그린의 기능

수학에서 그린의 함수는 특정한 초기 조건이나 경계 조건을 가진 영역에 정의된 비균형 선형 미분 연산자의 충동 응답이다.

즉, L이 선형 미분 연산자라면

• 그린의 함수 G는 방정식 LG = Δ의 해법이며, 여기서 Δ는 디락(Dirac)의 델타 함수다.
• 초기 가치 문제의 해결책 Ly = f는 콘볼루션(G ⁎ f)이며, 여기서 G는 그린의 함수다.

중첩원리를 통해 선형 보통 미분방정식(ODE), L(솔루션) = 선원을 부여하면, 먼저 각 s에 대해 L(녹색) = Δ를_s 해결할 수 있으며, 선원은 델타함수의 합이므로, L의 선형성에 의해서도 그린의 함수의 합이 된다는 것을 깨닫는다.

그린의 기능은 1820년대에 이 개념을 처음 개발한 영국의 수학자 조지 그린의 이름을 따서 명명되었다.선형 부분 미분 방정식에 대한 현대 연구에서 그린의 기능은 그 대신 근본적인 해결책의 관점에서 크게 연구된다.

다체이론에서 이 용어는 특히 양자장 이론, 공기역학, 에어로아쿠스틱, 전기역학, 지진학, 통계장 이론에서도 수학적 정의에 맞지 않는 여러 종류의 상관함수를 지칭하기 위해 물리에서도 사용된다.양자장 이론에서 그린의 기능은 전파자의 역할을 한다.

정의 및 사용

한 점에서 유클리드 ${\displaystyle {}^{}}$ $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$n {\$displaystyle$$\operatorname {L} =\operatorname${$L$$}(x)$의 하위 집합에 걸쳐 분포에 작용하는$$ 선형 차등 $연산자{\displaystyle \mathrm{}}$ L${\displaystyle }$= L${\displaystyle (x}$$,s$)의 Green 함수 G($x$)는 모든 해결책이다$.$

$${\displaystyle \operatorname {L} \,G(x,s)=\delta(s-x)\...}$$

(1)

여기서 Δ는 디락 델타 함수다.Green 함수의 이 특성은 형식의 미분 방정식을 해결하는 데 이용될 수 있다.

$${\displaystyle \operatorname {L} \,u(x)=f(x)~.}$$

(2)

L의 낟알이 비삼각형이라면 그린의 기능은 독특하지 않다.그러나 실제로 대칭, 경계 조건 및/또는 기타 외부적으로 부과된 기준의 일부 조합은 고유한 그린 기능을 제공할 것이다.그린의 기능은 충족된 경계 조건의 유형에 따라 그린의 함수 번호로 분류할 수 있다.또한 일반적으로 그린의 함수는 분포로, 반드시 실제 변수의 함수는 아니다.

그린의 기능도 파동 방정식과 확산 방정식을 푸는 데 유용한 도구다.양자역학에서 그린의 해밀턴식 함수는 상태 밀도 개념과 중요한 연계가 있는 핵심 개념이다.

물리학에서 사용되는 그린의 기능은 대개 반대 기호로 정의된다.그것은

이 정의는 Dirac 델타 함수의 균일성으로 인해 그린 함수의 속성을 유의하게 변경하지 않는다.

연산자가 번역 불변인 경우, $즉{\displaystyle \mathrm{}}$ L ${\displaystyle \operatorname$ {$L}이(가$) x에 대한 일정한 계수를 가질$$ 때 Green의 함수는 콘볼루션 커널, 즉,

이 경우 그린의 함수는 선형 시차변동계 이론의 충동반응과 동일하다.

동기

느슨하게 말하면, 연산자 $L{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \operatorname {L}$에 대해 그러한 함수 G를 찾을 수 있다면$,$ 그린의 함수 (1)에 f를 곱한 다음 s에 대해 통합하면, 우리는,

연산자 $L{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {L} =\operatorname {L}(x)$은 선형이고$$ 변수 x에만 작용하기 때문에(통합 s의 변수가 아님) $연산자{\displaystyle \mathrm{}}$ L ${\displaysty \operatorname {L}을($를) 통합 외부에$$ 가져갈 수 있다.

