\frac {5}{2}}(\lambda )},$ 가정된 가우스 분포와 일치하도록 도입된 통계 함수$.$

$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$와 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에 대한 정확한 용액은 우선 Jedynak가 제시한다$$.^[33] ${\displaystyle {다음}_{}}$과 같이$$ $F{\displaystyle {}_{}}$ n ${\$로 표현된다.

$displaystyle {\displaystyle}F_{2}&={\frac {1}{2}}\left(h^{2}+1\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {h}{\sqrt {2}}}\right)-{\frac {h}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)\ {}}{{3F_{\frac{5}{2}}&={\frac {1}{8{\sqrt{\pi }}}}}}}\exp \ \(-{\frac {h^{4}\pi){3}{3}}}{2}+3\competition)K_{\frac{3}{4}}\좌({\frac {h^{2}}:{4}\우)-\좌(2h^{2}+5\우)aignedK_{\frac{1}{4}}}\frac{{h^{2}}:}\{4}}}\end{aigned}}}}}}}}}}}$

여기서 erfc(z)는 보완적 오류 함수를 의미하며, $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$(${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle K_{\nu }(z)}$는 두 번째 종류의 수정된 Besel 함수를 의미한다$$.

논문에서 F ${\displaystyle {5\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}_{}}$ ${\$ 기존의 근사치를 종합적으로 검토할 수 있다$.$ 새로운 제안서는 문헌에 보고된 F ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\frac{\mathrm{}}{}}_{}}$ ${\$$5{\displaystyle {}_{}}$$}}}$$$및 F 2 {\$displaysty F_{2$}에$$ 가장 정확한 근사치를 제공한다$.$ 다음과 같은 합리적인 공식에 의해 주어지는데, F ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle F_{n}(h)}$ 통합에 매우 정확한 근사치 입니다$.$ 가우스 분포의 아스퍼리티에 대해 계산한다.

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{1}h+a_{1}h+a_{1}h+a_{1}{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}}h^{3}+b_{4h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}}}}}\exp \exp \h^{h^{2}}:\c)}}$

$F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle F_{2}(h)}$의 경우 계수는$$

${\displaystyle {\reason}[a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.5,0.1825363841,0.0398283118,0.003684879001]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.960841785003,1.708677456715,0.856592986083,0.264996791567,0.049257843893,0.004640740133]\end{aligned}}}$

최대 상대적 $오류$는${\displaystyle \mathrm{}}$1.${\displaystyle 68}$×${\displaystyle {10}^{}}$ - 7%${\displaystyle 1.68\times 10^{-7}\%}$ 입니다$.$

$F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{5}{}}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$( h${\displaystyle }$) ${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}(h)}$의 경우 계수는$$

${\displaystyle {\signified}[a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.616634218997,0.108855811,0.0234538635,0.000449332509]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.919948267476,1.635304362591,0.799392556572,0.240278859212,0.043178653945,0.003863334276]\end{aligned}}}$

최대 상대적 $오류$는${\displaystyle \mathrm{}}$4.${\displaystyle 98}$× ${\displaystyle {10}^{}}$- ${\displaystyle 8^{}}$%$[\displaystyle$4.$98\times 10^{-8}\%}$ 입니다$.$

탄성체 사이의 접착제 접촉

두 개의 단단한 표면이 가까이 다가오면, 그들은 매력적인 반 데르 발스 힘을 경험한다. 브래들리의 반 데르 발스 모델은^[35] 완벽하게 매끄러운 표면을 가진 두 강체 구 사이의 인장력을 계산하는 수단을 제공한다. 헤르츠 접촉 모델은 접착 가능성을 고려하지 않는다. 그러나 1960년대 후반에 허츠 이론을 고무와 유리구의 접촉과 관련된 실험과 비교했을 때 몇 가지 모순이 관찰되었다.

헤르츠 이론은 큰 부하에 적용되었지만 낮은 부하에 적용되었다는 것이 관찰되었다^[5].

