쿠라토프스키 폐쇄 공리

수학의 위상 및 관련 분야에서는 쿠라토프스키 폐쇄 공리는 집합의 위상 구조를 정의하는 데 사용할 수 있는 공리 집합이다.그것들은 더 일반적으로 사용되는 오픈 세트 정의와 동등하다.그들은 먼저 카지미에츠 쿠라토프스키에 의해 공식화되었고,^[1] 그 사상은 와카와프 시에르피에스키, 안토니오 몬테이로 등의 수학자들에 의해 더욱 연구되었다.^[2]

유사한 공리 집합을 사용하여 내부 운영자의 이중 개념만을 사용하여 위상학적 구조를 정의할 수 있다.^[3]

정의

Kuratowski 폐쇄 연산자 및 약점

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 임의 집합으로 하고$$ $\wp {\displaystyle \mathrm{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \wp (X)}$ 전원 집합으로 두십시오.Kuratowski 폐쇄 연산자는 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과 같은 속성을 가진$$ 단일 연산 c :${\displaystyle \mathrm{}}$℘${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\wp }}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$이다.

[K1] $빈{\displaystyle \mathbf{}}$ 집합: c(${\displaystyle \varnothing }$) =${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathbf {c}(\varnothy )=\varnothing }$;

[K2] 광범위함: ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle A\subseteq X$ ${\displaystyle A\mathbf{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ c (${\displaystyle A}$) ${\displaystyle A\subseteq \mathbf {c$

[K3] idempotent: ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle A\subseteq$ X$\},$ ${\displaystyle c}$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle c\mathbf{}}$(${\displaystyle A}$) ${\displaysty \mathbf {c}=\mathbf {c}(A$

[K4] It preserves/distributes over binary unions: for all ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)=\mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$.

$이진{\displaystyle \mathbf{}}$ 유니언을$보존$하는 c ${\displaystyle \mathbf$ {c$}$의 결과는 다음과 같다.^[4]

[K4] 모노톤이다.${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle B\Rightarrow }$ ${\displaystyle c\mathbf{}}$ ( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle c\mathbf{}}$( ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mathbf {c}(A)\subseteq \mathbf {c}(B$

사실 우리가 [K4]의 평등을 포함으로서 다시 쓰면서 약한 공리[K4][K4]]를 준다면 다음과 같다.

[K4''] It is subadditive: for all ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)\subseteq \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$,

그러면 공리[K4]와 [K4]가 함께 [K4]와 같다는 것을 쉽게 알 수 있다(아래 교정 2의 다음 단락 참조).

Kuratowski(1966년):5(선택적)은 공리가 singleton세트 폐쇄에 따라 안정되어야 한다 요구하는 내용이 포함된 모든 x∈ X{\displaystyle Xx\in}, c({x})){)}{\displaystyle \mathbf{c}(){x\})=\{x\}}. 그는 있는 위상 공간을 충족하는 모든 5공리로 T1-spaces에 대비에 더 일반적인 공간 현.ch는 열거된 4개의 공리만을 만족시킨다.실제로 이러한 공간은 통상적인 대응(아래 참조)^[5]을 통해 위상학적 T-공간과₁ 정확히 일치한다.

요구사항 [K3]이 생략된 경우 공리는 Chech 폐쇄 연산자를 정의한다.^[6]대신 [K1]을 생략하면 [K2], [K3], [K4]를 만족하는 연산자는 무어 폐쇄 연산자라고 한다.^[7]한 쌍${\displaystyle (X}$ ,${\displaystyle c\mathbf{}}$ )$${\$displaystyle(X,\mathbf {c})$은 c$${\$displaystyle \mathbf {c}$이(가) 만족하는 공리에 따라 Kuratowski, Chech 또는 Moore 폐쇄 공간이라고 한다$.$

대체 공리화

쿠라토프스키 폐쇄 공리는 퍼빈이 제공한 단일 조건으로 대체할 수 있다.^[8]

[P] For all ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))$$=\mathbf {c}(A\cup B)\setminus \mathbf {c}(\varnothy$ $)\}$

공리 [K1]–[K4]는 이 요구사항의 결과로 도출될 수 있다.