라는 뜻이다.

$${\displaystyle u(x)=\int G(x,s)\,f(s)\,ds}$$

(3)

$L{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle u(}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {L} u(x)=f(x)~.}$ 식에 대한 해결책이다.

따라서 식 (1)에서는 그린의 함수를, 식 (2)에서는 우측의 소스 항을 파악하여 함수 u(x)를 얻을 수 있다.이 프로세스는 연산자 $L{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \operatorname {L}$의$$선형성에 의존한다.

즉, 등식 (2) u(x)의 해법은 등식 (3)에 주어진 통합에 의해 결정될 수 있다.f(x)를 알 수 있지만 G도 알 수 없는 한 이 통합은 수행할 수 없다.이제 문제는 (1)식을 만족시키는 그린의 함수 G를 찾는 데 있다.이 때문에 그린의 기능은 $연산자{\displaystyle \mathrm{}}$ L ${\displaystyle \operatorname {L}}$과(와) 연관된 기본 솔루션이라고도 불린다$.$

모든 연산자 $L{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \operatorname {L}이($가) 그린의 기능을 인정하는$$ 것은 아니다.그린의 함수는 $L{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \operatorname {L}}$의 오른쪽 역으로도 생각할 수 있다$.$ 특정 운영자에 대한 그린의 함수를 찾는 어려움 외에도, 등식 (3)의 적분은 평가하기가 상당히 어려울 수 있다.그러나 그 방법은 이론적으로 정확한 결과를 준다.

이는 Dirac 델타 함수 기준(f가 $\Delta {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$- s${\displaystyle }$) ${\displaystyle \delta (x-s$에 따른 f의 확장 및 각 투영에 용액의 중첩으로 생각할 수 있다.그러한 적분 방정식은 프레드홀름 적분 방정식으로 알려져 있는데, 그 연구가 프레드홀름 이론을 구성한다.

비균형 경계값 문제 해결을 위한 그린의 기능

수학에서 그린의 함수를 주로 사용하는 것은 비균형 경계 값 문제를 푸는 것이다.현대의 이론 물리학에서 그린의 기능은 파인만 다이어그램에서 전파자로도 사용된다; 그린의 함수는 종종 어떤 상관 함수에도 더 많이 사용된다.

틀

$L{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \operatorname {L}을($를) Sturm-Louville 연산자로 두십시오$$(양식의 선형 차등 연산자).

및 $D{\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$→ ${\$을(를) 벡터 값 경계 조건 연산자로 지정$$

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$을$({\displaystyle }$를) [${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle [0,\ell ]\,}$의 연속 함수로 두십시오$$. 더 나아가 문제가$$ 있다고 가정하십시오.

"일반" 즉, 모든 x에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle f(x)=0}$에 대한 유일한 솔루션은 $u{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u(x)=0}$이다$.$^[a]

정리

충족되는 $솔루션{\displaystyle }$ u${\displaystyle (x}$ )$${\$displaystyle u(x)}$이(가) 하나뿐입니다.

그리고 그것은 에 의해 주어진다.여기서 $G{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, s${\displaystyle }$) ${\displaystyle G(x,s)}$은(는) 다음 조건을 만족하는 그린의 기능이다$$.

1. ${\displaystyle G}$( ${\displaystyle x}$, s${\displaystyle }$) ${\displaystyle G(x,s)}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$에서 연속적이다$.$
2. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle s}$ ${\$의 경우$,$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$ ${\displaystyle G(x}$, ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$= 0 ${\$ \quad $\operatorname {L} \,G(x,s)=0$
3. $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\$의 ${\displaystyle 경우\stackrel{,}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle D}$ → G${\displaystyle (x}$,${\displaystyle }$s )${\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle 0\stackrel{}{\mathrm{}}}$ → $displaystyle \quad {\vec {\\\operatorname$ {D$}}}}\,G(x,s)={\vec {0$
4. 파생 모델 "점프": ${\displaystyle G{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$, s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$-${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}$(${\displaystyle }$s ) ${\$
5. 대칭: ${\displaystyle G}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle G}$( ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle x}$) ${\$.

