역감마 함수

수학에서, 역 감마 함수 $\Gamma ^{-1}(x)$ - $\Gamma ^{-1}(x)$ ( $\Gamma ^{-1}(x)$ \ $displaystyle \Gamma$ ^{- $1}(x)$ 는 $\Gamma ^{-1}(x)$ 감마 함수의 역 함수입니다.즉, Δ(y) = x{{textstyle \Gamma(y)=x}를 만족시키는 함수이다. 예를 들어, Δ-1(24) = 5{{displaystyle \Gamma ^{-1}(24)=5}[1].일반적으로, 역 감마 함수는 구간 (Δ (α) = 0.8856031..., Δ ) \displaystyle \left(\Gamma (\alpha) = 0.8856031..., \infty \right)의 주요 분기를 나타낸다. $\alpha =1.4616321...$ $디스플레이 스타일 \alpha = 1.4616321...$ 는 $\alpha =1.4616321...$ π $=$ ${displaystyle \psi(\alpha$ ) = $0$ }( $\psi (\alpha )=0$ ^[2]여기서 $\psi (x)$ \ $psi(x$ 는 디감마 함수)인 고유 양수입니다.

정의.

역감마 함수는 다음과 같은 적분^[3] 표현 $\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)$ - 1( $=$ + $\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)$ x + $\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)$ Δ - $\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)$ ( $\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)$ ( $\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)$ x - $\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)$ - t $\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)$ - $\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)$ ) $\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)$ ( $\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)$ $\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)$ \ \ $displaystyle \Gamma$ ^{- $1}(x$ )= $a+bx+\int$ _ ${-infty}^{\gamma(\alpha)}\t\frac{1}(t-t-t}\$ right^2){tac}{tac}{tac}{ $t^2}{$ t^- $t}}}}{$ tac}

여기서 $\int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty$ $b\geqq 0$ - $\int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty$ $b\geqq 0$ ( $\int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty$ ( $\int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty$ $\int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty$ 2 + $\int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty$ ) $\int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty$ ( $\int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty$ ) $\int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty$ < $∞$ \ $displaystyle$ $\int$ _ ${-\infty }^{\Gamma$ \left $(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1$ $b\geqq 0$ $mu(t)d$ <\ $infty$ $\int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty$ 와 $\mu (t)$ b는 $b가$ 실수이며, 그리고 $\mu (t)$ mua는 (maus $)이다.$

근사

역 감마 함수의 분기를 계산하려면 먼저 α \ $alpha$ 의 $\Gamma (x)$ Δ ( $\Gamma (x)$ \ $Gamma (x)$ 의 $\Gamma(x)$ 테일러 급수를 계산할 수 있습니다.그런 다음 시리즈를 자르고 뒤집을 수 있으며, 이는 연속적으로 $\Gamma ^{-1}(x)$ - $\Gamma ^{-1}(x)$ ( $\Gamma ^{-1}(x)$ ) $\Gamma ^{-1}(x)$ \ $displaystyle \Gamma$ ^{- $1}(x$ 에 더 나은 근사치를 산출합니다. 예를 들어, 우리는 2차 ^[4]근사치를 가지고 있습니다.

$표시 스타일 \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)}{\Psi \left(1,\alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}$

역 감마 함수는 또한 다음과 같은 점근^[5] 공식을 갖습니다.

$\Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi}}}\right)\right)}}$

$W_{0}(x)$ 서 $W_{0}(x)$ 0 ( $W_{0}(x)$ ) {\ $displaystyle W_{0$ }(x $)}$ 는 $W_{0}(x)$ 램버트 W 함수입니다.이 공식은 스털링 근사를 뒤집어서 찾을 수 있으므로 점근 급수로도 확장할 수 있습니다.