• 접촉면적은 헤르츠 이론에 의해 예측된 것보다 더 컸다.
• 접촉면적은 하중을 제거해도 0이 아닌 값을 가졌고,
• 접촉면이 깨끗하고 건조하다면 강한 접착력이 있었다.

이것은 접착력이 작용하고 있음을 나타낸다. 존슨-켄달-로버트(JKR) 모델과 더자구인-뮬러-토포로프(DMT) 모델이 헤르츠 접촉에 접착력을 접목한 첫 번째 모델이었다.

브래들리 강체 접촉 모델

$일반적$으로 서로$$ 떨어져 있는 z ${\displaystyle z}$ 거리에서 두 원자 평면 사이의 표면력은 레나드-존스 전위에서 도출될 수 있다고 가정한다. 이런 가정하에

${\displaystyle F(z)={\cfrac {16\gamma }{3z_{0}}\왼쪽({\cfrac {z}{0}\오른쪽)^{-9}-\{\cfrac {z}-{0}}\오른쪽)^{-3}$

여기서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은 힘(압축에서 양성), 2$$ {\$displaystyle 2\gamma}$은 단위$$ 면적당 두 표면의 총 표면 에너지, $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 두 원자면의 평형 분리다.

브래들리 모델은 레너드-존스 전위를 적용하여 두 강체 구들 사이의 접착력을 찾아냈다. 구들 사이의 총력은 다음과 같은 것으로 밝혀졌다.

${\displaystyle F_{a}(z)={\cfrac {16\gamma \pi R}{3}}\left[{\cfrac {1}{4}}\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-8}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\riight)^{-2}}\\오른쪽]~~~{{\frac {1}{1}{R}={\frac {1}{1}{1}}+{\frac {1}{R_{2}}:$

여기서 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {R\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}은 두 구의 반지름이다$$.

당김력이 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 달성되면$$ 두 구는 완전히 분리된다.

${\displaystyle F_{a}=F_{c}=-4\gamma \pi R.}$

JKR(Johnson-Kendall-Roberts) 모델

Hertzian 접촉에 접착의 효과를 통합하기 위해 Johnson, Kendall 및 Roberts는^[5] 저장된 탄성 에너지와 표면 에너지 손실 사이의 균형을 이용하여 JKR 접착제 접촉 이론을 공식화했다. JKR 모델은 접촉 영역 내에서만 접촉 압력과 접착력의 영향을 고려한다. JKR 모델의 접촉 부위의 압력 분포를 위한 일반적인 해결책은

${\displaystyle p(r)=p_{0}\좌측(1-{\frac{r^{2}}:{a^{2}}:2}}:}\우측)^{\frac{1}:{1}{0}}^{1}{a^{1}{r^}}}{a^{1}{1}:{1}:{2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

원래의 헤르츠 이론에서 $p{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을(를) 포함하는 용어는 접점 구역에서 긴장을 지속할 수 없다는 이유로 방치되었다는$$ 점에 유의한다. 두 구 사이의 접촉용

${\displaystyle p_{0}={\frac {2aE^{*}}{*}}}{\pi R}};\quad p_{0}}}=-\좌({\frac {4\gamma E^{*}}}{\pi a}}}\pi a}}^{1}{2}}:}}}}}}$

where ${\displaystyle a\,}$ is the radius of the area of contact, ${\displaystyle F}$ is the applied force, ${\displaystyle 2\gamma }$ is the total surface energy of both surfaces per unit contact area, ${\displaystyle R_{i},\,E_{i},\,\nu _{i},~~i=1,2}$ are the radii, Yo웅의 모듈리와 포아송의 두 구 비율과

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}};\quad {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

두 영역 사이의 접근 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle d={\frac {\pi a}{2}E^{*}}\왼쪽(p_{0}+2p_{0}'\오른쪽)={\frac {a^{2}}{R}}}}$

두 구간의 접촉 면적에 대한 헤르츠 방정식은 표면 에너지를 고려하여 변형된 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}\왼쪽(F+6\gamma \pi R+{\sqrt {12\gamma \pi RF+(6\gamma \pi R)^{2}}}\오른쪽)}}$

표면 에너지가 $0일{\displaystyle }$ 때, ${\displaystyle 0}$= 0 ${\displaystyle \gamma$ =$0$ 두 구간의 접촉을 위한 헤르츠 방정식이 회복된다. 적용된 하중이 0일 때 접촉 반경은

${\displaystyle a^{3}={\frac {9R^{2}\gamma \pi }{E^{*}}}}}}}}}}}}}}:$

구가 분리되는 인장하중($즉{\displaystyle }$, a${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a=0$은 다음과 같이 예측된다.