고급 및 지연된 그린의 기능

한 그린의 함수에 동질 방정식의 어떤 해법이 추가되면 또 다른 그린의 함수가 되기 때문에 그린의 함수는 반드시 고유하지는 않다.따라서 동질 방정식이 비독점적 용액을 갖는 경우, 복수의 Green의 함수가 존재한다.경우에 따라서는 지연된 그린의 함수라고 하는$$$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ s$\leq$ x$}$에 대해서만 비바니싱되는 그린의 함수 하나를 찾을 수 있고, 고급 ${\displaystyle \mathrm{그린}}$의 함수라고 하는 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ x ${\displaysty s\geq x$에 대해서만 비바니싱되는 그린의 함수 하나를 찾을 수 있다.그러한 경우 두 그린의 함수의 선형 결합도 유효한 그린의 함수가 된다.고급 및 지연이라는 용어는 변수 x가 시간에 해당할 때 특히 유용하다.이 경우 지체된 그린의 기능을 사용함으로써 제공되는 솔루션은 과거 출처에만 의존하고 인과관계에 있는 반면, 선진 그린의 기능을 사용함으로써 제공되는 솔루션은 미래 출처에만 의존하고 숙독에 있다.이러한 문제에서는 인과적 해결책이 물리적으로 중요한 경우인 경우가 많다.선진 및 지체 그린의 기능은 특히 비균형 전자파 방정식의 해법 분석에 사용된다.

그린의 기능 찾기

단위

그린의 기능이 필요로 하는 형태를 독특하게 고정하지는 않지만, 그린의 기능이 가지고 있어야 할 단위를 찾기 위해 치수 분석을 수행하는 것은 다른 방법을 통해 발견된 그린의 기능에 대한 중요한 건전성 점검이다.정의 방정식의 빠른 검사,

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 단위는 L ${\displaystyle L}$의 단위뿐만 아니라 위치 $벡터{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ x$}$ $및{\displaystyle }$ s$$ ${\displaystyle s}$이(가) 요소인$$ 공간의 수와 단위에도 좌우된다는$$ 것을 보여준다.이는 다음과 같은 관계를 초래한다.여기서 [${\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [[G]]]}$은(는) "$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}"$로 정의되며, $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaysty dx}$은(또는 spacetime) 공간의 볼륨 요소다.

예를 들어 $L{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$ L$=\partial _{t}^{2}}:$ 시간이$$ 유일한 변수인 경우:

$L{\displaystyle }$= ${\displaystyle ◻}$= 1 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}{\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle t_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}{\mathrm{}}^{}}$ 2 -$∇$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ {\$displaystyle$ L=\$square ={$1}{$c^{1}{2}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2$}}: d'Allumbert 연산자$,$ 공간은 3차원이면:

고유값 팽창

만일 차동 연산자 L이_n 일련의 고유 벡터 ((x_n) (즉_n, L = = ) ) )을 완전하게 인정한다면, 이러한_n 고유벡터 및 고유값으로부터_nn 그린의 함수를 구성할 수 있다.

"완전함"은 기능 집합 {ψ_n}이(가) 다음과 같은 완전성 관계를 만족함을 의미한다.

그리고 다음은,

여기서 $†{\displaystyle }$ ${\displaystyle \dagger}$은(는) 복잡한 결합을 나타낸다$$.

연산자 L을 이 방정식의 각 면에 적용하면 완전성 관계가 발생하며, 이를 가정하였다.

위의 형태로 쓰여진 그린의 기능과 고유 벡터에 의해 형성된 함수 공간과의 관계에 대한 일반적인 연구는 프레드홀름 이론으로 알려져 있다.

