스펙트럼 공간

수학에서 스펙트럼 공간(spectrum space)은 교감 링의 스펙트럼에 대해 동형인 위상학적 공간이다.일관성이 있는 토포스와의 연관성 때문에 때로는 정합성이 있는 공간이라고도 불린다.

정의

X를 위상학적 공간으로 하고 K^$\circ$(X)를 X의 모든 콤팩트 오픈 서브셋 집합으로 한다.그 다음 X는 다음과 같은 조건을 모두 만족하면 스펙트럼이라고 한다.

X를 위상학적 공간이 되게 하라.다음 각 특성은 스펙트럼상 X의 특성과 동일하다.

X는 유한 T-스페이스의₀ 투사 한계와 동형이다.
X는 경계 분배 격자 L의 스펙트럼에 대해 동형이다.이 경우 L은 격자 K^$\circ$(X)에 이형(경계 격자)이다(이를 분배 격자의 스톤 표현이라고 한다).
X는 정류 링의 스펙트럼에 대해 동형이다.
X는 프리스틀리 공간에 의해 결정되는 위상학적 공간이다.
X는 열린 집합의 프레임이 일관성 있는 T 공간이다₀(모든 일관성 있는 프레임은 이러한 방식으로 고유한 스펙트럼 공간에서 나온다).

X를 스펙트럼 공간으로 하고 K^$\circ$(X)를 전과 같이 두도록 한다.다음:

K^$\circ$(X)는 X의 하위 집합의 경계 하위 부속물이다.
X의 모든 닫힌 하위 공간은 스펙트럼이다.
X의 콤팩트 서브셋과 오픈 서브셋의 임의 교차점(K^$\circ$(X)에서 원소 앙체)은 다시 스펙트럼이다.
X는 정의상 T이지만₀ 일반적으로 T가₁ 아니다.^[1]사실 스펙트럼 공간은 만약 그것이 Hausdorff (또는₂ T)이라면 그리고 K^$\circ$(X)가 부울 대수일 경우에만 T이다₁.
X는 한 쌍의 스톤 공간으로 볼 수 있다.^[2]

스펙트럼 공간 X와 Y 사이의 스펙트럼 맵 f: X → Y는 연속적인 맵으로, 모든 열린 부분과 컴팩트한 부분 집합의 프리이미지가 다시 압축된다.

스펙트럼 지도를 형태론으로 갖는 스펙트럼 공간의 범주는 경계 분배 격자의 범주(그러한 격자의 형태와 함께)와 사실상 동등하다.^[3]이 항등식에서 스펙트럼 공간 X는 격자 K^$\circ$(X)에 해당한다.

^ A.V. Arkhangel'ski, L.S. Pontryagin (Eds.)일반 위상 I(1990) 스프링거-버래그 ISBN 3-540-18178-4(예 21, 섹션 2.6 참조)
^ G. Bezhanishvili, N. Bezhanishvili, D. Gabelaia, A. Kurz, (2010)"분산 격자와 헤잉 알헤브라에 대한 비트론적 이중성"컴퓨터 과학의 수학 구조, 20.
^ 존스톤 1982.

M. 호치스터(1969년).교감 링의 최상 이상적 구조.트랜스. 아머. 수학. Soc, 142 43 - 60
Johnstone, Peter (1982), "II.3 Coherent locales", Stone Spaces, Cambridge University Press, pp. 62–69, ISBN 978-0-521-33779-3.
Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Spectral Spaces. New Mathematical Monographs. Vol. 35. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781316543870. ISBN 9781107146723.