1. Choose ${\displaystyle A=B=\varnothing }$. Then ${\displaystyle \varnothing \cup \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\mathbf {c} (\varnothing )\setminus \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }$, or ${\displaystyle \mathbf{c}(\varnothing )\cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(\varnothing )}$${\displaystyle )}$= ${\displaystyle \varnothing }${\$displaystyle \mathbf${c$}(\varnothing )\c}$컵 \$mathbf${c$}(\varnothy)=\varnothing$ $\}.$ 이는 즉시 [K1]을 암시한다.
2. Choose an arbitrary ${\displaystyle A\subseteq X}$ and ${\displaystyle B=\varnothing }$. Then, applying axiom [K1], ${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (A)}$, implying [K2].
3. $A$${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle A=\varnothing }$ 및 $임의{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \subseteq }$ X$${\$displaystyle B\subseteq$ X$}$을 선택한 다음, 공리 [K1], ${\displaystyle c\mathbf{}}$(${\displaystyle C}$) = ${\displaystyle c\mathbf{}}$ ${\displaystyle (B}$)를 적용하고 $\displaysty \mathbf$ {$c}(B)$를 선택하십시오$.$$=\mathbf {c}(B)}$, 즉 [K3]이다.
4. 임의 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle A,B\subseteq X}$을(를) 선택하십시오. 공리 [K1]–[K3]를 적용하면 [K4]가 파생된다.

또는 몬테이로(1945) harvp error: no target: CITREFMonteiro1945(도움말)는 [K2]–[K4]^[9]만 수반하는 약한 공리를 제안했었다.

[M] For all ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\textstyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))\subseteq \mathbf {c} (A\cup B)}$.

Requirement [K1] is independent of [M] : indeed, if ${\displaystyle X\neq \varnothing }$, the operator ${\displaystyle \mathbf {c} ^{\star }:\wp (X)\to \wp (X)}$ defined by the constant assignment ${\displaystyle A\mapsto \mathbf {c} ^{\star }(A):$$=X}$은(는) [M]을(를) 만족하지만, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{(\varnothing }}$)${\displaystyle }$= X ${\displaystyle \mathbf {c}^{\star }(\varnot )=X}$이므로 빈 세트를 보존하지 않는다$.$ 정의상 [M]을 만족하는 연산자는 무어 폐쇄 연산자임을 알 수 있다.

[M]에 대한 보다 대칭적인 대칭적인 대칭적인 대안은 M. O. 보텔호와 M. H. Teixeira에 의해서도 공리 [K2]–[K4]^[2]를 암시하는 것으로 입증되었다.

[BT] For all ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\textstyle A\cup B\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (A))\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))$$=\mathbf {c}(A\cup B$

유사 구조물

내부, 외부 및 경계 작업자

쿠라토프스키 폐쇄 운영자에 대한 이중 개념은 쿠라토프스키 내부 운영자의 개념으로, $지도$ i :${\displaystyle \mathrm{\wp }}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\wp }}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \mathbf {i} :\wp (X)\to \wp (X)}.$^[3]

[I1] 총 공간: ${\displaystyle i}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= X ${\displaystyle \mathbf {i}(X)=X$

[I2] 집약적: ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle A\subseteq X$ ${\displaystyle i}$( $A{\displaystyle \mathbf{})}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {i}(A)\subseteq A$

[I3] idempotent: 모든 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X$ $i{\displaystyle \mathbf{}}$(${\displaystyle }$A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle i}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaysty \mathbf {i}(\mathbf {i})(A)$$=\mathbf {i}(A)}$;

[I4] It preserves binary intersections: for all ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {i} (A\cap B)=\mathbf {i} (A)\cap \mathbf {i} (B)}$.

이러한 운영자들에게는 쿠라토프스키 폐쇄에 대해 추론된 것과 완전히 유사한 결론에 도달할 수 있다.예를 들어 쿠라토프스키 실내 운영자는 모두 동위원소(동위원소)로, 즉 [K4]를 만족하고 있으며, 강도[I2] 때문에 [I3]의 동등성을 단순포함 정도로 약화시킬 수 있다.