그린의 기능을 찾는 방법에는 영상의 방법, 변수의 분리, 라플라스 변환 등 몇 가지가 있다.^[1]

Green의 기능 결합

If the differential operator ${\displaystyle L}$ can be factored as ${\displaystyle L=L_{1}L_{2}}$ then the Green's function of ${\displaystyle L}$ can be constructed from the Green's functions for ${\displaystyle L_{1}}$ and ${\displaystyle L_{2}}$:

The above identity follows immediately from taking ${\displaystyle G(x,s)}$ to be the representation of the right operator inverse of ${\displaystyle L}$, analogous to how for the invertible linear operator${\displaystyle C}$, defined by ${\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^$${-1}A^{-1}$은 행렬 요소 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {i,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 로 표현된다$.$

파생상품의 스칼라 다항식인 차등 연산자 $L{\displaystyle }$= ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle N_{}{}_{}}$(${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$∂ x${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle L=P_{N}(\partial _{x$대수학의 근본적인 정리는 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$가 스스로 통근한다는 사실과 결합되어 다항식을 인수할 수 있음을 보장하여 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$을 다음과 같은 형태로$$ 넣는다.

where ${\displaystyle z_{i}}$ are the zeros of ${\displaystyle P_{N}(z)}$. Taking the Fourier transform of ${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}$ with respect to both ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle s}$ gives:그런 다음 Fourier가 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ $및{\displaystyle }$ s$$ ${\displaystyle s}$ 공간으로$$ 다시 변환하기 전에 부분 분율 분해를 사용하여 합으로 분할할 수 있다.이 과정은 그린의 기능과 동일한 기능의 통합과 관련된 정체성을 산출한다.예를 들어 $L{\displaystyle }$= (${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle \gamma }$) (${\displaystyle {\mathrm{}}_x}$ x${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle \alpha {}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ Green의$$ 기능을 위한 하나의 형태는 다음과 같다.제시된 예는 추적가능하지만, 적분이 사소한 것이 아닐 때 작용하는 과정을 예시한다(예: $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$가 다항식 연산자일$$ 때).

그린의 기능 표

다음 표에는 자주 나타나는 차동 연산자의 그린 기능에 대한 개요가 나와 있으며 $여기$서 r =$x\sqrt{{}^{}}$ 2 +$\sqrt{{}^{}{y\mathrm{}}^{}}$ $\sqrt{{}^{}{}^{}}$+ $\sqrt{{z\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$2}+$z^{2$$}$$}}}},$$\rho$= $x\sqrt{{}^{}}$ $\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}$+ $\sqrt{{}^{}}$ $\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}$}}}}$, ${\textstyle \Theta (t)}$ is the Heaviside step function, ${\textstyle J_{\nu }(z)}$ is a Bessel function, ${\textstyle I_{\nu }(z)}$ is a modified Bessel function of the first kind, and ${\textstyle K_{\nu }(z)}$ is a modified Bessel function of the second kind.^[2]첫 번째 열에 시간(t)이 나타나는 경우, 고급(관심) 그린의 기능이 나열된다.

