호르스피어

Horosphere
육각형 타일링 벌집형 벌집의 육각형 타일링 셀 가장자리에 접하는 푸앵카레 디스크 모델 내의 호스피어
아폴로니안 구체 패킹은 푸앵카레 디스크 모델의 외부 구에 접하는 호로스피어를 보여주는 것으로 볼 수 있다.

쌍곡 기하학에서 호르스피어(또는 parasphere)는 쌍곡 n-공간에서 특정한 초저면이다.호로볼의 경계, 접선 하이퍼플레인(한쪽)의 증가된 볼 공유(한쪽)의 시퀀스의 한계와 접선 지점이다.n = 2의 경우, 호스피어를 호로시클이라고 부른다.

호스피어는 또한 반경이 무한대로 향하기 때문에 특정 지점에서 접선 하이퍼플레인을 공유하는 하이퍼스피어의 한계라고 설명할 수 있다.유클리드 기하학에서는 그러한 "무한한 반지름의 하이퍼스피어"가 하이퍼플레인(hypererspher)이 되겠지만, 쌍곡 기하학에서는 호르스피어(곡선 표면)이다.

역사

이 개념은 1816년 F. L. Wachter가 스승 가우스에게 보낸 편지에서 표현한 개념에 그 뿌리를 두고 있다.유클리드 기하학에서 반경이 무한대로 되는 구형의 한계는 평면이라는 점에 주목하면서, 워커는 비록 다섯 번째 체계가 거짓이라고 하더라도 그럼에도 불구하고 일반 평면의 것과 동일한 표면에 기하학이 있을 것이라고 단언했다.[1]호로스피어와 호로시클이라는 용어는 로바체프스키가 쌍곡선 공간의 호로시클과 호로스피어의 기하학이 유클리드 공간의 선과 평면의 기하학과 맞먹는다는 것을 보여주는 다양한 결과를 확립했기 때문이다.[2]호로볼(horoball)이라는 용어는 윌리엄 서스턴(William Thurston)이 쌍곡선 3마니폴드(hyperbolic 3 manifolds)에 대한 연구에 사용했기 때문이다.호로스피어와 호로볼이라는 용어는 종종 3차원 쌍곡 기하학에서 사용된다.

모델

등각형 공 모델에서, 호스피어는 수평선 구에 접하는 구체로 표현된다.상부 반공간 모델에서 호스피어는 수평면에 접하는 구면 또는 수평면에 평행한 평면으로 나타날 수 있다.하이퍼볼로이드 모델에서, 호스피어는 점근 원뿔에 정상인 평면으로 표현된다.

곡률

호스피어는 (등방성) 곡률의 임계량을 가지고 있다. 곡률량이 더 크면 표면이 닫힐 수 있어 구가 생성되고 곡률이 더 작으면 표면은 (N - 1)차원 하이퍼사이클이 된다.

참조

  1. ^ 로베르토 보놀라(1906) 비유클리드 기하학(H.S. Carslaw, Dover, 1955; 페이지 63).
  2. ^ 로베르토 보놀라(1906) 비유클리드 기하학(H.S. Carslaw, Dover, 1955; 페이지 88).
  • 부록, 우주론 제노스 볼랴이, 1987, 페이지 143