곱셈 정리

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수학에서 곱셈 정리는 감마함수와 관련된 많은 특수함수에 의해 복종되는 특정한 유형의 정체성이다. 감마 함수의 명시적인 경우, ID는 값의 산물이며, 따라서 명칭이다. 다양한 관계는 모두 동일한 기본 원칙에서 비롯된다. 즉, 하나의 특별한 기능에 대한 관계는 다른 기능들에 대한 그것으로부터 파생될 수 있으며, 단순히 다른 기능들에 있는 동일한 정체성의 표시일 뿐이다.

유한 특성

곱셈 정리는 두 가지 일반적인 형태를 취한다. 첫 번째 경우에는 한정된 수의 항이 추가되거나 곱되어 관계를 부여한다. 두 번째 경우에는 무한히 많은 항이 추가되거나 곱된다. 유한 형태는 일반적으로 감마 및 관련 기능에 대해서만 발생하며, 이 경우 한정된 장에 걸친 p-adic 관계에서 정체성이 따른다. 예를 들어 감마함수에 대한 곱셈 정리는 차우라-셀베르크 공식에서 따르며, 복합 곱셈 이론에서 따온 것이다. 무한의 합은 훨씬 더 흔하며, 초기하학 계열의 특성 제로 관계에서 따온 것이다.

다음은 유한한 특성에 대한 곱셈 정리의 다양한 외관을 표로 나타낸 것이다. 특성 제로 관계는 더 아래로 주어진다. 모든 경우에 n과 k는 음이 아닌 정수다. n = 2의 특수한 경우, 정리를 일반적으로 중복식이라고 한다.

감마함수-레전드르 공식

감마함수에 대한 중복 공식과 곱셈 정리는 원형적인 예다. 감마함수의 중복 공식은

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{1}2}}\오른쪽)=2^{1-2z}\;{\sqrt{\pi }\\Gamma(2z).}$

그것은 또한 Adrien-Marie Legendre를 기리기 위해 Legendre 복제 공식^[1] 또는 Legendre 관계라고도 불린다. 곱셈 정리는

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}\right)\;\감마 \왼쪽(z+{\frac {2}{k}\오른쪽)\cdots \감마 \왼쪽(z+{\frac {k-1}{k}\오른쪽)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\k^{1-2kz}}}}};감마(kz)}}$

정수 k ≥ 1을 위해, 그리고 때때로 칼 프리드리히 가우스의 경의를 표하여 가우스의 곱셈 공식이라고 불린다. 감마함수에 대한 곱셈 정리는 챠우라-셀베르크 공식의 사소한 디리클레 성격에 대해서는 특별한 경우라고 이해할 수 있다.

다감마 함수, 고조파 수

다감마함수는 감마함수의 로그파생물이므로 곱셈정리는 다음과 같은 곱셈대신 덧셈이 된다.

${\displaystyle k^{m}\m-1}\cHB ^{n-1}(kz)=\sum _{n=0}^{n-1}\cHB ^{(m-1)\left(z+{\frac{n}}}\right)}$

> ${\displaystyle m>1}$및 $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m=1$}의 경우$$digamma 함수가 있다.

${\displaystyle k\left[\displaystyle k\\log(k)-\right]=\sum _{n=0}^{k-1}\property \left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

다감마 정체성은 조화 숫자에 대한 곱셈 정리를 얻기 위해 사용될 수 있다.

후르비츠 제타 함수

후르비츠 제타 함수에 대해서는 일부다감마 함수를 비정수 명령에 일반화하여 매우 유사한 곱셈 정리를 준수한다.

${\displaystyle k^{s}\zeta(s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s, {\frac {n}{k}\오른쪽),}$

여기서 $\zeta {\displaystyle (s}$) ${\displaystyle \zeta(s)}$은(는) Riemann 제타 함수다. 이것은 의 특별한 경우다.

${\displaystyle k^{s}\,\zeta(s,kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\제타 \left(s,z+{\frac{n}{k}\오른쪽)}$

그리고

${\displaystyle \zeta(s,kz)=\sum _{n=0}^{\n-1 \선택 n}(1-k)^{n^{n}\n,z(s+n,z)}$

비주요 문자에 대한 곱셈 공식은 디리클레 L-기능 형식으로 제공할 수 있다.

주기적 제타함수

주기적인 제타 함수는^[2] 때때로 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle F(s;q)=\sum _{m=1}^{\inflit }{e^{2\pi imq}{m^}}}}{m^}}=\operatorname {Li} _{s}\좌(e^{2\pi iq}\오른쪽)}}}$

여기서 Li_s(z)는 다항식이다. 그것은 복제 공식을 따른다.

${\displaystyle 2^{-s}F(s;q)=F\왼쪽,{\frac {q}{2}}\오른쪽)+F\왼쪽,{\frac {q+1}{2}}\오른쪽).}$

이와 같이 고유값 2를^−s 가진 베르누이 운영자의 고유벡터다. 곱셈 정리는

${\displaystyle k^{-s}F(s;kq)=\sum _{n=0}^{k-1}F\left(s,q+{\frac{n}{k}\오른쪽).}$

주기적인 제타 함수는 후르비츠 제타 함수의 반사 공식에서 발생하는데, 이것이 준수하는 관계와 후르비츠 제타 관계가 s → -s의 교환에 의해 다른 이유다.

