p-adic 감마 함수

수학에서 p-adic 감마함수 Ⅱ는_p 감마함수와 유사한 p-adic 변수의 함수다.보야르스키(1980)는 드워크(1964)가 암묵적으로 같은 기능을 사용했다고 지적했지만, 처음에는 모리타(1975)가 명시적으로 정의했다.다이아몬드(1977)는 로그 Ⅱ의 p-adic 아날로그 G를_p 정의했다.Overholtzer(1952)는 이전에 감마함수의 다른 p-adic 아날로그에 대한 정의를 내렸으나, 그의 기능은 만족스러운 성질을 가지지 못하고 많이 사용되지 않는다.

정의.

p-adic 감마함수는 다음과 같은 p-adic 정수 x($Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 고유한 연속함수다.

${\displaystyle \Gamma _{p}(x)=(-1)^{x}\prod _{0<x,\p\,\nmid \,i}i}$

제품이 정수로 제한되는 경우 p로 분할되지 않는다.As the positive integers are dense with respect to the p-adic topology in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, ${\displaystyle \Gamma _{p}(x)}$ can be extended uniquely to the whole of ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. Here ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ is the ring of p-adic 정수$γ$ ${\displaystyle p_{}}$( Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Gamma _{p}(\$$mathb$ ${$$Z})$의 값이 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ p ${\$\{$p})$에서 변환불가능하다는$$ 정의에 따른 것이다$.$ 이는 이러한 값이 p로 분할할 수 없는 정수의 산물이며, 이 속성은 ${\displaystyle {}_{}}$ p {$display\$style로 계속 확장된 후에 유지되기 때문이다.$\mathb {Z} _{p$Thus ${\displaystyle \Gamma _{p}:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$. Here ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$ is the set of invertible p-adic integers.

p-adic 감마 함수의 기본 특성

고전적 감마함수는 ${\displaystyle 어떤\mathbb{}}$ x${\displaystyle }$equation $Z{\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle \setminus }$ ${\$ x$\in \mathb$ {$C} \setminus \mathb$ {$Z} _{\leq 0$에 대해서도$$ 함수 방정식 $x+1) \\Displaystystylema (x)}$을 $만족$한다.Morita 감마 함수와 관련된 아날로그:

${\displaystyle {\frac {\Gamma _{p}(x+1){\감마 _{p}(x)}={\begin{case}-x, }{\mbox{}}@mathb {Z} _{p}^{p}{p}\time }\-1,&#mbox{{{{p}}}.\end{case}}}$

오일러의 반사식 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle \mathrm{x}}$) ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$( 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$) ${\$ }{\$sin (\pi$ x$)}}}}}}}}}}}$은 p-adic 케이스에 다음과 같은 간단한 상호를 가지고$$ 있다.

${\displaystyle \감마 _{p}(x)\감마 _{p}(1-x)=(-1)^{x_{0},}$

여기서 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$ _${p$이(가) 0이 아닌$$ $경우{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{0}=p}$이(가)가 아닌 경우 x의 p-adic 확장에서 첫 번째 숫자다$$.

특수값

${\displaystyle \Gamma _{p}(0)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(1)=-1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(2)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(3)=-2,}$

그리고, 대체적으로

${\displaystyle \Gamma _{p}(n+1)={\frac {(-1)^{n+1}n!}{{[n/p]!p^{[n/p]}}}\cHB(n\geq 2).}$

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$ x$={\frac {1}{2}}:$ Morita 감마 함수는 다음과$$ 같은 범례 기호$({\displaystyle \frac{p}{}}$) ${\$ {$a}{p}}\오른쪽)$와 관련이 있다$.$

${\displaystyle \Gamma _{p}\왼쪽({\frac {1}{2}}\오른쪽)^{2}=-\왼쪽({\frac {-1}{p}}\오른쪽).}$

It can also be seen, that ${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\equiv 1{\pmod {p^{n}}},}$ hence ${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\to 1}$ as ${\displaystyle n\to \infty }$.^{[1]: 369}

다른 흥미로운 특별한 가치는 공동의 도구들에 의해 처음 증명된 Gross-Koblitz 공식에서 나왔고, 후에 더 많은 기본적인 방법들을 사용하여 증명되었다.^[2]예를 들면