The duality between Kuratowski closures and interiors is provided by the natural complement operator on ${\displaystyle \wp (X)}$, the map ${\displaystyle \mathbf {n} :\wp (X)\to \wp (X)}$ sending ${\displaystyle A\mapsto \mathbf {n} (A):$$=X\setminus A}$. This map is an orthocomplementation on the power set lattice, meaning it satisfies De Morgan's laws: if ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ is an arbitrary set of indices and ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq \wp (X)}$,

By employing these laws, together with the defining properties of ${\displaystyle \mathbf {n} }$, one can show that any Kuratowski interior induces a Kuratowski closure (and vice versa), via the defining relation ${\displaystyle \mathbf {c} :=\mathbf {nin} }$ (and ${\displaystyle \mathbf {i} :=\mat$$hbf {ncn} }$ .$c{\displaystyle \mathbf{}}$$$ ${\$과(와) 관련하여 얻은 모든 결과는 정형화 $n{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ \$mathbf$ {i$}$의 속성과 함께 이러한 관계를 채택함으로써 i ${\$ $\mathbf$ {n$}$에$$대한 결과로 변환될 수 있다$$$.$

또한 Pervin(1964)은 쿠라토프스키 외부 운영자와^[3] 쿠라토프스키 경계 운영자에게도 유사한 공리를 제공하며,^[10] $이{\displaystyle \mathbf{}}$ 공리는 c :=n${\displaystyle \mathbf{e}}$ ${\$과${\displaystyle (A}$$)$ := ${\displaystyle A\mathbf{}}$ ${\displaystyle \cup }$ b ${\displaystyle (A)}$ ${\displaysty \mathbf {c}(A)$를 통해 쿠라토프 {c}:$=A\cup \mathbf {b}(A$

추상 연산자

Notice that axioms [K1]–[K4] may be adapted to define an abstract unary operation ${\displaystyle \mathbf {c} :L\to L}$ on a general bounded lattice ${\displaystyle (L,\land ,\lor ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )}$, by formally substituting set-theoretic inclusion with the partial order associated to the격자, 결합 운영과 결합된 이론적 결합, 그리고 충족 운영과의 이론적 교차로, 공리 [I1]–[I4]와 유사하게.격자가 정형화된 경우, 이 두 추상적 연산은 일반적인 방법으로 서로 유도한다.추상 폐쇄 또는 내부 운영자를 사용하여 격자의 일반화 위상을 정의할 수 있다.

무어 폐쇄 운영자에 대한 요건에 유니언이나 빈 집합이 나타나지 않기 $때문$에 임의 $포셋{\displaystyle }$ S$$${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$$\mathbf {c}$ :$S\to$ $S}$을(를) 정의하도록 정의를 조정할 수 있다$.$

위상의 다른 공리에 대한 연결

폐쇄를 통한 위상 유도

폐쇄 연산자는 다음과 같이 토폴로지를 자연스럽게 유도한다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 임의 집합으로 설정하십시오$$.We shall say that a subset ${\displaystyle C\subseteq X}$ is closed with respect to a Kuratowski closure operator ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$ if and only if it is a fixed point of said operator, or in other words it is stable under ${\displaystyle \mathbf {c} }$, i.e. ${\displaystyle \mathbf{c}}$${\displaystyle (}$ C${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {c}(C)=C$ 폐쇄된 집합의 보완인 총 공간 중 모든 하위 집합의 패밀리가 위상에 대한 일반적인 세 가지 요구 사항을 충족하거나 동등하게 모든 닫힌 집합의$$ $S{\displaystyle \mathfrak{}}$[ ${\displaystyle c\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystystyle {S}[\mathbf{c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$을 충족한다는 주장이다.

[${\displaystyle \mathrm{T1}}$] $\wp {\displaystyle \mathrm{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \wp (X)},$즉, $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle S\mathbf{}}$[ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ X, {\$barnothing \in${\$mathf {S}[\mathb {c}]$;}의 경계가 있는 하위 래티켓이다.

