0과 극

복잡한 분석(수학의 한 가지)에서 폴은 함수의 특정 유형의 특이점으로, 로그 함수의 경우 0과 같은 필수 특이점, 복합 제곱근 함수의 경우 0과 같은 분기점과는 대조적으로 함수가 비교적 규칙적으로 작용하는 근처다.

복합 변수 $z$ 의 함수 $f$ 는 f $또는$ 그 $역수함수$ 1/ $f$ 중 $하나$ 가₀ z의 일부 인접 지역에서 홀로모르픽인 경우( $f$ $또는$ 1/ $f$ 가₀ z의 인접 지역에서 복잡하게 구별될 수 있는 경우) 점 $z$ 의₀ 인접 지역에서 meromorphic이다.

meromorphic 함수 $f$ 의 0은 $f (z)$ = $0$ 과 같은 복잡한 숫자 $z$ 이다. $f$ 의 극은 1 $/ f$ 의 0이다.

이는 $0$ 과 극 사이의 이중성을 유도하며, 함수 f를 역수 $1/ f$ 로 대체하여 얻는다.이 이중성은 용적함수의 연구에 기본이다.예를 들어, 어떤 함수가 전체 복잡한 평면에 무한대의 점을 더한 경우, 극의 승수의 합은 0의 승수의 합과 같다.

정의들

복합 변수 $z$ 의 함수는 $U$ 의 모든 지점에서 $z$ 에 대해 차별성이 있는 경우 오픈 $도메인$ U에서 홀로모르픽이다. 동등하게, 분석적이라면 홀로모르픽, 즉 자사의 테일러 $시리즈$ 가 U의 모든 지점에 존재하고, 지점의 일부 인접지에서의 함수로 수렴된다. $함수$ 는 $U$ 의 모든 지점이 f나 $1$ / $f$ 중 하나가 holomphic인 이웃을 가지고 있다면 $U$ 에서 meromorphic이다.

meromorphic 함수 $f$ 의 0은 $f$ ( $z)$ = $0$ 과 같은 복잡한 숫자 $z$ 이다. $f$ 의 극은 1 $/ f$ 의 0이다.

$f$ 가 복합 평면의 $z_{0}$ 점 $z_{0}$ ${\$ 의 인접 지역에서 공형적인 함수라면 다음과 같은 정수 $n$ 이 존재한다.

(z-z_{0})^{n}f(z)

$z_{0}$ ${\$ 의 인접 지역에서 홀로모르픽 및 비제로(이는 분석 속성의 결과). $z_{0}$ $n$ > $0$ 이면 z $z_{0}$ ${\$ 은 f의 $순서$ (또는 다중성) $n$ 의 극이다 $z_{0}$ . $n$ < $0$ 인 경우, $z_{0}$ $z_{0}$ ${\$ $|n|$ 의 $|n|$ $displaystyle$ n $}$ 이 $z_{0}$ (가) 된다.단순 0과 단순 극은 $|n|=1.$ 의 0과 극에 사용되는 용어다 $|n|=1.$ n $|n|=1.$ = 1. ${\디스플레이 스타일$ n $=1.}$ 도는 $|n|=1.$ 순서와 동의어로 사용되기도 한다.

0과 극의 이러한 특성은 0과 극이 격리되어 있다는 것을 암시한다. 즉, 모든 0이나 극은 다른 0과 극을 포함하지 않는 인접성을 가지고 있다.

0과 극의 순서가 음이 아닌 $숫자$ n으로 정의되고 그 사이의 대칭성이 있기 때문에, 종종 순서 $n$ 의 극을 $순서-n$ 으로 $,$ 순서 $n$ 의 극을 $순서-n$ 으로 간주하는 것이 유용하다.이 경우 극이나 0이 아닌 점은 순서 0의 극(또는 0)으로 본다.

공형 함수는 0과 극이 무한히 많을 수 있다.감마함수(인포박스의 영상 참조)의 경우로, 전체 복잡한 평면에서 용형이며, 모든 비양성 정수에 간단한 극을 가지고 있다.리만 제타함수는 또한 전체 복잡한 평면에서 공형이며, $순서$ 1의 단극이 z = $1$ 이다.왼쪽 반면에 있는 그것의 0은 모두 음의 짝수 정수로, 리만 가설은 다른 모든 0이 $레(z)$ = 1 $/2$ 을 따라 있다는 추측이다.

