지수합

수학에서 지수 합은 유한 푸리에 시리즈(즉 삼각 다항식) 또는 지수 함수를 사용하여 형성된 기타 유한 합일 수 있으며, 보통 함수를 이용하여 표현된다.

$[\displaystyle e(x)=\exp(2\pi ix).\,}$

따라서, 전형적인 지수 합은 그 형태를 취할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n}e(x_{n}),}$

유한한 순서의 실수에 대해 합한 x_n.

공식화

실제 계수 a를_n 허용하면 폼을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n}a_{n}e(x_{n}})}$

그것은 복잡한 숫자인 지수를 허용하는 것과 같다.두 가지 형태는 확실히 응용에 유용하다.20세기 분석 숫자 이론의 상당 부분은 이 합계에 대한 좋은 추정치를 찾는 데 바쳐졌는데, 이 경향은 디오판틴 근사치에 있는 헤르만 베일의 기초 작업에 의해 시작되었다.

추정치

주제의 주된 추진력은 총액이다.

${\displaystyle S=\sum _{n}e(x_{n})}$

대수 N으로 대수롭지 않게 추정한다.즉, 절대값

$[\displaystyle S \leq N\,}$

각 합계는 절대값 1을 가지기 때문에 삼각형 불평등에 의해.지원서에서는 더 잘하고 싶다.그것은 어떤 해제가 발생한다는 것을 증명하는 것을 포함한다. 즉, 단위 서클에 있는 복잡한 숫자의 합이 같은 주장을 가진 숫자의 합이 아니라는 것을 증명하는 것을 포함한다.합리적인 것은 형식에 대한 추정이다.

${\displaystyle S =O({\sqrt{N}})\,}$

이는 큰 O 표기법에서 암시 상수까지 합이 2차원의 무작위 보행과 유사함을 의미한다.

그러한 추정은 이상적인 것으로 간주될 수 있다; 그것은 많은 주요 문제들 및 추정치에서 달성할 수 없다.

${\displaystyle S =o(N)\,}$

o(N) 함수가 사소한 추정치에 대한 약간의 절약만을 나타내는 경우 사용해야 한다.예를 들어 일반적인 '소규모 절약'은 로그(N)의 한 요인이 될 수 있다.그러한 사소한 시금치 결과라도 올바른 방향으로의 시금치라도 임의성의 정도를 나타내기 위해 초기 시퀀스_n x의 구조까지 다시 참조되어야 한다.관련된 기술들은 기발하고 미묘하다.

Weyl이 조사한 'Weyl differencing'의 변형으로서, 지수 합계 생성과 관련이 있다.

${\displaystyle G(\tau )=\sum _{n}e^{iaf(x)+ia\tau n}}$

이전에 Weyl이 직접 연구한 바, 그는 이 합계를 $G{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$ $){\displaystyle$G ($0)}$ 값으로 표현하는 방법을 개발했는데$,$ 여기서 'G'는 부품별 합계를 통해 얻은 다이슨 방정식과 유사한 선형 미분 방정식을 통해 정의될 수 있다.

역사

합계가 형식인 경우

${\displaystyle S(x)=e^{iaf(x)}}$

ƒ이 매끄러운 함수인 경우, 우리는 오일러-매클라우린 공식을 사용하여 시리즈를 적분으로 변환할 수 있고, S(x)의 파생상품을 포함하는 일부 보정을 사용할 수 있다. 그러면 a의 큰 값의 경우 적분을 계산하고 합을 대략적으로 평가할 수 있다.주제의 주요 발전은 정지 단계의 원리와 관련된 반 데르 코퍼트의 방법(c. 1920), 후기 비노그라도프 방법(c.1930)이었다.

많은 연구자의 연구인 큰 체 방법(c.1960)은 비교적 투명한 일반 원칙이지만 일반적인 적용방법은 없다.

지수 합계 유형

많은 유형의 합계가 특정한 문제를 형성하는데 사용된다; 응용 프로그램들은 종종 기발한 조작에 의해 알려진 유형의 감소를 요구한다.부분 합계는 계수 a를_n 제거하는 데 사용될 수 있다.

기본 구분은 전체 지수 합계와 일부 정수 N(또는 더 일반적인 유한 고리)을 모듈하는 전체 지수 합계의 합이며, 합계 범위가 일부 불평등에 의해 제한되는 불완전한 지수 합계의 합이다.완전한 지수 합계의 예로는 가우스 합과 클루스터만 합이 있다. 이것들은 각각 감마 함수의 유한 필드 또는 유한 링 유사점과 베셀 함수의 어떤 종류에 있으며, 많은 '구조적' 특성을 가지고 있다.불완전한 합계의 예는 2차 가우스 합계의 부분 합이다(사실, 가우스가 조사한 경우).전체 잔류물 등급보다 짧은 범위에 대한 합계에 대한 좋은 추정치가 있다. 왜냐하면 기하학적 관점에서 부분 합계는 코르누 나선형에 가깝기 때문이다. 이는 대규모 취소를 의미하기 때문이다.

그 이론에서 보조적인 유형의 합계가 발생한다. 예를 들어, 캐릭터 합계는 해롤드 데이븐포트의 논문으로 거슬러 올라간다.Weil 추측에는 다항식 조건(즉, 유한 분야에 걸친 대수적 다양성과 함께)에 의해 제한된 영역으로 합계를 완성하는 데 주요한 응용이 있었다.

웨일 합스

지수 합계의 가장 일반적인 유형 중 하나는 Weyl sum이며, 지수 2 fif(n)는 여기서 f는 상당히 일반적인 실질가치의 평활함수다.이것들은 값들의 분포에 관련된 합이다.

ƒ(n)모듈로1,

위일의 등분포 기준에 따르면기본적인 발전은 그러한 총량에 대한 Weyl의 불평등, 다항식 f에 대한 것이었다.

추정치를 형성하는 지수 쌍의 일반적인 이론이 있다.중요한 경우는 리만 제타 함수와 관련하여 f가 로그인 경우다.등분포 정리도 참조한다.^[1]

예제: 2차 가우스 합

$p$를 홀수 prime으로 하고 ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle {e\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$i / ${\displaystyle p^{}}$ ${\$i/$p$ 그러면 다음과 같이 2차 가우스 합이 주어진다.

${\displaystyle \sum \{n=0}^{p-1}\xi ^{n^{2}}={\sqrt}{\p=1\mod 4\i},&p=3\mod 4\end{case}}}}}}$

네모난 뿌리가 양성으로 여겨지는 곳

이는 무작위 보행의 규모와 일치하기 때문에 총액 구조에 대한 사전 지식이 없어도 기대할 수 있는 이상적인 취소 수준이다.

참고 항목

• 화의 보조정리

참조

• Montgomery, Hugh L. (1994). Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 84. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.

추가 읽기

• Korobov, N.M. (1992). Exponential sums and their applications. Mathematics and Its Applications. Soviet Series. Vol. 80. Translated from the Russian by Yu. N. Shakhov. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1647-9. Zbl 0754.11022.

외부 링크

• Weyl sums on Mathworld에 대한 간략한 소개