쌍곡선 집합

동적 시스템 이론에서, 부드러운 다지관 M의 부분집합 Ⅱ는 그 접선다발이 두 개의 불변성 서브번들로 분할될 수 있는 경우, 평활도 f에 관하여 쌍곡 구조를 가지고 있다고 하는데, 그 중 하나는 수축하고 다른 하나는 M의 일부 리만계 메트릭과 관련하여 f에 따라 팽창하고 있다.흐름의 경우 유사한 정의가 적용된다.

전체 다지관 M이 쌍곡선일 때 특수한 경우, 지도 f를 아노소프 차이점형이라고 한다.쌍곡선 집합 또는 쌍곡선 역학에서 f의 역학은 국부적 구조적 안정성의 특징을 보여주며 많은 연구가 진행되어 왔다, cfAxiom A.

정의

M을 콤팩트한 매끄러운 다지관으로 하고, f : M → M은 차이점형, Df : TM → TM은 f의 차등형으로 한다.M의 f-invariant 부분집합 λ은 쌍곡체 또는 쌍곡 구조를 가지고 있다고 하는데, M의 접선다발 λ에 대한 제한이 안정다발과 불안정다발이라고 불리는 두 Df-invariant 하위분들의 Whitney 합계로 분할을 인정하고 E와^s E를^u 나타낸다.M에 대한 일부 리만어 지표에 대해서는 Df to E의^s 제한은 수축이어야 하고 Df to E의^u 제한은 팽창이어야 한다.따라서 다음과 같은 상수 0[1]과 c]0이 존재한다.

${\displaystyle T_{\lambda }M=E^{s}\oplus E^{u}}}$

그리고

${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}}$ and ${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}}$ for all ${\displaystyle x\in \Lambda }$

그리고

${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle v}$ ‖ v ${\displaystyle \Vert }$ v${$ {\$displaystyle \df^{n}$v\\ $\leq$c\$lambda$^{$n}\{n}\$ v$\}}}$모든$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ E ${\displaystyle s^{}}$ ${\$$displaystystyle$ $v\$$in$E$^{s}$ 및 >0}

그리고

${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle D}$ -${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle {}^{}}$ n ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle v}$ ‖ v ${\displaystyle \Vert }$ v ‖ ${\displaystyle \df^{-n}v\\ \leq c\lambda^{n$}\{$n$$}\$ v $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystystystyleyle u$$$u u u u u

만약 λ이 쌍곡선이라면 c = 1인 리만 메트릭스가 존재하는데, 이러한 메트릭스를 적응이라고 한다.

예

• 쌍곡선 평형점 p는 f의 고정점, 즉 평형점으로서 (Df)_p는 절대값 1의 고유값을 갖지 않는다.이 경우 λ = {p}.
• 보다 일반적으로 주기 n을 가진 f의 주기적인 궤도는 만약 Df가ⁿ 절대값 1을 가진 고유값이 없는 경우에만 쌍곡선이며, 궤도의 단일 지점에서 이 상태를 점검하기에 충분하다.

참조

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. Reading Mass.: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
• Brin, Michael; Garrett, Stuck (2002). Introduction to Dynamical Systems. Cambridge University Press. ISBN 0-521-80841-3.

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