점 $z_{0},$ $z_{0},$ $z_{0$ 의 인접 지역에서 0이 $z_{0},$ 아닌 meromorphic 함수 $f$ 는 주성분이 가장 유한한 Laurent 시리즈의 합계(부수 지수 값이 있는 용어):

f(z)=\sum _{k\geq -n}a_{k}(z-z_{0})^{k},

여기서 n는 정수,− n≠ 0.{\displaystyle a_{-n}\neq 0입니다.}다시 말씀 드리면, n>0(는 액수 − n(z− z0으로 시작한다)− n{\displaystyle a_{-n}(z-z_{0})^{-n}}, 중요한 부분), 한 오더 n의 장대를 가지고 있으며, 만약 n≤ 0(는 액수 n(z− z0으로 시작한다)조건 n다. $a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}$ $displaystyle a_{n }}(z-z_{0}}^{n$ $a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}$ 주체가 없음), 순서가 $|n|$ $displaystyle$ n $}$ 이다 $|n|$

무한에서

함수 $z\mapsto f(z)$ $z\mapsto f(z)$ $z\mapsto f(z)$ ( $z\mapsto f(z)$ ) $z\mapsto f(z)$ 는 무한대의 일부 이웃(일부 디스크 외부에 있음)에서 meromphic이고, 다음과 같은 정수 $n$ 이 있는 경우 무한대에서 $z\mapsto f(z)$ meromphic이다.

\lim_{z\to \inflt }{\frac {f(z)}{z^{n}}}}}

존재하며 0이 아닌 복합수다.

이 경우 무한대의 지점은 $n$ > $0$ 이면 $순서$ 의 극이고, $n$ < $0$ 이면 $|n|$ 순서의 $|n|$ 이 $|n|$ 된다. $displaystyle$ n $}$ 이다.

예를 들어, 도 $n$ 의 다항식은 무한대에 도 $n$ 의 극을 가진다.

무한대의 한 점에 의해 확장된 복잡한 평면을 리만 구라고 부른다.

$f$ 가 리만 구 전체에서 공형적인 함수라면 0과 극의 수가 한정되어 있고, 극의 순서의 합은 0의 순서의 합과 같다.

모든 이성적 함수는 리만 구 전체에서 공형이며, 이 경우 0이나 극의 순서의 합은 분자와 분모의 최대 도이다.

예

9급 다항식은 order에서 순서 9의 극을 가지며, 여기에 리만 구를 도메인 색상으로 표시한다.

함수

f(z)={\frac {3}{z}}

리만 구 전체에서 공상동맥이 발견됐어순서 1의 장대

z=0,

z =

z=0,

{\displaystyle

z=

0,}

에

z=0,

단순 장대, 무한대에 단순 0이 있다.

함수

f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}

리만 구 전체에서 공상동맥이 발견됐어

z=5,

2의 z

z=5,

=

z=5,

,

{\displaystyle

z

=5,},

순서

z=5,

3의 star = -

{\displaystyle

z

=-7}

이 있다

z=-7

z=-2,

=

z=-2,

-

z=-2,

,

z=-2,

에 단순 0이 있고

z=-2,

무한대에 4중 0이 있다.

함수

f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}

전체 복잡한 평면에서는 공상동형이지만 무한대에서는 그렇지 않다.

\mathb{Z}}}

의 \n

\

{Z

}}

에 순서

z=2\pi ni{\text{ for }}n\in \mathbb {Z}

의 극을 z

z=2\pi ni{\text{ for }}n\in \mathbb {Z}

= 2

2n i

에 두고 있으며

z=2\pi ni{\text{ for }}n\in \mathbb {Z}

이는 원점을

e^{z}

으로

e^z

e z

{\

e^{

z}

의

z=2\pi ni{\text{ for }}n\in \mathbb {Z}

테일러

시리즈를 작성하면 알 수 있다.

함수

f(z)=z

순서 1의 무한대에는 하나의 극이 있고, 출발지에는 하나의 0이 있다.

세 번째를 제외한 위의 예는 모두 합리적인 기능이다.이러한 함수의 0과 극에 대한 일반적인 설명은 극-제로 플롯 § 연속 시간 시스템을 참조하십시오.

곡선상의 함수

0과 극의 개념은 (복잡한 숫자에 걸쳐) 차원 1의 복잡한 분석 다지관인 복잡한 곡선의 함수까지 자연스럽게 확장된다.그러한 곡선의 가장 간단한 예는 복잡한 평면과 리만 표면이다.이 확장은 분석 이형성인 구조와 특성을 차트를 통해 전달함으로써 이루어진다.

더 정확히 말하면, $f$ 는 복잡한 곡선 $M$ 에서 복잡한 숫자에 이르는 함수가 되도록 한다.This function is holomorphic (resp. meromorphic) in a neighbourhood of a point $z$ of $M$ if there is a chart $\phi$ such that $f\circ \phi ^{-1}$ is holomorphic (resp. meromorphic) in a neighbourhood of ${\displaystyle \phi (z).$ $}$ ${\displaystyle \pi (z$ 에 대해 동일한 $\phi (z).$ 경우 $z$ 는 폴( $\phi (z).$ ) 또는 오더 $n$ 의 0이다 $.$ $}$

곡선이 콤팩트하고 함수 $f$ 가 전체 곡선에서 공형인 경우, 0과 극의 수는 유한하며 극의 순서의 합은 0의 순서의 합과 같다.이것은 리만-로치 정리와 관련된 기본적인 사실들 중 하나이다.

참고 항목

참조

Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
Conway, John B. (1995). Functions of One Complex Variable II. Springer. ISBN 0-387-94460-5.
Henrici, Peter (1974). Applied and Computational Complex Analysis 1. John Wiley & Sons.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Pole". MathWorld.

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