${\displaystyle F_{\text{c}=-3\gamma \pi R\,}$

이 힘을 당김력이라고도 한다. 이 힘은 두 구의 모듈리와는 무관하다는 점에 유의한다. $그러나{\displaystyle }$ 이 부하에서$$ ${\displaystyle a}$ 값에 대한 다른 가능한 해결책이 있다. ${\displaystyle {이}_{}}$ 영역은 c ${\$이$($가) 부여한 중요한 접촉 영역이다.

${\displaystyle a_{\text{c}^{3}={\frac {9R^{2}\감마 \pi }{4}E^{*}}}}}$

접착 작업을 다음과 같이 정의하면

${\displaystyle \Delta \gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}-\gamma _{12}}}$

$\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}은 두$$ 표면의 접착 에너지이며 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$는 상호작용$$ 용어로서 JKR 접촉 반경을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}\왼쪽(F+3\Delta \gamma \pi R+{\sqrt {6\Delta \delta \pi RF+(3\Delta \gamma \PI R)^{2}}}\오른쪽)}}}$

분리 시 인장 하중은

${\displaystyle F=-{\\frac {3}{2}}\Delta \gamma \pi R\,}$

그리고 중요한 접촉 반경은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle a_{\text{c}^{3}={\frac {9R^{2}\Delta \gamma \pi }{8}E^{*}}}}}$

침투의 임계 깊이는

${\displaystyle d_{\text{c}}={\frac {a_{c}^{2}}:\좌측(R^{\frac {1}{1}2}}:{\frac {9\Delta \gamma \pi}}{4}E^{*}}\오른쪽)^{\frac {2}{3}}$

탄성 접촉의 Derjaguin-Muller-Toporov(DMT) 모델

Derjaguin-Muller-Toporov(DMT) 모델은^[7][36] 접착제 접촉에 대한 대체 모델로서, 접촉 프로필이 헤르츠 접촉과 동일하지만 접촉 영역 외부의 추가적인 매력적인 상호작용과 함께 유지된다고 가정한다.

DMT 이론에서 두 구간의 접촉 반경은

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}\왼쪽(F+4\감마 \pi R\오른쪽)}$

그리고 당겨지는 힘은

${\displaystyle F_{c}=-4\gamma \pi R\,}$

당김력에 도달하면 접촉 부위는 0이 되고 접촉 부위의 가장자리에 있는 접촉 응력에는 특이점이 없다.

접착 작업 ${\displaystyle \Delta }$ {$${\$displaystyle \Delta \gamma}$

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}\왼쪽(F+2\Delta \gamma \pi R\오른쪽)}$

그리고

${\displaystyle F_{c}=-2\Delta \gamma \pi R\,}$

타보르 매개변수

1977년 타보르는^[37] 이 두 이론이 타보르 매개변수에 의해 파라메트리가 된 단일 이론의 극한 한계$($ {\$displaystyle \$mu $\})$라는 점에 주목함으로써 JKR 이론과 DMT 이론 사이의 명백한 모순을 해결할 수 있음을 보여주었다.

