토르 펑터

수학에서 Tor functors는 링 위에 있는 모듈의 텐서 곱의 파생된 functors이다.엑스트르 펑터와 함께 토르는 대수학적 대수학의 중심 개념 중 하나로, 대수학적 위상에서 나온 아이디어가 대수학적 구조의 불변수를 구성하는데 사용된다.집단의 호몰로지, 리 알헤브라스, 연상 알헤브라는 모두 토르(Tor)이름은 첫 번째 토르 그룹 토르와₁ 아벨리아 그룹의 토션 하위 그룹 사이의 관계에서 유래되었다.

아벨 그룹들의 특수한 경우, 토르는 에두아르 치치(1935년)에 의해 소개되었고, 사무엘 아일렌베르크에 의해 1950년경 이름이 붙여졌다.^[1]위상에서의 귄네스 정리 및 범용계수 정리에 우선 적용되었다.어떤 링 위에 있는 모듈에 대해서, 토르는 1956년 책 Homological Algebra에서 Henri Cartan과 Eilenberg에 의해 정의되었다.^[2]

정의

R을 링이 되게 하라.왼쪽 R-모듈의 범주는 R-Module로, 오른쪽 R-모듈의 범주는 Mod-R로 작성한다.(R이 상쇄적인 경우, 두 범주를 식별할 수 있다.고정 좌측 R-모듈 B의 경우, $T{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle T(A)=$가 되도록 한다.Mod-R에서 A에 대한$$ $A\timum _{R}B}$이것은 Mod-R에서 아벨리아 그룹 Ab의 범주에 이르는 오른쪽 정확한 functor로서, 파생 $functor{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}${\$displaystyle L_{i}T}$를 가지고 있다.$$Tor 그룹은 에 의해 정의된 아벨리아 그룹이다.

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=(L_{i}T),}$

정수 i의 경우정의에 따르면, 이 방법은 다음과 같다: 모든 투영적 해결을 취한다.

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to 0,}$

A를 제거하고 체인 콤플렉스를 형성하십시오.

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\time _{R}B\to P_{1}\time _{R}B\to 0}$

각 정수 i에 대해 ${\displaystyle {\mathrm{Tor}}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$ 그룹은 위치$$ i에서 이 콤플렉스의 호몰로지 입니다.그것은 내가 부정적으로 생각할 때 0이다.Moreover, ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{R}(A,B)}$ is the cokernel of the map ${\displaystyle P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B}$, which is isomorphic to ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$.

또는 A를 고정하고 오른쪽 정확한 펑터 G(B) = A ⊗_R B의 왼쪽 파생 펑터를 취함으로써 Tor를 정의할 수 있다.즉, 투사적 해상도가 B인 텐서 A를 택하고 호몰로지(homology)를 취한다.Cartan과 Eilenberg는 이러한 구조는 투영적 분해능의 선택과 무관하며, 두 구조 모두 동일한 Tor 그룹을 산출한다는 것을 보여주었다.^[3]더욱이 고정 링 R의 경우 토르는 각 변수(R-모듈에서 아벨 그룹까지)의 펑터(functor)이다.

정류 링 R과 R-모듈 A와 B의 경우, Tor^R
_i(A, B)는 R-모듈이다(이 경우 A ⊗_R B가 R-모듈이라는 것을 사용).비협정 고리 R의 경우, 토르^R
_i(A, B)는 일반적으로 아벨 그룹일 뿐이다.만약 R이 링 S에 대한 대수라면(특히 S가 정류적이라는 것을 의미), Tor^R
_i(A, B)는 적어도 S-모듈이다.

특성.

다음은 Tor 그룹의 기본 속성과 연산 중 몇 가지 입니다.^[4]

• Tor^R
  ₀(A, B) ≅ 우측 R-모듈 A와 좌측 R-모듈 B에 대한 A ⊗_R B.

• Tor^R
  _i(A, B) = A 또는 B 중 하나가 R-모듈로 플랫(예: 무료)인 경우 모든 i > 0에 대해 0이다.사실, A 또는 B의 평탄한 분해능을 사용하여 Tor를 계산할 수 있다. 이것은 투영적인 (또는 무료) 분해능보다 더 일반적이다.^[5]

• 이전 진술에 대한 회화가 있다.
  • Tor^R
    ₁(A, B)가 모든 B에 대해 0이면 A가 평탄한 것이다(따라서 모든 i > 0에 대해 Tor^R
    _i(A, B) = 0).
  • 모든^R
    ₁ A에 대해 Tor(A, B)가 0이면 B가 평평한 것이다(따라서 모든 i > 0에 대해 Tor^R
    _i(A, B)가 0이다).

• 파생된 functors의 일반적 특성에 의해, 각각의 짧은 정밀 시퀀스 0 → K → L → M → 우측 R-modules는 형태에^[6] 대한 긴 정밀 시퀀스를 유도한다.

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(M,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(K,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(L,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,B)\to K\otimes _{R}B\to L\otimes _{R}B\to M\otimes _{R}B\to 0,}$

좌측 R-모듈 B에 대해 조사한다.두 번째 변수에 관해서도 Tor를 위해 유사한 정확한 시퀀스가 유지된다.

• 대칭: 정류 링 R의 경우 자연 이형성 토르^R
  _i(A, B) ≅ 토르^R
  _i(B, A)가 있다.(^[7]R 정류의 경우 왼쪽 R-모듈과 오른쪽 R-모듈을 구별할 필요가 없다.)