시리즈 확장

역감마 함수의 직렬 확장을 얻으려면 먼저 음의 정수에서 극 근처의 ${\frac {1}{\Gamma (x)}}$ 함수 1 $)$ {{\ $displaystyle {1}{\Gamma(x)}}$ 의 ${\frac {1}{\Gamma (x)}}$ 직렬 확장을 계산한 다음 직렬을 반전시킬 수 있습니다.

z $=$ $z={\frac {1}{x}}$ x {{ $displaystyle$ z= $displayfrac {1}{x}}$ 을 $z={\frac {1}{x}}$ (를) 설정하면 역 감마 함수( $≥$ 0 n $\geq$ 0 $n\geq 0$ 의 n번째 분기 $\Gamma _{n}^{-1}(z)$ n - $\Gamma _{n}^{-1}(z)$ ( $)$ {\ $displaystyle \Gamma_{n}^{-1}(z)}$ 에 $\Gamma _{n}^{-1}(z)$ 대해 항복합니다.

$표시 스타일 \Gamma_{n}^{-1}(z)=-n+{\frac({left(-1\right)^{n}}{n!z}}+{\frac{\psi^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^{2}}+{\frac{\left\right}^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)}{6\left(n!z\right)^{3}}}+O\left({\frac{1}{z^{4}}}\right)}}}}}$

여기서 $\psi ^{(n)}(x)$ ( $\psi ^{(n)}(x)$ ) ( $\psi ^{(n)}(x)$ ) \ $psi ^{(n)}(x$ 는 다항식 함수입니다.

레퍼런스

^ Borwein, Jonathan M.; Corless, Robert M. (2017). "Gamma and Factorial in the Monthly". The American Mathematical Monthly 125.5. arXiv:1703.05349.
^ Uchiyama, Mitsuru (April 2012). "The principal inverse of the gamma function". Proceedings of the American Mathematical Society. 140 (4): 1347. doi:10.1090/S0002-9939-2011-11023-2. JSTOR 41505586. S2CID 85549521. Retrieved 20 March 2023.
^ Pedersen, Henrik (9 September 2013). ""Inverses of gamma functions"". Constructive Approximation. 7 (2): 251–267. arXiv:1309.2167. doi:10.1007/s00365-014-9239-1. S2CID 253898042.
^ Corless, Robert M.; Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David (2017). "Properties and Computation of the Functional Inverse of Gamma". SYNASC: 65. doi:10.1109/SYNASC.2017.00020. ISBN 978-1-5386-2626-9. S2CID 53287687.
^ Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David (2018). "Properties and Computation of the inverse of the Gamma Function" (MS). p. 28.
^ Couto, Ana Carolina Camargos; Jeffrey, David; Corless, Robert (November 2020). "The Inverse Gamma Function and its Numerical Evaluation". Maple Conference Proceedings. Section 8.

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[1] Borwein, Jonathan M.; Corless, Robert M. (2017). "Gamma and Factorial in the Monthly". The American Mathematical Monthly 125.5. arXiv:1703.05349.

[2] Uchiyama, Mitsuru (April 2012). "The principal inverse of the gamma function". Proceedings of the American Mathematical Society. 140 (4): 1347. doi:10.1090/S0002-9939-2011-11023-2. JSTOR 41505586. S2CID 85549521. Retrieved 20 March 2023.

[3] Pedersen, Henrik (9 September 2013). ""Inverses of gamma functions"". Constructive Approximation. 7 (2): 251–267. arXiv:1309.2167. doi:10.1007/s00365-014-9239-1. S2CID 253898042.

[4] Corless, Robert M.; Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David (2017). "Properties and Computation of the Functional Inverse of Gamma". SYNASC: 65. doi:10.1109/SYNASC.2017.00020. ISBN 978-1-5386-2626-9. S2CID 53287687.

[5] Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David (2018). "Properties and Computation of the inverse of the Gamma Function" (MS). p. 28.

[6] Couto, Ana Carolina Camargos; Jeffrey, David; Corless, Robert (November 2020). "The Inverse Gamma Function and its Numerical Evaluation". Maple Conference Proceedings. Section 8.

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