${\displaystyle \Gamma _{5}\좌({\frac {1}{4}\우)^{2}=-2+{\sqrt{-1},}$

${\displaystyle \Gamma _{7}\왼쪽({\frac {1}{3}\오른쪽)^{3}={\frac {1-3{\sqrt{-3}}{2}},}$

where ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\in \mathbb {Z} _{5}}$ denotes the square root with first digit 3, and ${\displaystyle {\sqrt {-3}}\in \mathbb {Z} _{7}}$ denotes the square root with first digit 2. (Such specifications must always be done if we talk about roots.)

또 다른 예는 다음과 같다.

${\displaystyle \Gamma _{3}\왼쪽({\frac {1}{8}}\오른쪽)\감마 _{3}\왼쪽({\frac {3}{8}\오른쪽)=-(1+{\sqrt{-2}}),}$

여기서${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{2}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$$$$\mathb{Q} _{3}$의${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$의 제곱근이다.^[3]

p-adic Raabe 공식

고전 감마 함수의 Raabe-formula는 다음과 같이 말한다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (x+t)dt={\frac {1}{1}:{1}{1}:{1}:{2}}\log(2\pi )+x\log x-x.}$

Morita 감마 함수의 이와사와 로그에 대한 아날로그가 있다.^[4]

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}\log \Gamma _{p}(x+t)dt=(x-1)(\log \Gamma _{p})'(x)-x+\left\lceil {\frac {x}{p}}\right\rceil \quad (x\in \mathbb {Z} _{p}).}$

p-adic 한계 ${\displaystyle \underset{}{림}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ →${\displaystyle \underset{}{}\underset{}{\to }}$ ${\displaystyle x\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \rceil }$ { { {$$\$displaystyle \lim _{n\p}\lceil${\frac ${x_{n}}}}\frac{p$}}}\$right\$$rceil$ $}$ 이렇게$$ $x$ → ${\displaystyle x}$ → x → x${n}.$

말러 팽창

말러 팽창은 고전 분석에서 테일러 팽창과 마찬가지로 p-adic 함수에 중요하다.p-adic 감마 함수의 말러 팽창은 다음과 같다.^{[1]: 374}

${\displaystyle \Gamma _{p}(x+1)=\sum _{k=0}^{\infit }a_{k}{\binom {x}{k}},}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 k ${\$ 시퀀스는 다음 ID로 정의된다$$.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\inflit }^{k+1}a_{k}{\frac{x^{k}}{k!}}}={\frac {{1-x^{p}}{1-x}}\exp \left(x+{x^{p}}}{p}}}\오른쪽).}$

참고 항목

• 그로스-코블리츠 공식

참조

• Boyarsky, Maurizio (1980), "p-adic gamma functions and Dwork cohomology", Transactions of the American Mathematical Society, 257 (2): 359–369, doi:10.2307/1998301, ISSN 0002-9947, JSTOR 1998301, MR 0552263
• Diamond, Jack (1977), "The p-adic log gamma function and p-adic Euler constants", Transactions of the American Mathematical Society, 233: 321–337, doi:10.2307/1997840, ISSN 0002-9947, JSTOR 1997840, MR 0498503
• Diamond, Jack (1984), "p-adic gamma functions and their applications", in Chudnovsky, David V.; Chudnovsky, Gregory V.; Cohn, Henry; et al. (eds.), Number theory (New York, 1982), Lecture Notes in Math., vol. 1052, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 168–175, doi:10.1007/BFb0071542, ISBN 978-3-540-12909-7, MR 0750664
• Dwork, Bernard (1964), "On the zeta function of a hypersurface. II", Annals of Mathematics, Second Series, 80 (2): 227–299, doi:10.2307/1970392, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970392, MR 0188215
• Morita, Yasuo (1975), "A p-adic analogue of the Γ-function", Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics, 22 (2): 255–266, hdl:2261/6494, ISSN 0040-8980, MR 0424762
• Overholtzer, Gordon (1952), "Sum functions in elementary p-adic analysis", American Journal of Mathematics, 74 (2): 332–346, doi:10.2307/2371998, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371998, MR 0048493