반스 G-기능

수학에서 반스 G-함수 G(z)는 복합수까지 초요소를 확장한 함수다.감마함수, K-함수, 글라이셔-킨켈린 상수와 관련이 있으며 수학자 어니스트 윌리엄 반스의 이름을 따서 명명되었다.^[1]이중 감마함수 단위로 쓸 수 있다.

공식적으로, 반스 G 기능은 다음과 같은 Weierstrass 제품 형태로 정의된다.

${\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \좌(-{\frac {z+z^{2}(-1+\gamma )}{2}}\우)\,\prod _{k=1}^{k=1}{{\frac}}}}{k\우)^{k}\exp \left\frac {z^{2}}-{2k}-z\오른쪽)\오른쪽\}}$

여기서 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \,\gamma }$은(는) 오일러-마스케로니 상수, exp(x) = e는^x 지수함수, π은 곱셈(자본 파이 표기법)을 나타낸다.

전체 함수로서 G는 순서 2이며 무한형이다.이것은 아래에 제시된 점근 팽창으로부터 추론할 수 있다.

함수 방정식 및 정수 인수

Barnes G-함수는 함수 방정식을 만족한다.

${\displaystyle G(z+1)=\감마(z)\,G(z)}$

정규화 G(1) = 1. Barnes G-함수의 함수 방정식과 오일러 감마함수의 함수 방정식의 유사성에 유의하십시오.

$\displaystyle \감마(z+1)=z\,\감마(z)}$

함수 방정식은 G가 정수 인수에 대해 다음과 같은 값을 취한다는 것을 의미한다.

${\displaystyle G(n)={\begin{case}0&{\text{if }n=0,-1,-2,\dots \\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text}{{}n=1,2,\cHB \end{case}}$

(특히 ${\displaystyle G}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathrm{G}}$( 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \,G(0)=0,G(1)=1$ 따라서

${\displaystyle G(n)={\frac {(\감마(n))^{n-1}{K(n)}}}$

여기서 ${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \,\Gamma (x)}$은 감마 함수를 나타내고$$ K는 K-함수를 나타낸다.함수 방정식은 볼록함수 조건 ${\displaystyle \frac{{d\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ x ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ G${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle 0}$ 0 ${\dstyle \,{\frac$ {d$^{3}{dx^{3}}}G(x)\geq$ 0$}$이 추가되면 G 함수를 고유하게 정의한다.^[2]

1/2 값

${\displaystyle G\left({\tfrac {1}{2}}\\오른쪽)=2^{\frac {1}{1}{1}{1}{24}e^{\frac}{3}}}\frac '(-1)}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}}}}}}.}$

반사식 1.0

감마함수에 대한 함수 방정식과 함께 G함수의 차이 방정식을 사용하여 반즈 G함수에 대한 다음과 같은 반사 공식을 얻을 수 있다(원래 헤르만 킨켈린이 증명).

${\displaystyle \log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int_{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.}$

우측에 있는 통나무 탄젠트 적분은 아래와 같이 (순서 2의) Closen 함수로 평가할 수 있다.

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\pi z}{\pi }\right)=2\pi \recl}\opername {Cl}$

The proof of this result hinges on the following evaluation of the cotangent integral: introducing the notation ${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)}$ for the logcotangent integral, and using the fact that ${\displaystyle \,(d/dx)\log(\sin \pi x)=\pi \cot \pi x}$, an integrat부품에 의한 이온.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Lc} (z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}{\Bigg [}\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{aligned}}}$

적분 ${\displaystyle y}$= 2 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ d ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle y}$/${\displaystyle }$( 2 ${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle \,y=2\pi x\Rightarrow dx=dy/(2\pi )}$을(를) 수행하면 다음과 같은 결과를$$ 얻을 수 있다.

${\displaystyle z\log(2\sin \pi z)-{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin {\pi}{2}}\오른쪽)\,dy.}$

클라우센 함수는 2차 순서에 따라 본질적으로 표현된다.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{0}}\log {\Bigg }2\sin {\frac {x}{2}}:\Bigg }\,dx.}$

그러나, 구간 < < 2π < 2 π <\$displaystyle \0$<\$theta <2$\pi 내에서, 적분 내 '반신' 함수는 엄격히 양수이고, 엄격히 0이 아니기 때문에, 통합 내의 절대값 부호는 생략할 수 있다.이 정의를 로그 탱젠트 적분에 대해 위의 결과와 비교하면 다음과 같은 관계가 명확하게 유지된다.

${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z).}$

따라서 용어를 약간 재정렬하고 나면 다음과 같은 증거가 완성된다.

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\pi z}}}}\right)=2\operatorname {Cl} _{2}(2-pi z)\,\box }$

관계 ${\displaystyle G}$( ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \gamma }$( ${\displaystyle z}$) G${\displaystyle }$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}$을 사용하여$$ 반사 공식을 ${\displaystyle 2}$formula {\$displaystyle \,2\pi }$의 인수로 나누면 다음과 같은 형식이 된다$$.

${\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

참고: 아래 Adamchik에서 동일한 형태의 반사 공식을 참조하되, 다른 증거를 참조하십시오.