[T2] It is complete under arbitrary intersections, i.e. if ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ is an arbitrary set of indices and ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$, then ${\textstyle \bigcap _{$$i\in {\mathcal {I}C_{i}\in {\mathfrak$ {$S}[\mathbf${c$}$]}$$;

[T3] It is complete under finite unions, i.e. if ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ is a finite set of indices and ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$, then ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal$${I}}C_{i}\in {\mathfrak{S}}[\mathbf {c}$ $]\}$ .

idempactency [K3]에 의해 $S{\displaystyle \mathfrak{}}$[ ${\displaystyle c\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \mathrm{im}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle c\mathbf{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\mathbak {S}[\mathbf {c}]=\operatorname {im}(\mathbf$ {$c}$ $)\}$이라고 간결하게 쓸 수 있다$.$

토폴로지에서 폐쇄 유도

반대로 공리 [T1]–을 만족하는$$ 패밀리 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$이(가) 주어진다.[T3], it is possible to construct a Kuratowski closure operator in the following way: if ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ and ${\displaystyle A^{\uparrow }=\{B\in \wp (X)\ \ A\subseteq B\}}$ is the inclusion upset of ${\displaystyle A}$, then

$℘$( X ){\displaystyle $\mathbf {$${\displaystyle c}$$} _{\kappa }}}$에 Kuratowski 폐쇄 연산자 $c{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$$displaysty \wp (X)$를 정의한다$.$

두 구조물 사이의 정확한 일치

In fact, these two complementary constructions are inverse to one another: if ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ is the collection of all Kuratowski closure operators on ${\displaystyle X}$, and ${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$ is the collection of all families consisting of compl위상에서의 모든 집합, 즉 [T1]–을 만족하는 모든 패밀리의 집합[T3], then ${\displaystyle {\mathfrak {S}}:\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)\to \mathrm {Atp} (X)}$ such that ${\displaystyle \mathbf {c} \mapsto {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ is a bijection, whose inverse is given by the assignment ${\displaystyle {$$\mathfrak{C}:\kappa \mapsto$\mapsto$\mathbf{c$} _{\$kappa$ $\}\}\}.$

We observe that one may also extend the bijection ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ to the collection ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\check {C}}(X)}$ of all Čech closure operators, which strictly contains ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$; this extension ${\displaystyle \overline{\mathfrak{S}}}$${\displaystyle {\overline {\mathfak{S}}$도 추월적이어서$$ X ${\displaystyle$ $X$$}$의 모든 Echech 폐쇄 연산자 $역시$ X ${\displaystyle$ X$}$에 위상(위상)을 유도한다는 것을 의미하지만, $이$는 S ${\$이 더 이상 편향되지 않는다는$$ 것을 의미한다$.$^[11]

예

이 구간은 확장이 필요하다.덧발라주면 도와줄 수 있어. (1919년 8월)

• As discussed above, given a topological space ${\displaystyle X}$ we may define the closure of any subset ${\displaystyle A\subseteq X}$ to be the set ${\displaystyle \mathbf {c} (A)=\bigcap \{C{\text{ a closed subset of }}X A\subseteq C\}}$, i.e. the intersection of a$l{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 포함하는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 세트를 닫으십시오$.$The set ${\displaystyle \mathbf {c} (A)}$ is the smallest closed set of ${\displaystyle X}$ containing ${\displaystyle A}$, and the operator ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$ is a Kuratowski closure operator.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 설정된 경우 연산자는 $c{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ :${\displaystyle {}_{}\mathrm{\wp }}$ :${\displaystyle }$℘ ( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\wp }}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \mathbf {c} _{\top }}\mathbf {c} _{\bot }:\wp(X)\to$$)}$
  $${\displaystyle \mathbf {c} _{\top }(A)={\begin{case}\varnothy,\X&A\neq \varnoth,\c}\c}\\cqquad \mathbf {c}{\bot(A)=}A\quad \all A\in \wp(X),}$$

  
  쿠라토프스키 폐쇄야첫째는 ${\displaystyle \mathrm{불분명}}$한 위상 {${\displaystyle \varnothing }$, X ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\varnothy,X\}$을$($를) 유도하고, 둘째는 이산 위상 ${\displaystyle \mathrm{}}$($){\displaysty \wp (X)}$을 유도한다$.$

