다변량 감마함수

수학에서 다변량 감마함수 Ⅱ는_p 감마함수의 일반화다.위시아트 분포와 위시아트 분포의 확률밀도함수에 나타나며, 행렬이 베타 분포를 변동시키는 다변량 통계에 유용하다.^[1]

그것은 두 가지 동등한 정의를 가지고 있다.$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\times p}$양정확실성$$ 실질 매트릭스 위에 다음과 같은 적분으로 주어진다.

${\displaystyle \Gamma _{p}=\int_{S>0}\exp \left(-{\rm {tr}(S)\right)\,\좌측 S\right ^{a-{\frac {p+1}{2}}dS,},}$

여기서 ${\displaystyle S}$ $displaystyle$ S$}$은$($는) $S{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ S$}$의 결정 인자를 나타낸다$$.$$$\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle }$) ${\$이(가) 일반 감마 함수로 감소한다는$$ 점에 유의하십시오.다른 하나는 수치적 결과를 얻는데 더 유용한 것이다.

${\displaystyle \Gamma_{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\pd_{j=1}^{p}\Gamma \left[a+(1-j)/2\right]}$

이를 통해 우리는 다음과 같은 재귀적 관계를 갖게 된다.

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2}})=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma [a+(1-p)/2].}$

그러므로

• ${\displaystyle \감마_{1}(a)=\감마(a)}$
• ${\displaystyle \감마 _{2}(a)=\pi ^{1/2}\감마(a)\감마(a-1/2)}$
• ${\displaystyle \감마 _{3}(a)=\pi ^{3/2}\감마(a)\감마(a-1/2)\감마(a-1)}$

등등.

이 값은 다음과 같은 식을 사용하여 p의 비정수 값까지 확장될 수 있다.

${\displaystyle \Gamma _{p}=\pi ^{p(p-1)/4}{\frac {1}{1}{1}{2}}:00}{G(a+{\frac{1-p}{2}})}{G(a+1-{p}{p}{p2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 G는 감마 함수의 무기한 생산물인 반스 G 기능이다.

이 기능은 위시아트, 마할라노비스 등의 초기 작품을 인용한 앤더슨에^[2] 의해 도출되었다.

파생상품

다변량 digamma 함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}}{p}}=\sum _{i=1}^{p}\psi(a+(1-i)/2)),}$

그리고 일반적 다감마는 다음과 같이 기능한다.

${\displaystyle \psi _{p}^{n}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a){p}{n}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{n(a+(1-i)/2)/2.}$

계산 단계

• 이후

${\displaystyle \Gamma_{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\pod _{j=1}^{p}\Gamma \left(a+{\frac{1-j}{2}}\오른쪽),}$

그 뒤를 잇다

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\sum _{i=1}^{p}{\frac {\partial \Gamma \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)}{\partial a}}\prod _{j=1,j\neq i}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right).}$

• digamma 함수의 정의에 의해 ψ,

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma(a+(1-i)/2)}{\psi(a+(i-1)/2)\감마(a+(i-1)/2)}$

그 뒤를 잇다

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}&=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+(1-j)/2)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2)\\[4pt]&=\Gamma _{p}(a)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2).\end{정렬}}}$

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참조

• 1. James, A. (1964). "Distributions of Matrix Variates and Latent Roots Derived from Normal Samples". Annals of Mathematical Statistics. 35 (2): 475–501. doi:10.1214/aoms/1177703550. MR 0181057. Zbl 0121.36605.
• 2. A. K. 굽타와 D. K. 나가르 1999."매트릭스는 분포를 변화시킨다."채프먼과 홀이요