알헤브라의 텐서 제품

대수구조 → 링 이론 링 이론
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비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
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수학에서, 두 알헤브라가 교감 고리 R 위에 있는 텐서 곱 또한 R-알제브라다.이것은 알헤브라의 텐서 제품을 준다.링이 필드일 때, 그러한 제품의 가장 일반적인 적용은 대수표현의 제품을 설명하는 것이다.

정의

R을 교감반지로 하고 A와 B를 R알게브라로 삼아라.A와 B는 둘 다 R-모듈로 간주될 수 있으므로, 그 텐서 제품은

${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

또한 R-모듈이다.텐서 제품은 ⊗ b 형식에 따라^[1][2] 제품을 정의함으로써 링의 구조를 부여할 수 있다.

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2}=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}}:$

그리고 나서 모든 A _Rb B까지 선형성에 의해 확장된다.이 반지는 R-알지브라로, 1_A㎛ 1이_B 부여한 아이덴티티 요소와 결합되어 있으며, 여기서 1과_AB 1은 A와 B의 아이덴티티 요소다.^[3]만약 A와 B가 상통형이라면 텐서형 제품도 상통형이다.

텐서 제품은 R-알게브라의 범주를 대칭 단면체 범주로 바꾼다.^{[citation needed]}

추가 특성

A와^[4] B부터 A ⊗_R B까지 자연 동형성이 있다.

$(\\displaystyle a\mapsto a\otimes 1_{B})$

${\displaystyle b\mapsto 1_{A}\여러 번 b}$

이 지도들은 이 텐서 제품을 상용 R-알게브라 카테고리의 공동 유도체로 만든다.텐서 제품은 모든 R-알게브라의 범주에 있는 공동 생산물이 아니다.거기서 공동효과는 알헤브라의 보다 일반적인 자유상품에 의해 주어진다.그럼에도 불구하고, 비확정 알제브라질의 텐서 제품은 다음과 유사한 보편적 속성으로 설명될 수 있다.

${\displaystyle {\text{홈}(A\otimes B,X)\cong \lbrace(f,g)\in {\text{홈}(A,X)\time {\text{홈}(B,X)\mid \all a,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,}$

여기서 [-, -]는 정류자를 나타낸다.자연 이형성은 형태론 $\varphi {\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle B}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi$:$왼쪽$의 A$\otimes B\to$ X$},$ 오른쪽의$$ 형태론 쌍$({\displaystyle f}$, g${\displaystyle }$) ${\displaystyle(f,g)},$ $여기$서 f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$) :${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle f(a):$$=\phi(a\otimes 1)}$ 및 이와$$ $유사$하게 g${\displaystyle (b}$) ${\displaystyle :=}$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \otimes }$ b )${\displaystyle g(b):$$=\backslash$$phi(1\otimes$ b$)}.$

적용들

교감 알헤브라의 텐서 제품은 대수 기하학에서 자주 사용된다.X와 Z에서 Y까지 모피즘을 갖는 애피네이션 구성표 X, Y, Z의 경우, 따라서 X = 스펙(A), Y = 스펙(R), Z = 컴팩트(B)는 알헤브라의 텐서 곱에 해당하는 애피네이션 구성표이다.

${\displaystyle X\time _{Y}Z=\operatorname {Spec}(A\otimes _{R}B).}$

보다 일반적으로, 체계의 섬유 생산물은 이 형태의 섬유 생산물을 접착제로 붙임으로써 정의된다.

예

• The tensor product can be used as a means of taking intersections of two subschemes in a scheme: consider the ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$-algebras ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/f}$, ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/g}$, then their tensor product is ${\displaystyle \mathbb{C}[x,y}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}\mathbb {C} [x,y]/(g)\cong \mathbb {C} [x,y]/(f,g)}$, which describes the intersection of the algebraic curves f = 0 and g = 0 in the affine plane over C.
• 보다 일반적으로 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 정류 링이고 $I{\displaystyle }$, ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \subseteq }$ A ${\displaystyle I,J\subseteq$ A$}$이(가) 이상이라면$$ $A{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{I}{}}$ ${\displaystyle \otimes {}_{}}$ ${\displaystyle \frac{A}{}}$ ${\displaystyle \frac{J}{}}$ +${\displaystyle }$J $displaystyle {\frac$ {$A}{$$I}}\otimes _{A}{\frac {A}{J}}\cong {\frac {A}{I+J}}}$, with a unique isomorphism sending ${\displaystyle (a+I)\otimes (b+J)}$ to ${\displaystyle (ab+I+J)}$.
• 텐서 제품은 계수를 바꾸는 수단으로 사용될 수 있다.For example, ${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(x^{3}+5x^{2}+x-1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /5\cong \mathbb {Z} /5[x,y]/(x^{3}+x-1)}$ and ${\displayst$$yle \mathb {Z}[x,y]/(f)\otimes _{\mathb {Z} }\mathb {C} \cong \mathb {C} [x,y]/(f)}$.
• 텐서 제품은 또한 한 분야에 걸쳐서 아핀 계통의 제품들을 가져가는데 사용될 수 있다.For example, ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2}]/(f(x))\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [y_{1},y_{2}]/(g(y))}$ is isomorphic to the algebra ${\displaystyle \mathbb$${C}$[${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$${1},x_{2},y_{1$},$y_{2}]/(f(x),g(y)},$ f와 g가 0이 아닐 경우$$ \$displaystyle$의 아핀 표면에 해당한다.

참고 항목

• 스칼라의 연장
• 모듈 텐서 제품
• 필드의 텐서 제품
• 선형분리
• 다변형 서브공간 학습

메모들

참조

• Kassel, Christian (1995), Quantum groups, Graduate texts in mathematics, vol. 155, Springer, ISBN 978-0-387-94370-1.
• Lang, Serge (2002) [first published in 1993]. Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 21. Springer. ISBN 0-387-95385-X.