베르누이 다항식은 주기적인 제타함수의 제한적인 사례로서 얻을 수 있으며, s를 정수로 가져갈 수 있으며, 따라서 그곳의 곱셈 정리는 위에서 도출할 수 있다. 마찬가지로 q = log z를 대체하면 다로그에 대한 곱셈 정리가 이루어진다.

폴리로가리듬

복제 수식이 형식을 취함

${\displaystyle 2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2}=\operatorname {Li} _{s}+\operatorname {Li} _{s}-z)}$

일반 곱셈 공식은 Gauss sum 또는 이산 푸리에 변환 형식이다.

${\displaystyle k^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{k})=\sum _{n=0}^{k-1}\operatorname {Li} _{s}\왼쪽(ze^{i2\pi n/k}\오른쪽).}$

이러한 정체성은 주기적인 제타함수에 따라 z = log q를 취한다.

쿠메르 함수

쿠메르 기능에 대한 중복 공식은

${\displaystyle 2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})=\Lambda _{n}+\Lambda _{n}(-z)}$

다변량에서는 닮았지만, I에 의해 뒤틀렸다.

베르누이 다항식

베르누이 다항식의 경우, 곱셈의 이론은 1851년 조셉 루트비히 라베에 의해 주어졌다.

${\displaystyle k^{1-m}B_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{n-1}B_{m}\좌측(x+{\frac{n}{k}}\오른쪽)}$

오일러 다항식의 경우

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{n-1(-1)^{n_{m}\좌측(x+{\frac{n}}{k}\오른쪽)\quad{\mbox{{}}}}}}}}}}}}}.$

그리고

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)={\frac {-2}{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}B_{m+1}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=2,4,\dots .}$

베르누이 다항식은 후르비츠 제타 함수의 특수한 경우로서 획득될 수 있으며, 따라서 거기서부터 정체성이 따르게 된다.

베르누이 지도

베르누이 지도는 소멸성 역동 시스템의 어떤 단순한 모델로, 무한대의 코인 플립(캔토어 세트) 줄에 대한 시프트 오퍼레이터의 효과를 기술하고 있다. 베르누이 지도는 밀접하게 연관되어 있는 베이커 지도의 일방적 버전이다. 베르누이 지도는 k-adic 버전으로 일반화되는데, 이것은 k 기호의 무한 끈에 작용한다: 이것이 바로 베르누이 계책이다. 베르누이 방식에서 시프트 운영자에 해당하는$$ 이동 연산자 $L{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 다음과 같다.

${\displaystyle [{\mathcal{L}_{k}f](x)={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}f\left({\frac {x+n}{k}}}\right)}}$

이 연산자의 고유 벡터는 베르누이 다항식(Bernouli polynomials)에 의해 주어지는 것은 놀랄 일이 아닐 것이다. 즉, 사람은 그것을 가지고 있다.

${\displaystyle {\mathcal{L}_{k}B_{m}={\frac {1}{k^{m}B_{m}}}}}}}}}$

이것을 으로 표시하는 k- m< 1 ${\displaystyle$ k$^{-m}<1$}이$($가) 있다는 사실이다: 비분해 측정-보존 동력계통의 경우, 전송사업자의 고유값이 단위원 위에 놓여 있다.

어떤 사람은 어떤 완전한 곱셈함수로부터 곱셈정리에 순응하는 함수를 구성할 수 있다. $f{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle f(n)}$을(를) 완전히 승법화하십시오$$. 즉, 정수 m에 대해$$ $f{\displaystyle }$(${\displaystyle m}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle m}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle n)}$ ${\displaystyle f(m)=f(m)f(n)}$을(를)로 정의하십시오.

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\nf(n)\exp(2\pi inx)}$

합이 수렴되어 g(x)가 존재한다고 가정하면, 그 중 하나는 곱셈 정리에 복종한다. 즉, 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac{1}{k}\sum _{n=0}^{n-1}g\left_frac {x+n}{k}\rig}=f(k)g(x)}$

즉, g(x)는 베르누이 전이 연산자의 고유함수로 고유값 f(k)를 가지고 있다. 베르누이 다항식의 곱셈정리는 그 다음에 $승법함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle s^{}}$ ${\$의 특별한 경우로서 따른다$.$ 디리클레 문자는 완전히 곱하기 때문에 이 형식의 추가 ID를 얻기 위해 쉽게 사용할 수 있다.

특성 영점

특성 0의 영역에 대한 곱셈 정리는 한정된 수의 항이 지나면 닫히지 않고 무한 계열을 표현해야 한다. 예를 들어, 베셀 $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle z}$ )$${\$displaystyle J_{\nu }(z)}$의 경우$:$

${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\frac {1}{n!}}}}\{\frac({1-\lambda ^{2}}z}{2}}\오른쪽)^{n}J_{\nu +n}(z),}$

여기서 $\lambda {\displaystyle }${\$displaystyle \lambda }$ 및$$ $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$은(는) 임의의 복잡한 숫자로 간주될 수 있다$$. 그러한 특징 영(0)의 정체성은 일반적으로 초기하학 계열에서 가능한 많은 정체성 중 하나에서 나타난다.

메모들

참조

• 밀턴 아브라모위츠와 아이린 A. 스테건, 에드. 공식, 그래프, 수학적 표를 포함한 수학 함수 핸드북, (1972) 도버, 뉴욕. (복제 이론은 장별로 개별적으로 나열됨)
• C. Truesdell, "특수 기능에 대한 추가 및 곱셈 이론에 대하여", 국립과학원 수학교육회(1950) 페이지 752–757.