위어스트라스 인자화 정리

수학, 특히 복잡한 분석 분야에서 Weierstrass 인자화 정리는 모든 기능이 0을 포함하는 (아마도 무한한) 제품으로 표현될 수 있다고 주장한다. 그 정리는 모든 다항식을 각 근에 하나씩 선형 인자로 인수할 수 있다고 주장하는 대수학의 기본 정리의 연장선으로 볼 수 있다.

칼 위어스트라스(Karl Weierstrass)의 이름을 딴 이 정리는 무한대로 향하는 모든 순서가 정확히 그 순서의 지점에서 0과 연관된 전체 함수를 갖는 두 번째 결과와 밀접한 관련이 있다.

정리의 일반화는 그것을 영형함수로 확장하며 주어진 영형함수를 함수의 0과 극에 따른 항, 관련 비 영형함수의 산물로서 고려할 수 있게 한다.^{[citation needed]}

동기

대수학의 근본적인 정리의 결과는 두 가지다.^[1] Firstly, any finite sequence ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ in the complex plane has an associated polynomial ${\displaystyle p(z)}$ that has zeroes precisely at the points of that sequence, ${\displaystyle p(z)=\,\prod _{n}(z-c_{n}).$$}$

둘째, 복합 평면의 모든$$ $다항함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ p$($${\displaystyle z}$$)}$에는 인수 p${\displaystyle }$( ${\displaystyle \underset{}{z}}$)${\displaystyle }$= =${\displaystyle \underset{}{}}$n${\displaystyle \underset{}{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle c_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \,p(z)=a\pod _{n}(z-c_{n})$가 있는데 여기서$$ a는 0이 아니고 c는_n p의 0이다.

위어스트라스 인자화 정리의 두 형태는 위와 같은 기능을 전체 함수로 확장한 것으로 생각할 수 있다. 제품에서 추가 용어의 필요성은 시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle {cn}_{}}${$}$ {\$displaystyle$\,\$prod_{$$n}(z-c_{$n$}\})$이 유한하지$$ 않은 ${\displaystyle \prod \underset{n}{}}$을 고려할 때 입증된다. 무한 생산물이 수렴하지 않기 때문에, 그것은 결코 전체 기능을 정의할 수 없다. 따라서 일반적으로 규정된 영의 순서에서 전체 함수를 정의하거나 대수학의 기본 정리에 의해 산출되는 표현을 사용하여 영의 순서에서 전체 함수를 나타낼 수 없다.

문제의 무한제품의 수렴에 필요한 조건은 각 z에 대해 요인$({\displaystyle z}$- ${\displaystyle {cn}_{}}$) ${\displaystyle (z-c_{n})$이 n${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle n\to \infty }$로 1에 접근해야$$ 한다는 것이다$.$ 따라서 지정된 지점에서 0이 될 수 있는 함수를 추구해야 하지만 그 po가 아닐 때는 1에 근접해야 한다는 것이 타당하다.규정된 0보다 더 이상 0을 도입하지 않는다. Weierstrass의 기본 요소는 이러한 특성을 가지며 위의 요인$$$({\displaystyle z}$- c ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle(z-c_{n})$과 동일한 목적을 제공한다.

기본적인 요소들

Consider the functions of the form ${\displaystyle \exp(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}})}$ for ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. At ${\displaystyle z=0}$, they evaluate to ${\displaystyle 1}$ and have a flat slope at order up to ${\displaystyle n}$. Right after ${\displaystyle z}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$ $[\displaystyle z=1$ 그것들은 어떤 작은 양의 값으로 급격히 떨어진다. 대조적으로, 평평한 경사는 없지만 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z=1}$에서 정확히 0으로 평가되는$$ 함수 $1{\displaystyle \mathrm{}}$- z ${\displaystyle 1-z}$을$($를) 고려하십시오. 또한 z < 1의 경우

$($$$$=\exp \left(-{\tfrac{z^{1}:{$1}:{1}:{$1}-{\tfrac {z^{2}}-{}-{\tfrac{3}}}{$3}}+\$cdots \right$

1차 요인이라고도 하는 ^[2]기본 요인은 0 기울기와 0 값의 특성을 결합한 기능이다(^[3]그림 참조).

${\displaystyle E_{n}(z)={\begin{cases}(1-z)&{\text{if }}n=0,\\(1-z)\exp \left({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&{\text{otherwise}}.\end{case}}}$

z<1와 엔>0{\displaystyle n>0} 들면 한 En(z)로 계산 exp⁡(− zn+1n+1Σ k=0∞ zk1+k/(n+1)){\displaystyle E_{n}(z)=\exp(-{\tfrac{z^{n+1}}{n+1}}\Sigma_{k=0}^{}\infty{\tfrac{z^{k}}{1+k/(n+1)}})}고, 어떻게 이 속성이를 읽어 낼 수 있게 e.을 표명할 지 모르nforced.

