홀더 정리

수학에서 뮐더의 정리에서는 감마함수가 계수가 이성함수인 대수적 미분 방정식을 만족시키지 못한다고 기술하고 있다.이 결과는 1887년 오토 헐더에 의해 처음 증명되었다; 그 후 몇 가지 대안적인 증거가 발견되었다.^[1]

정리도 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ -감마$$ 함수에 일반화된다.

정리명세서

$모든{\displaystyle }$ n${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle n\in \mathb {N} _{0}}$에 대해 0이 아닌 다항식 $P{\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ [${\displaystyle X}$; ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle Y_{}}$]$${\$displaystyle$P\$in \mathb {C} [X;$$Y_$${0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}.$

${\displaystyle \forall z\in \mathb {C} \smathsminus \mathb {Z} _{\leq 0}:\qquad P\left(z;\Gamma(z),\dots,{\Gamma^{{n)(z)=0,}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은 감마함수다.${\displaystyle \quad \blacksquare }$

${\displaystyle 예}$를 들어 $\mathb {C}$에서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ C${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P\$in[\displaystyle P\in]을 정의하십시오$[X;$$Y_{0},Y_{1},Y_{2}]$별$$ 날짜

${\displaystyle P~{\stackrel {\text{df}}{}}{=}}}~X^{2}Y_{2}+XY_{1}+(X^{2}-\nu ^{2})Y_{0}}$

그 다음 방정식

${\displaystyle P\left(z;f(z),f'(z)\f)=z^{2}f'(z)+z'+z'(z)+\좌(z^{2}-nu ^{2}-{2}-z)\equiv 0}$

대수적 미분 방정식이라고 하는데, 이 경우 $용액{\displaystyle }$f = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}${\$displaystyle f=J_{\nu }$과 ${\displaystyle {}_{}}$= Y ${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\$ }}$$—$$ 각각 제1종과 제2종의 베셀 함수들을 가지고 있다.따라서 $우리$는 J ${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\$과 $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\$은(역시 대수적으로 초월) 차등 대수학이라고 말한다$$.수학물리학의 익숙한 특수함수의 대부분은 차등대수학이다.차등대수함수의 모든 대수적 조합은 차등대수학이다.게다가, 차등 대수 함수의 모든 구성은 차등 대수학이다.ö데르의 정리에서는 감마함수 ${\displaystyle \Gamma }$이$($가) 미분수 대수학이 아니며 따라서 초월적으로 초월적이라고 간단히 기술하고 있다.^[2]

증명

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle n\in \mathb {N} _{0}$을(를) 그대로 두고$$ 0이 아닌 다항식 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$[${\displaystyle X}$; Y ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, Y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P\in \mathb {C} [X;$$Y_{0},Y_{1},\ldots,Y_{n}]}$이(가) 있으며$$,

${\displaystyle \forall z\in \mathb {C} \smatsminus \mathb {Z} _{\leq 0}\qquad P\left(z;\Gamma (z),\dots ,{\Gamma^{{n)(z)}\rig)=0.}$

As a non-zero polynomial in ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ can never give rise to the zero function on any non-empty open domain of ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (by the Fundamental Theorem of Algebra), we may suppose, without loss of generality, that ${\displaystyle P}$ contains a monomial term having a non-ze인디테터미네이트 $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle \dots ,Y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$Y_{n}.$

또한 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 사전 순서 0< < < n< . ${\displaystyle Y_{0}<Y_{1}<\cdots <Y_{n}<X.})}$와 관련하여 가능한 전체 정도가 가장 낮다고$$ 가정하십시오.

${\displaystyle \deg \left(-3X^{10})Y_{0}^{2}Y_{1}^{4}+iX^{2}Y_{2}\오른쪽)<\deg \left(2XY_{0}^{3}-Y_{1}^{4}\right)}$

${\displaystyle {첫\mathrm{}}_{}}$ 번째 다항식의 단일 항에서$$ Y $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 최고 출력이 두 번째 다항식의 그것보다 작기 때문이다.