차동 연산자 L	그린의 함수 G	적용 예
${\displaystyle \property_{t}^{n+1}}$	${\displaystyle {\frac{t^{n}}{n!}}}\테타(t)}$
$\displaystyle \property _{t}+\properties$	${\displaystyle \T)e^{-\gamma t}$
${\displaystyle \left(\displaystyle \reft)({t}+\reft \right)$	${\displaystyle \T)te^{-\gamma t}}$
${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{}^{}}$ t ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 2{\mathrm{}}_{}\gamma }$ ${\displaystyle t_{}}$+ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$\ \ $\{t}^{2}+2\gamma$\ _ \$_$_ _ < 0 0 $0$ 0 0 0 $\$ < < << < < < < < < where$$ $where$ < < $<$ < < < < < < < < < $where$ < < < where	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}~{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}}$ with ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$	1D 언더앰프 조화 진동자
${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{}^{}}$ ${\displaystyle t_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 2{\mathrm{}}_{}\gamma }$ ${\displaystyle t_{}}$+ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ \$_$$_$ωω ω ω ω ω ω ω ω $\$ \ ω \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}~{\frac {\sinh(\omega t)}{\omega }}}$ with ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$	1D 과대용 고조파 오실레이터
${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 2{\mathrm{}}_{}\gamma }$ ${\displaystyle t_{}}$+ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$\ \ $\{t}^{2}+2\gamma \gamma$ \$_ _$_ 0 =\$displaysty_{$$0}^{$$0}$2$}}:$ 여기서$$ $\gamma {\displaystyle }$= ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$displaystystystyleylee \\\\\\\\@@@@\\\\\$iecym_{0$}	${\displaystyle \T)e^{-\gamma t}t}$	1D 임계 감쇠 고조파 오실레이터
2D Laplace 연산자 ${\displaystyle \nabla _{\text{2D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \ln \frac{}{}\rho }$ \ ${\displaystyle {\frac$ {$1}{2\pi }}\ln \rho },$ ρ${\displaystyle }$= ${\displaystyle x\sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$+ y ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$ = ${\sqrt {x^{2}+y^{2$}{2}$}}}}$	2D 포아송 방정식
3D Laplace 연산자 $\displaystyle \volla _{\text{3D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}$	${\displaystyle \frac{-}{}}$ r${\displaystyle }$= ${\displaystyle x\sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}{}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ 2 ${\$$z$^{2}+$z^{2$}의$$ 경우 1 ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ r ${\displaystyle$ $}$$}}}}$	포아송 방정식
헬름홀츠 연산자 $\displaystyle \volla _{\text{3D}}^{2}+k^{2}}$	${\displaystyle {\frac{-e^{-ikr}{4\pi r}=i{\sqrt{\frac {k}{32\pi r}}}}}}}}$${\displaystyle H_{1/2}^{(2)}(kr)}$${\displaystyle =i{\frac {k}{4\pi }\,}$${\displaystyle h_{0}^{(2)}(kr)}$	자유 입자를 위한 정지 3D 슈뢰딩거 방정식
${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ n ${\displaystyle n}$ 치수$$$$	${\displaystyle - (2\pi )^{-n/2}\왼쪽({\frac {k}{r}\오른쪽)^{n/2-1K_{n/2-1}(kr)}$	유카와 포텐셜, 파인만 전파자
${\displaystyle \property_{t}^{2}-c^{2}\properties _{x}^{2}}:$	${\displaystyle {\frac {1}{2c}\세타(t- x/c )}$	1D파 방정식
${\displaystyle \property_{t}^{2}-c^{2}\,\despla _{\text{2}D}^{2}}:$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}\}\세타(t-\rho /c)}$	2D파 방정식
달랑베르 연산자 ${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}\\properties _{t}^{2}-\propertiesla _{\text}3D}^{2}}:$	${\displaystyle {\frac {\pi}{c}}{4\pi r}}$	3D파 방정식
${\displaystyle \property_{t}-k\properties_{x}^{2}}$	${\displaystyle \T)\왼쪽({\frac {1}{4\pi kt}\오른쪽)^{1/2}}e^{-x^{2}/4kt}}$	1D 확산
${\displaystyle \property_{t}-k\,\probla _{\text{2D}^{2}}:$	${\displaystyle \T)\왼쪽({\frac {1}{4\pi kt}\오른쪽)e^{-\rho ^{2}/4kt}}$	2D 확산
${\displaystyle \property_{t}-k\,\probla _{\text{3D}^{2}}:$	${\displaystyle \T)\왼쪽({\frac {1}{4\pi kt}\오른쪽)^{3/2}e^{-r^{2}/{-r^{2}/4kt}}$	3D 확산
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}\\filename _{t}^{2}-\filename _{x}^{2}+\mu ^{2}}:$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))$$+\mu \Teta(ct-$ x $)J_{0}(\mu u)\오른쪽$](u$$$$= ${\displaystyle \sqrt{{c\mathrm{}}^{}}}$2 ${\displaystyle \sqrt{{}^{}{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$- x ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$2}$t^{2}-x^{2}}:$	1D 클라인-고든 방정식
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}\\properties _{t}^{2}-\propertiesla _{\text{2}D}^{2}}+\mu ^{2}}$	${\$${\frac {\reason (ct-\rho )}{\rho }}}{\rho }}+\mu ^{2}\\$u${\displaystyle }$= ${\displaystyle c\sqrt{{}^{}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{{}^{}{}^{}}}$ 2 ${\displaystyle \sqrt{{t\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ -${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}${$$2 {\$displaystyle u={\c^{2}t^{$2}-\$rho ^{2$}}: C $2$ t 2 - r 2(\$mu u)\right]}}}$이(가) 있는 $Theta(ct-\rho )\opername {sinc$}{sinc$}$	2D 클라인-고든 방정식
${\displaystyle \square +\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)$$u$${\displaystyle }$= c ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{t\mathrm{}}^{}}}$$$${\displaystyle \sqrt{{}^{}{}^{}}}$-$$${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$	3D 클라인-고든 방정식
${\displaystyle \property_{t}^{2}+2\properties _{t}-c^{2}\properties _{x}^{2}}:$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\$$세타(ct- x )\왼쪽({\frac {\gamma }{c}})$$I_{0}\왼쪽({\frac {\gamma u}{c}\오른쪽)+{\frac {\gamma t}{u}}}}}$$u$${\displaystyle }$=$$${\displaystyle \sqrt{{c\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle 2\sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{t\mathrm{}}^{}}}$ 2${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$-$$${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$	전신 방정식
${\displaystyle \property_{t}^{2}+2\properties \{t}-c^{2}\\properla _{\text{2}D}^{2}}:$	${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct-\rho )}{\r$$ho }}+\theta(ct-\rho )\왼쪽({\$$frac {\gamma \sinh \좌)$$}}{cu}+{\frac {3\frac t\cosh \lefts\frac{\c}\오른쪽)$$}}{u^{2}}-{\frac {3ct\sinh \lefts\frac {\prec}{c}}\오른쪽)$$}{u^{3}}}\오른쪽)}($u$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{{c\mathrm{}}^{}}}$ 2 t ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ -${\displaystyle \sqrt{{}^{}{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$2}$t^{2}-\rho ^{2}}:}$	2D 상대론적 열전도
${\displaystyle \property_{t}^{2}+2\properties \{t}-c^{2}\,\properla _{\text}3D}^{2}}:$	${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right)$${\frac {\properties(ct-r)}{r^{2}}+{\frac {\frac {\properties ^{2}}:{c}\$$세타(ct-r)\왼쪽({\frac {1}{cu}}}}$$I_{1}\왼쪽({\frac {\gamma u}{c}\오른쪽)+{\frac {4t}{u^{2}}:}$$u$${\displaystyle }$= c ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$-$$${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$	3D 상대론적 열전도