기본 요인 E_n(z)의 효용은 다음과 같은 보조정리부에 있다.^[2]

z ≤ 1, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$에 대한 Lema(15.8, Rudin)

${\displaystyle \vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}.$

정리의 두 형태

0이 지정된 전체 함수의 존재

$\{{\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$을(를) n${\displaystyle {}_{}}$→${\displaystyle \mathrm{}}$∞ ${\displaystyle a_{n} \to \ft$}과와) 같은 0이 아닌 복잡한$$ 숫자의 순서가 되게$$ 하라$.$ {$}$${\$$displaystystyle$ $\{p_$${n}\}\}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \sum \{n=1}^{\nft }\왼쪽(r/ a_{n} \right)^{1+p_{n}}<\nfty ,}$

그 다음 함수

${\displaystyle f(z)=\prod _{n=1}^{\infit }E_{p_{n}}(z/a_{n})}$

${\displaystyle n_{}}$ ${\$$}}$ 순서에서 숫자 ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$$z_$${0$$}}$이$({\displaystyle }$가) 정확히$$$$ m인 경우 함수 f는 z${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 다중성 m에 0이 있다.

• 정리 문장의 순서$$${\displaystyle }${${\displaystyle {pn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{p_{n}\}}$은(는) 항상 존재한다. 예를 들어, $우리$는${\displaystyle {}_{}{항상}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{pn}}$= n {\$displaystyle p_{n}=$n}을(를$$) 취해서 수렴을 할 수 있다. 그러한 순서는 고유하지 않다: 한정된 수의 위치에서 변경하거나 다른 시퀀스 p′_n p를_n 취해도 수렴이 깨지지 않는다.
• 정리는 다음과 같이 일반화된다: 리만 구의 오픈 서브셋(따라서 지역)에 있는 시퀀스는 해당 서브셋에서 홀로모픽인 관련 함수를 가지며 시퀀스 지점에 0을 가진다.^[2]
• 또한 대수학의 근본적인 정리에 의해 주어지는 경우를 여기에 통합한다. 시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}}$이(가) 유한하면$$ ${\displaystyle {pn}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p_{n}=0}$을(를) 취하여$$ ${\displaystyle f(z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle c{{\displaystyle }}_{}}$∏$z)=c\\displaystyle \prod \}{n}{n}(z-a_{n$

위어스트라스 인자화 정리

ƒ을 전체 함수로 하고$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}}}$을 다중성에 따라 반복된 of의 0이 아닌 0이 되게$$ 한다. 또한 ƒ이 z = 0의 0에 0이 있다고 가정한다(z = 0 = 0은 ƒ (0) ≠ 0을 의미한다). 그런 다음 전체 함수 g와 정수${\displaystyle }$순서 {${\displaystyle {pn}_{}}$}$${\$displaystyle$\{$p_{n}\}}$이(가) 있으며, 다음과 같은 기능이$$ 있다.

${\displaystyle f(z)=z^{m^{m^}e^{g(z)}\pod _{n=1}^{n1}{n1}^{\ft }E_{p_{n}}\!\!\왼쪽 사진\frac {z}{a_{n}}\오른쪽).}$^[4]

인자화 예

삼각함수 사인 및 코사인에는 인자가 있다.

감마 함수 ${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma$}이$($가) 인자를 갖는 동안 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) 오일러-마스케로니 상수다.^{[citation needed]} 코사인 정체는 특별한 경우로 볼 수 있다. $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$}}:$$^{[citation needed]}.

하다마드 인자화 정리

만일 ƒ이 유한 순서 ρ의 전체 함수이고 m이 z=0에서 ƒ의 0의 순서라면, 인자를 인정한다.

${\displaystyle f(z)=z^{m^}e^{g(z)}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infit }E_{p}\!\!\왼쪽 사진\frac {z}{a_{n}}\오른쪽)}$

여기서 g(z)는 q의 다항식이고, q ≤ ρ, p = [ρ]는 ρ의 정수 부분이다.^[4]

참고 항목

• 미타그-레플러의 정리
• 사인 함수에 적용된 이 정리로부터 파생될 수 있는 월리스 제품
• 블래쉬케 제품

메모들

외부 링크

• "Weierstrass theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 오일러로 인한 사인함수의 Weierstrass 인자화 시각화