${\displaystyle \mu :={\frac {d_{c}{0}}\가까이 \preck {R(\Delta \gamma )^{2}}:{{{{}}}}}}}}{{{{}}}}}}}}}}}}}{{{{}}}}}E^{*}^{2}z_{0}^{3}}}}\오른쪽]^{{\frac{1}{3}}}$

여기서 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 접촉하는 두 표면 사이의 평형 분리다$$. JKR 이론은 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}이$($가) 큰 규격의 큰 구에 적용된다. DMT 이론은 $\mu$의 작은 값 ${\displaystyle \mu }$을(를) 가진 작고 딱딱한 구에 적용된다$.$

이어서, Derjaguin 후 고무줄 절반 우주로, 브래들리의 표면 힘의 법칙을 적용하여 그의 collaborators[38]은 타보르 산 매개 변수 증가 π R은 JKR 값으로 γ{2\pi R\Delta \gamma\displaystyle}Δ이 간선 도로의 대피소 힘이 브래들리 값이 2에서(3/2)π RΔ γ{\displaystyle(3/2)\pi R\Delta \gamma이 확인했다. }. 그린우드가^[39] 나중에 점프온 효과를 설명하는 S자형 하중/접근 곡선을 공개함으로써 보다 상세한 계산이 이루어졌다. 보다 효율적인 계산법 및 추가 결과는 펑 사장에 의해 주어졌다.

마우기스-더그데일 탄성 접촉 모델

타보르 아이디어에 대한 추가 개선은 더그데일 응집성 구역 근사치 측면에서 표면력을 대표한 마우기스에^[9] 의해 제공되었는데, 이는 접착 작업이 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \Delta \gamma =\sigma _{0}~h_{0}}}$

여기서 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 레너드-존스 전위가 예측하는 최대 힘이며 h ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 더그데일과 레너드-존스 곡선 아래 영역을 일치시켜 얻은 최대 분리(이웃 그림 참조)이다$$. 즉 z ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}z{\displaystyle {}_{}}$ z ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ + h 0 ${\$0}\leq z_${0}+h_{0$}}}에 대해 매력적인 힘이 일정하다는 뜻이다$.$ 압축에는 더 이상의 침투가 없다. 완벽한 접촉 반경을 하는 지역에서 σ 0{\displaystyle \sigma_{0}}반경 c의 지역에 확장;{\displaystyle c>.}이다. 그 지역에서;r<>c{\displaystyle a<, r<, 요리}, 그 두 표면 거리 h에 의해(r){\dis 분리되어 진다 진도 1의{\displaystyle}및 부착하는 세력은<>발생한다.playstyle h(r)}$$ ${\displaystyle \mathrm{h}(}$ ${\displaystyle a)}$= 0 ${\displaystyle h(a)=0}$ 및$$ $h{\displaystyle (c}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {h\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 비율 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은(는) 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle m}$ ${\displaystyle :=\frac{c}{}}$ ${\$ m$:={\frac {c}{a$

마우기스-듀그데일 이론에서 표면 견인 분포는 헤르츠 접촉 압력과 더그데일 접착 응력 때문에 두 부분으로 나뉜다.^[41] $헤르츠$ 접촉은 그 에서 $가정$된다 헤르츠 압력으로부터 표면 트랙션에 대한 기여는 다음과 같다.

${\displaystyle p^{H}(r)=\좌측({\frac {3F^{H}}{{2\pi a^{2}}\오른쪽)\왼쪽(1-{\frac{r^{2}}:{a^{2}}}\오른쪽)^{\frac {1}{1}{2}}:}}}$

여기서 헤르츠 접촉력 $F{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle H^{}}$ ${\$는 다음과 같이 주어진다$$.

$F^{\displaystyle F^{H}={\frac {4E^{*}a^{3}}}{3}}}{3}}}{3}R}}$

탄성 압축으로 인한 침투는

$d^{\displaystyle d^{H}={\frac{a^{2}}:{R}}}$

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r=c}$의 수직 변위는

${\displaystyle u^{H}(c)={\cfrac {1}{\pi R}\왼쪽[a^{2}\오른쪽)\sin ^{-1}\{1}\frac {1}{1}{m}\right)+a^{2}{\sqrt{m^{2}-1}}$