그린의 라플라시안적 기능

라플라시안과 관련된 선형 미분 연산자를 위한 그린의 기능은 두 번째 그린의 아이덴티티를 사용하여 쉽게 사용할 수 있다.

그린의 정리를 도출하기 위해서는, 발산 정리(다른 지혜로는 가우스의 정리)로 시작한다.

$A{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ =${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \nabla \mathrm{}}$ ${\displaystyle \psi }$ -${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${$ {\$displaystyle {\vec{A}=\varphi \,\nabla \psi \,\nabla \varphi },$ 가우스의 법칙으로 대체한다$$.

$\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ⋅ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle A\stackrel{}{}}$→ ${\$를 계산하고$$ ∇ 연산자에 대해 제품 규칙을 적용하십시오.

이것을 발산 정리에 꽂으면 그린의 정리가 만들어지고

선형 미분 연산자 L이 라플라시안, ∇²이며, 라플라시안에 대해 그린의 함수 G가 있다고 가정한다.그린 함수의 정의 속성은 여전히 유효하지만

${\displaystyle \mathrm{Green}}$의 두 번째 ID에서${\displaystyle }$in$$ =$$G {\$displaystyle$\psi =$G}$을(를) 표시하십시오. Green의 ID를 참조하십시오.그러면.

이 식을 사용하면 노이만 또는 디리클레트 경계 조건의 영향을 받아 라플레이스의 방정식 ∇²φ(x) = 0 또는 포아송의 방정식 ∇²φ(x) = -ρ(x)를 풀 수 있다.즉, φ(x)의 값이 부피의 경계면(디리클레 경계 조건)에 명시되어 있거나 (2) φ(x)의 정상 파생상품이 경계면(네우만 경계 조건)에 명시되어 있는 볼륨 내의 모든 곳에서 ((x)에 대해 해결할 수 있다.