• 만약 R이 정류 링이고 u in R이 0 divisor가 아니라면, 어떤 R-module B에 대해서도,

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/(u),B)\cong {\begin}B/uB&i=0\\\B[u]&i=1\\0&{\text}{otherwise}\end{case}}}$

어디에

${\displaystyle B[u]=\{x\in B:ux=0\}}$

B의 U-torsion 부분군이다.이것이 토르라는 이름에 대한 설명이다.R을 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 정수로 가져가면, 이 계산은 정확하게 생성된 아벨 그룹 A의 ${\displaystyle {\mathrm{Tor}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle A}$ ,${\displaystyle }$B${\displaystyle }$) ${\displaysty \operatorname {Tor} _{1}^{\\mathb {Z}}}}}(A,B)$를 계산하는 데 사용할 수 있다.

• 앞의 예를 일반화하면, 코즐 콤플렉스를 사용하여 어떤 규칙적인 시퀀스에 의해서도 정류 링의 몫을 포함하는 Tor 그룹을 계산할 수 있다.^[8]예를 들어, R이 필드 k에 대한 다항식 링 k[x₁, ..., x_n]인 경우, ${\displaystyle {\mathrm{Tor}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( k${\displaystyle }$, ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*^{R}(k,k)}}$는 Tor의₁ n개 생성기에서 k에 대한 외부 대수다.

• ${\displaystyle {Tori}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle A}$, B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{\mathb {Z} }(A,B)=0}$ 모든 i ≥ 2에 대해$$.그 이유는 모든 아벨 그룹 A는 자유 아벨 그룹의 모든 하위 그룹이 자유 아벨 그룹이기 때문에 자유 분해능이 길이 1이다.

• 모든 링 R에 대해 Tor는 각 변수에 직접 합(약간 무한)과 여과된 콜리미트를 보존한다.^[9]예를 들어 첫 번째 변수에서는 다음과 같이 되어 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \bigoplus _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\varinjlim _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \varinjlim _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\end{aligned}}}$

• 플랫 베이스 변경: 정류 플랫 R-알지브라 T, R-모듈 A 및 B, 정수 i의 경우,^[10]

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\otimes _{R}Tor}_{i}^{T}(A\otimes _{R}T.}$

토르는 현지화에 통근한다.즉, R에서 승법적으로 닫힌 SetS의 경우,

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \operatorname {Tor} _{i}^{S^{-1}R}\왼쪽(S^{-1A, S^{-1}B\right)}$

• 교감 링 R과 교감 R-알게브라스 A와 B의^R
  _* 경우, 토르(A,B)는 R보다 등급이 높은 계량대수의 구조를 가지고 있다.더욱이 토르 대수에서 홀수도의 원소는 제곱 영을 가지며, 양수 균등도의 원소에 대해서는 분할된 동력 연산이 있다.^[11]

중요특례

• Group homology is defined by ${\displaystyle H_{*}(G,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$ where G is a group, M is a representation of G over the integers, and ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ is the group ring of G.

• 필드 k와 A-bimodule M에 대한 대수 A의 경우 Hochschild homology는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle HH_{*}(A,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}}}(A,M).}$

• Lie algebra homology is defined by ${\displaystyle H_{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Tor} _{*}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$, where ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is a Lie algebra over a commutative ring R, M is a ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-module, and${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$는 범용 봉합 대수학이다.

• 밭 k으로 준동형을 가진 가환환 R 들어, 토르 ∗ R⁡(k, km그리고 4.9초 만){\displaystyle \operatorname{토르}_ᆭ^ᆮ(k,k)}은graded-commutative 호프 대수에 k.[12](토르에 R⁡(k∗ 잔류물 분야 k만약 R은Noetherian 지역 링 다음 이중 호프 대수 km그리고 4.9초 만){\displaystyle \operatorname{토르}_{*}.^{R}$(k,k)}$은 Ext^*
  _R(k,k)이다.) 대수로서 ${\displaystyle {\mathrm{Tor}}_{}^{}}$ ⁡ R${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle (k}$ ,${\displaystyle }$k${\displaystyle }$)$${\$displaystyle \operatorname$ {$Tor} _{*^{R}(k$,k$)}}}}$는 등급이 매겨진 벡터 공간_* ((R)에서 자유 등급 분류된 커밋 전력 대수다.^[13]k가 특성 0을 가질 때, ((R_*)은 André-Quillen 호몰로지 D_*(k/R,k)로 식별할 수 있다.^[14]

참고 항목

• 평면 형태론
• 세레의 교차로 공식
• 파생 텐서 제품
• 아일렌베르크-모어 스펙트럼 시퀀스

메모들

참조

• Avramov, Luchezar; Halperin, Stephen (1986), "Through the looking glass: a dictionary between rational homotopy theory and local algebra", in J.-E. Roos (ed.), Algebra, algebraic topology, and their interactions (Stockholm, 1983), Lecture Notes in Mathematics, vol. 1183, Springer Nature, pp. 1–27, doi:10.1007/BFb0075446, ISBN 978-3-540-16453-1, MR 0846435
• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homological algebra, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-04991-2, MR 0077480
• Čech, Eduard (1935), "Les groupes de Betti d'un complexe infini" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 25: 33–44, doi:10.4064/fm-25-1-33-44, JFM 61.0609.02
• Gulliksen, Tor; Levin, Gerson (1969), Homology of local rings, Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, vol. 20, Queen's University, MR 0262227
• Quillen, Daniel (1970), "On the (co-)homology of commutative rings", Applications of categorical algebra, Proc. Symp. Pure Mat., vol. 17, American Mathematical Society, pp. 65–87, MR 0257068
• Sjödin, Gunnar (1980), "Hopf algebras and derivations", Journal of Algebra, 64: 218–229, doi:10.1016/0021-8693(80)90143-X, MR 0575792
• Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.
• Weibel, Charles (1999), "History of homological algebra", History of topology (PDF), Amsterdam: North-Holland, pp. 797–836, MR 1721123

외부 링크

• The Stacks Project Authors, The Stacks Project