$r$${\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r=c}$에서 두 표면 사이의 분리는

${\displaystyle h^{H}(c)={\frac {c^{2}}:{2R}-d^{H}+u^{H}(c)}$

접착제 더그데일 응력에 의한 표면 트랙션 분포는

${\displaystyle p^{D}(r)={\begin{cases}-{\frac {\sigma _{0}}{\pi }}\cos ^{-1}\left[{\frac {2-m^{2}-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}{m^{2}\left(1-{\frac {r^{2}}{m^{2}a^{2}}}\right)}}\right]&\quad {\text{for}}\quad r\leq a\\-\sigma _{0}&\quad {\text{for}}\quad a\leq r\leq c\end{cases}}}$

다음, 총 접착력은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle F^{D}=-2\sigma _{0}m^{2}a^{2}\왼쪽[\cos^{-1}\froc{1}{m}\frac{1}{1}{m^{2}}}{\sqrt{m^{m^}-1}\오른쪽]}}$

더그데일 접착에 의한 압축은

${\displaystyle d^{D}=-\왼쪽({\frac {2\sigma _{0}a}{E^{*}}\오른쪽){\sqrt {m^{2}-1}$

${\displaystyle r}$= c ${\displaystyle r=c}$의 간격은$$

${\displaystyle h^{D}(c)=\좌측({\frac {4\sigma _{0}a}{\pi E^{*}}}}\우측)\좌측[{\sqrt {m^{2}}-1}\cos ^{1}\{{{m\우측)+1-m\우측]}}}}}}}}}}우측}}}}}}}}}}}}}}}우측}}}}}}}}}}}우측}}$

The net traction on the contact area is then given by ${\displaystyle p(r)=p^{H}(r)+p^{D}(r)}$ and the net contact force is ${\displaystyle F=F^{H}+F^{D}}$. When ${\displaystyle h(c)=h^{H}(c)+h^{D}(c)=h_{0}}$ the adhesi트랙션이 0으로 떨어진다.

${\displaystyle 이}$ 단계에서 , c ,${\displaystyle F}$, d ${\displaystyle a,c,F,d}$의 비차원적 값이 다음과$$ 같이 무시된다.

${\displaystyle {\bar {{a}}=\alpha a~~{\bar {{c}:=\alpha c~~~\bar {d}:=\alpha ^{2}Rd~;~~\alpha :=\left({\frac {4)E^{*}}{3\pi \delta \delta \gamma R^{2}}}\right)^{\frac {1}{1}{1}}~{\bar {{A}:\pi c^{F}}={\pi \delta \gamma R}}}}}}}}}}}}}}}}}$

또한, Maugis는 Tabor 매개 변수 $\mu {\displaystyle }$${\displaystyle \lambda$}에$$ 해당하는 매개 변수 $\lambda {\displaystyle }$ {\$displaystyle \mu }$을(를) 제안하였다.$$ 이 매개 변수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \lambda :=\sigma _{0}\좌({0}{9R}{2\pi \Delta \gamma{E^{*}}}}}}}^{\frac {1}{1}{3}}}}}우)^{\frac {1}}개 정도의 1.16\mu }$

스텝 응집력 응력 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 레너드-존스 전위의 이론적 스트레스와 동일하다$$.

${\displaystyle \sigma _{\text{th}}={\frac {16\Delta \gamma }{9{\sqrt{3}z_{0}}}}}}}}}$

정과 유는 스텝 응집 스트레스에 또 다른 가치를 제시했다.

${\displaystyle \sigma _{0}=\exp \left(-{\frac {223}{420}\오른쪽)\cdot {\fraca \delta \gamma }{z_{0}}}\delta \delta \damma{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

로 이어지는 레너드 존스의 잠재력에 필적하기 위해

$\displaystyle \lambda \ 약 0.663\mu }$

그러면 순접촉력은 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\bar{F}={\bar{a}^{3}-\lambda {\a}^{a}}\왼쪽[\sqrt{m^{2}-1}+m^{2]}\sec ^{-1}m\right]$

탄성 압축은

${\d}={\bar{a}^{2}-{\frac {4}{3}}\bar {a}{\sqrt{m^{2}-1}$

두 신체의 응집성 갭에 대한 방정식은 형태를 취한다.