지역 내의 φ(x)에 대해 해결하는 것이 문제라고 가정한다.그러면 적분

Dirac delta 함수의 정의 속성으로 인해 단순 x(x)로 감소하고 우리는 다음과 같이 한다.

이 형태는 조화함수의 잘 알려진 속성을 표현하는데, 만약 가치나 정상적인 파생상품이 경계면에 알려져 있다면, 볼륨 내부의 함수의 가치는 어디에나 알려져 있다.

전기장학에서 φ(x)는 전위, ${\displaystyle \rho }$(x)는 전위, interpreted(x${\displaystyle )}$는 전위 밀도로 해석되며$$, 정상파생상품${\displaystyle \mathrm{}(({}^{}}$ ) ${\displaystyle {^(}^{}}$)$$^(\$displaystyle \nabla \varphi(x')\cdot$ d${\widehat{\sigma}}}}}}}.$

디리클레 경계 값 문제를 해결하는 것이 문제라면, x 또는 x′ 중 하나가 경계 표면에 있을 때 G(x,x′)가 사라지도록 그린의 기능을 선택해야 한다.따라서 표면 적분된 두 항 중 하나만 남아 있다.네우만 경계 값 문제를 해결하는 것이 문제라면, 그린의 기능은 가장 논리적인 선택인 것처럼 보이므로 경계 표면에서 정상적인 파생상품이 사라지도록 선택된다.(Jackson J.D. Classic Electrodynamics, 39페이지 참조).그러나, Green의 함수 수율을 정의하는 미분 방정식에 Gauss의 정리의 적용

즉, G(x,x′)의 정상적인 파생상품은 표면에서 1로 통합되어야 하기 때문에 표면에서 사라질 수 없다. (Again, Jackson J.D. 고전 전기역학, 이것과 다음 주장은 39페이지를 보라.)

일반 파생상품이 취할 수 있는 가장 단순한 형태는 상수, 즉 1/S로, 여기서 S는 표면적이다.용액의 표면 항은 다음과 같이 된다.

여기서 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$S {\$displaystyle \langle \varphi \rangele$_{$S}$는 표면에$$ 있는 전위의 평균 값이다.이 숫자는 일반적으로 알려져 있지 않지만, 종종 잠재력 그 자체보다는 잠재력의 경사로 주어지는 전기장을 얻는 것이 목표이기 때문에 중요하지 않은 경우가 많다.

경계 조건이 없는 경우, 라플라시안(삼변성 라플라스 방정식에 대한 그린의 함수)에 대한 그린의 함수는 다음과 같다.

경계면이 무한대로 나간다고 가정하고 그린의 기능을 위해 이 표현을 꽂으면 마침내 전기 전하 밀도 면에서 전위성에 대한 표준 표현이 나온다.

예

Green의 함수 번호가 X11인 다음 문제에 대한 Green 함수를 찾으십시오.

첫 번째 단계:바로 옆에 있는 선형 연산자에 대한 그린의 함수는 다음과 같은 해결책으로 정의된다.

$${\displaystyle G"(x,s)+k^{2}G(x,s)=\delta(x-s)}$$

(Eq. *)

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x\neq$ s$\}$인 경우 델타 함수는 0을 나타내며, 일반적인 용액은 다음과 같다.

< s ${\displaystyle x<s$의 경우 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0}$의 경계 조건이 암시함$$

< ${\displaystyle x<s}$ 및 s $s$ π 2 k ${\$인 경우$.$

> ${\displaystyle$ x$>s$의 경우,${\displaystyle }x{\displaystyle }$ = ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{k}{}}${\$displaystyle$ x$={\tfrac${\$pi }{2k}}}}$의 경계 조건이 암시한다$$.

${\displaystyle G}$( ${\displaystyle 0}$, s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle G(0,s)=0}$의 방정식은 유사한 이유로 생략한다$$.

지금까지의 결과를 요약하면 다음과 같다.