다음으로, $모든{\displaystyle }$ z ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$ 0$}}$에 대해 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle {\reasoned}P\왼쪽(z+1;\감마(z+1)),\감마 '(z+1),\감마'(z+1),\ldots,\감마 ^{(n)}(z+1)\=P\왼쪽(z+1;z\감마(z), [z\감마(z)], [z\감마(z)],\ldots, [z\감마(z)]^{(n)}\오른쪽)\\&=P\왼쪽(z+1;z\감마)(z),z\감마 '(z),z\감마'+2(z),z\감마'(z),\ldots,z{\감마^{{{n)}{{{n-1(z)\감마 ^{{{n-1}(z)\오른쪽.\end{정렬}}}$

두 번째 다항식 Q${\displaystyle q\mathbb{}}$ C [${\displaystyle X}$; ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Q\in \mathb {C} [X;$변환별$$ $Y_{0},Y_{1},\ldots,Y_{n}]}$

${\displaystyle Q~{\stackrel {\text{df}}{{}}}}{{}}}P(X+1;XY_{0},XY_{1}+)Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1}),}$

그리고 나서 $we{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$에 대한 다음과 같은 대수적 미분 방정식을 얻는다$.$

${\displaystyle \forall z\in \mathb {C} \smathsminus \mathb {Z} _{\leq 0}\qquad Q\left(z;\Gamma(z),\dots,{\Gamma^{{n(n)}\equiv.}$

또한 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle h^{}}$ Y ${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {{Y\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {h\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {n_{}}_{}^{}}$ ${\$ X$^{h}$인 경우$Y_{0}^{h_{0}}}$$Y_{1}^{h_{1}}}\cdots Y_{n}^{h_{n}}}}$은(는) $P{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $P$$}$에서 가장 높은 수준의 단일 용어이고,$$그 다음 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Q$}$에서 가장 높은 수준의 단일 용어인 경우$$

${\displaystyle X^{h+h_{0}+h_{1}+{1}+\cdots +h_{n}}Y_{0}^{h_{0}}}Y_{1}^{h_{1}:{1}}\cdots Y_{n}^{h_{n}}}.}$

결과적으로, 다항식

${\displaystyle Q-X^{h_{0}+h_{1}+{1}+\cdots +h_{n}P}$

has a smaller overall degree than ${\displaystyle P}$, and as it clearly gives rise to an algebraic differential equation for ${\displaystyle \Gamma }$, it must be the zero polynomial by the minimality assumption on ${\displaystyle P}$. Hence, defining ${\displaystyle R\in \mathbb {C} [X]}$ by

${\displaystyle R~{\stackrel {\text{df}}{}}}{{0}+h_{1}+{1}+\cdots +h_{n},}$

우리는 얻는다.

${\displaystyle Q=P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1}=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots,Y_{n}).}$

$이제{\displaystyle }$ Q {\$displaystyle Q}$에서 ${\displaystyle \mathrm{X}}$= 0 ${\displaystyle X=0}$을(를) 얻으십시오$$.

$[\displaystyle Q(0)]Y_{0},Y_{1},\ldots,Y_{n},{0},2Y_{1},2Y_{1},\ldots,nY_{n-1}=R(0)\cdot P(0;)Y_{0},Y_{1},\ldots,Y_{n}=0_{{\mathb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}.}$

그러면 변수의 변화는 산출된다.

${\displaystyle P(1;0,Y_{1},Y_{2},\ldots,Y_{n}=0_{\mathb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots,Y_{n}],},},$

그리고 이전 식에 수학적 유도의 적용(각 유도 단계에서 변수 변경과 함께)

${\displaystyle P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1}=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots,Y_{n}}$

라는 것을 드러내다.

${\displaystyle \forall m\in \m\in \mathb {N} :\qquad P(m;0,Y_{1},Y_{n}},\ldots,Y_{n}=0_{n}={\mathb {C} [Y_{0},Y_1},\ldots,Y_{n}}}}}].}$

이것은 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P$$}$이$($가)^[2][3] $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle Y_$${0}$ 으로 분할될$$ 경우에만 가능하다$.$ 따라서 그러한 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은(는) 존재하지$$ 않으며, $따라서{\displaystyle \mathrm{}}$ {$${\$displaystyle \Gamma}$은(는) 다른 대수학자가 아니다$$.Q.E.D.

참조