${\displaystyle {\frac {\lambda {\bar {a}}^{2}}{2}}\left[\left(m^{2}-2\right)\sec ^{-1}m+{\sqrt {m^{2}-1}}\right]+{\frac {4\lambda {\bar {a}}}{3}}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\sec ^{-1}m-m+1\right]=1}$

이 방정식은 $c{\displaystyle }${\$displaystyle a$} $및$ {$${\$displaystyle \lambda$}의 다양한 값에 $대해$ c$${\$displaystyle c}$의 값을 얻기 위해 해결할 수 있다$$$.$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\lambda$ $\},$ $m{\displaystyle }$→ $}$의 큰 $값$에 대해서는 $JKR$ 모델을 구한다. $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 작은 값의 경우$$ DMT 모델이 검색된다.

카르픽-올레트리-살메론(COS) 모델

마우기스-듀그데일 모델은 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 값이 a-priori를 알 수 없는$$ 경우에만 반복적으로 해결될 수 있다. Carpick-Ogletree-Salmeron 근사 용액은^[43] 다음과 같은 관계를 사용하여 접촉 반지름 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$을(를) 결정함으로써 프로세스를 단순화한다$.$

${\displaystyle a=a_{0}(\beta )\왼쪽({\frac {\beta+{1-F/F_{c}(\beta )}}}{1+\beta }}^{\frac {2}{3}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 무부하 시 접촉 영역이며$$, $\beta {\displaystyle }${\$displaystyle \betada$}은$($는) 다음에 의해$$ $by{\displaystyle }$ ${\displaystyle$\ \$da}$과(와) 관련된 전환 매개 변수다$$.

${\displaystyle \lambda \ 약 -0.924\ln(1-1.02\properties )}$

사례 $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \beta =$1}은$($는) JKR 이론과 정확히$$ 일치하며, $\beta {\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \beta =0}$은(는) DMT 이론과 일치한다$$. 중간 케이스 << ${\displaystyle$ 0$<\$$beta <1$$}$의 경우, COS 모델은 .1$<>$ <$5>$에 대한 Maugis-Dugdale 솔루션과 밀접하게 일치한다

접촉 형상의 영향

완벽하게 매끄러운 표면이 있는 곳에서도 기하학은 접촉 부위의 거시적인 형태의 형태로 활동할 수 있다. 납작하지만 이상한 모양의 얼굴을 가진 강직성 펀치를 그의 부드러운 상대편에서 조심스럽게 떼어낼 때, 그것의 분리대는 즉각적으로 발생하지 않고 뾰족한 모서리에서 시작되어 안쪽으로 이동하며, 거시적으로 등방성 형상이 거의 원형인 최종 구성에 도달할 때까지 분리된다. 평평한 접점의 접착 강도를 결정하는 주요 매개변수는 접점의 최대 선형 크기인 것이다.^[44] 분리의 과정은 실험적으로 관찰된 바와 같이 영화에서 볼 수 있다.^[45]

참고 항목

참조

참고 항목: 부드러운 헤미-엘리피틱 손가락 끝을 위한 접촉 기계

외부 링크

• [2]: 접촉 응력과 내력 응력 방정식의 진화에 대한 자세한 내용은 NASA Glenn Research Center의 NASA Bearing, Gearing and Transmission 섹션, Erwin Zaretsky에 의해 본 간행물에서 확인할 수 있다.
• [3]: "선형 탄성 접촉 역학 문제의 LCP 솔루션"이라는 제목의 선형 탄성 접촉 역학 문제를 해결하기 위한 MATLAB 루틴이 MATLAB Central의 파일 교환에서 제공된다.
• [4]: 역학 계산기 연락.
• [5]: 두 개의 구체에 대한 JKR 이론의 상세한 계산과 공식.
• [5]: 헤르츠 접촉 분석을 위한 Matlab 코드(라인, 점 및 타원형 사례 포함)
• [6]: JKR, MD, DMT 접착 모델(Matlab 루틴)