두 번째 단계:다음 과제는 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$및$$ c ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) 결정하는 것이다$.$

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x=s}$에서 녹색 함수의 연속성을 보장하는 것은 의미$$

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$ -${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x=s-\varepsilon }$에서 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$ + s +${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle$ x$=s+\varepsilon }$까지 정의 미분 방정식(즉 Eq. *)을 통합하고 $and$ ${\displaystyle \varepsilon }$이 0으로 제한하면$$ 첫 번째 파생에서 적절한 불연속성을 보장할 수 있다.나머지 기간은 건설에 의해 계속되기 때문에 두 번째 파생상품만 통합한다는 점에 유의하십시오.

$c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ c ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대해 두 개의 연속성 방정식을 해결할 수 있다$$.

따라서 이 문제에 대한 그린의 기능은 다음과 같다.

추가 예

• n = 1로 하고 부분 집합은 모두 R로 한다.$L$을 d $\frac{x}{}$ ${\$이(가) 되도록 하십시오$.$그 다음, Hubiside step 함수 H(x₀ - x)는 x에서₀ L의 Green 함수다.
• n = 2로 하고 하위 집합을 쿼터 평면 {(x, y) : x, y ≥ 0}, L을 라플라시안(Laplacian)으로 한다.또한 디리클레 경계 조건이 x = 0에 부과되고 노이만 경계 조건이 y = 0에 부과된다고 가정한다.그러면 X10Y20 Green의 기능은
  $${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right.\\[5pt]&\왼쪽.{}+\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0}}})^{2}+(y+y_{0}}}^{2},\right]\end{정렬}}}$$

  
• < ${\displaystyle a<prox>$, 세 가지 모두 실제 숫자의 요소들이다.그런 다음 reals에서 reals에 이르는 모든 기능에 $대해{\displaystyle }$, f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f($$x)}$ -th번째$$ 파생 모델로$,$ ${\displaystyle \mathrm{간격}}{\displaystyle [,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b$
  $${\displaystyle {\displaysty}f(x)&=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}{m!}}}}\{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}\오른쪽]_{x=a}+\int_{a}^{b}\왼쪽[{\frac {(x-s)^{n-1}{n-1)!}}}\theta (x-s)\오른쪽]\왼쪽[{\frac {d^{n}{dx^{n}}\right]_{x=s}ds\end{arged}}}}}}$$

  
  $위$의 방정식에서 그린의 함수 G${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$- ${\displaystyle \frac{s{}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{\mathrm{n}}^{}}{}}$- 1${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{}}$- ${\displaystyle \frac{1)!}{}}$ ${\displaystyle \theta }$( x${\displaystyle }$- ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}{n-1)!$$}}}\Theta(x-s$는 고유하지 않다.How is the equation modified if ${\displaystyle g(x-s)}$ is added to ${\displaystyle G(x,s)}$, where ${\displaystyle g(x)}$ satisfies ${\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}$ for all ${\displaystyle x\in [a,b]}$ (for example, ${\displaystyle g(x)=}$${\displaystyle -}$ ${\displaystyle x}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle g(x)=-x/2}($${\displaystyle \mathrm{n<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; g(x)=-x/2\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0bc652030c9b839f7ef3e30c0f4ca24d0484aaff"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:12.816ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="494">}}$= 2 ${\displaystyle n=2$})?$$또한 위의 방정식을 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle x=a$에 있는 테일러 시리즈의 형식과 비교하십시오.

참고 항목

각주

참조

외부 링크

• "Green function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Green's Function". MathWorld.
• PlanetMath에서 미분 연산자를 위한 Green 함수.
• PlanetMath에서 그린의 기능.
• PlanetMath의 녹색 함수 및 정합성 매핑.
• A. P. Jauho에 의한 Keldysh Nonqualify Green Function 기법 소개
• 그린스 기능 라이브러리
• Green의 기능에 대한 자습서
• 경계 요소 방법(수치로 잠재적인 문제를 해결하기 위해 경계 요소 방법과 함께 그린의 기능을 사용하는 방법에 대한 일부 아이디어)
• 앳시티즌디움
• 그린의 기능에 대한 MIT 비디오 강의
• Bowley, Roger. "George Green & Green's Functions". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.