반사식 2.0

이전 반사 공식에서 z를 (1/2) - z"로 대체하면 일부 단순화 후 다음과 같은 공식(버누이 다항식 삽입)을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \log \left({\frac {G\left({1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{1}{2}}-z\right)}}}}{\frac {1}오른쪽)=}$

${\displaystyle \log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi +{\frac {1}{1}:{2}}\log 2+\pi \int_{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx}$

테일러 시리즈 확장

테일러의 정리, 그리고 반스 함수의 로그파생물을 고려하면 다음과 같은 직렬 확장을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.}$

< < ${\displaystyle \,0<$1}에$유효$하다. 여기서here (${\displaystyle x}$ )$displaystyle \,\zeta (x)}$는 Riemann Zeta 함수:

${\displaystyle \zeta(s)=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

테일러 팽창의 양면을 지수화하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{정렬}}}$

이것을 반스 함수의 Weierstrass 제품 형태와 비교하면 다음과 같은 관계가 된다.

${\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\inflit }{k:1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{k=1}{{k=1}{prod}\1+{frac}{k}}}{k}}{k}}}}}}rig}}}}}rig}}}}}}}}}rig}}}}}}}}}}}}}}}rig}}}}}}}}}^{k}\exp \left\frac {z^{2}}-{2k}-z\오른쪽)\오른쪽\}}$

곱셈 공식

감마함수와 마찬가지로 G함수에도 다음과 같은 곱셈 공식이 있다.^[3]

${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)}$

여기서 $K{\displaystyle (n}$) ${\displaystyle K(n)}$은(는) 다음이 제공하는 상수:

${\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

여기서${\$는 리만 제타 함수의 파생형이고, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$는 글라이셔-킨켈린 상수다.

절대값

It holds true that ${\displaystyle G({\overline {z}})={\overline {G(z)}}}$, thus ${\displaystyle G(z) ^{2}=G(z)G({\overline {z}})}$. From this relation and by the above presented Weierstrass product form one can show that

${\displaystyle G(x+iy) = G(x) \exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}{\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{(x+k)^{2}}}\오른쪽)^{k+1}\exp \left \frac{y^{2}}:{k}\오른쪽)}}}.}$

This relation is valid for arbitrary ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0,-1,-2,\dots \}}$, and ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$. If ${\displaystyle x=0}$, then the below formula is valid instead:

${\displaystyle G(iy) =y\exp \left(y^{2}){\frac {1+\gamma }{2}}\오른쪽){\sqrt {\prod _{k=1}^{k=1}{y^{2}}:}\오른쪽)^{k+1}\exp \left \frac{y^{2}}:{k}\오른쪽)}}}$

임의의 실제 y를 위해.

점근팽창

G(z + 1)의 로그는 반스가 확립한 바와 같이 다음과 같은 점근확장을 가지고 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\log G(z+1)={}&{\frac {z^{2}}{2}}\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z\\&{}+\left({\frac {1}{12}}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{정렬}}}$

여기 Bk{\displaystyle B_{km그리고 4.9초 만}}이 베르누이 번호와 A{A\displaystyle}은 Glaisher–Kinkelin 상수입니다.(참고로 다소 혼란시키는 듯이의 시점에서 반스[4]은 베르누이 수 B2k{\displaystyle B_{2k}}가 될 서면으로(− 1)k+1Bk{\displaystyle())^{k+1}B_{k}}.,그러나 이 관습은 더 이상 현행이 아니다.)이 확장은 ${\displaystyle z}$ $displaystyle z}$이(가) 큰$$ 음의 실제 축을 포함하지 않는 섹터의$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$에 유효하다.

Loggamma 적분과의 관계

파라메트릭 로그감마는 Barnes G-함수의 관점에서 평가할 수 있다(Ref: 이 결과는 아래의 Adamchik에서 발견되지만 증거 없이 명시됨).

${\displaystyle \int_{0}^{z}\log \감마(x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma(z)-\log G(1+z)}$

증거는 다소 간접적이며, 먼저 감마 함수와 반스 G 함수의 로그 차이를 고려한다.

${\displaystyle z\log \감마(z)-\log G(1+z)}$

어디에

${\displaystyle {\frac {1}{\gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{k=1}^{1}\prod _{k=1}\prod(1+{z}{k}\frac}\오른쪽)e^{-z/k}e^{-}}}}}}}}$

그리고 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \,\gamma}$은(는) 오일러-마스케로니 상수다.

반스 함수와 감마 함수의 Weierstrass 제품 형태의 로그는 다음을 제공한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)\\[5pt]={}&{-z}\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}{\Bigg \}}\right]\\[5pt]&{}-\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\right]\end{aligned}}}$

용어의 약간 단순화 및 재순서는 시리즈 확장을 제공한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\\[5pt]={}&{-z}\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)\end{aligned}}}$

마지막으로 감마함수의 Weierstrass 제품 형태의 로그를 취하여 [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathrm{z}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \,[0,\,z]}$ 간격에 걸쳐 통합하여 다음을$$ 얻으십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx=-\int _{0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,dx\\[5pt]={}&{-(z\log z-z)}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\end{aligned}}}$

두 가지 평가를 동일시하면 다음과 같은 증거가 완성된다.

${\displaystyle \int_{0}^{z}\log \감마(x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma(z)-\log G(1+z)}$

${\displaystyle 그리고}$ G${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$+ z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \gamma }$( ${\displaystyle z}$) G${\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)},$

${\displaystyle \int_{0}^{z}\log \Gamma(x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -(1-z)\logGamma(z)\log G(z)\,}$

참조

• Askey, R.A.; Roy, R. (2010), "Barnes G-function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

• Adamchik, Viktor S. (2003). "Contributions to the Theory of the Barnes function". arXiv:math/0308086.