• Fix an arbitrary ${\displaystyle S\subsetneq X}$, and let ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}:\wp (X)\to \wp (X)}$ be such that ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}(A):$$=A\cup S}$ for all ${\displaystyle A\in \wp (X)}$. Then ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}}$ defines a Kuratowski closure; the corresponding family of closed sets ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{S}]}$ coincides with ${\displaystyle S^{\uparrow }}$, the family ofall subsets that contain ${\displaystyle S}$. When ${\displaystyle S=\varnothing }$, we once again retrieve the discrete topology ${\displaystyle \wp (X)}$ (i.e. ${\displaystyle \mathbf {c} _{\varnothing }=\mathbf {c} _{\bot }}$, as can be seen from the definitions).
• If ${\displaystyle \lambda }$ is an infinite cardinal number such that ${\displaystyle \lambda \leq \operatorname {crd} (X)}$, then the operator ${\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }:\wp (X)\to \wp (X)}$ such that
  $${\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }(A)={\begin{case}A&\operatorname {crd}(A)<\lambda ,\X&\operatorname {crd}(A)\geq \lambda \end{case}}}}$$

  
  4개의 쿠라토프스키 공리를 모두 만족시킨다.^[12]$\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle \lambda$=\$aleph$ _${0$인 경우 이 $연산자$는 X ${\displaystyle$ X$}$에 코핀라이트 토폴로지를 유도하고,$$${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$= 1 ${\$}인 경우 코코넛트 가능한 토폴로지를 유도한다$.$

특성.

• Since any Kuratowski closure is isotonic, and so is obviously any inclusion mapping, one has the (isotonic) Galois connection ${\displaystyle \langle \mathbf {c} :\wp (X)\to \mathrm {im} (\mathbf {c} );\iota :\mathrm {im} (\mathbf {c} )\hookrightarrow \wp (X)\rangle }$, providedone views ${\displaystyle \wp (X)}$as a poset with respect to inclusion, and ${\displaystyle \mathrm {im} (\mathbf {c} )}$ as a subposet of ${\displaystyle \wp (X)}$. Indeed, it can be easily verified that, for all ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ and ${\displays$$Tyle C\in$ ${\displaystyle \backslash }$$mathrm${$im$$} (\$${\displaystyle \mathrm{mathbf}}$ ${c}$ )$$, C${\displaystyle }$( $A{\displaystyle \mathbf{}}$) ${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle C}$ ${\$$displaystyle$ $\mathbf {c}$ ($A)\subseteq C}$인 경우에만 해당된다$.$
• $\{{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}{}_{}}$} ${\displaystyle i_{}}$ $∈$I {\$displaystyle \{A_{i}\}_{i\in$ {\$mathcal{$I}}}}}이$({\displaystyle \mathrm{}}$가) ${\displaystyle \wp (X)}$의 하위 패밀리인 경우$$, $\displaystyle \wp(X)},$,.
  $${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}\mathbf {c}\subseteq \mathbf {c}\left(\bigcup _{i\in {I}})}A_{i}\오른쪽),\qquad \mathbf {c} \왼쪽(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}})A_{i}\오른쪽)\subseteq \빅캡 _{i\in {\mathcal {I}\mathbf {c}(A_{i})}$$

  
• If ${\displaystyle A,B\in \wp (X)}$, then ${\displaystyle \mathbf {c} (A)\setminus \mathbf {c} (B)\subseteq \mathbf {c} (A\setminus B)}$.

닫힘 측면에서 위상학적 개념

세분화 및 하위 영역

A pair of Kuratowski closures ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}:\wp (X)\to \wp (X)}$ such that ${\displaystyle \mathbf {c} _{2}(A)\subseteq \mathbf {c} _{1}(A)}$ for all ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ induce topologies ${\displaystyle {\tau }_1}$${\displaystyle {}_{},}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}: $\tau {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ \ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle$ \$tau_{1}\puteq \tau_{2$ 그 반대의 경우$$.In other words, ${\displaystyle \mathbf {c} _{1}}$ dominates ${\displaystyle \mathbf {c} _{2}}$ if and only if the topology induced by the latter is a refinement of the topology induced by the former, or equivalently ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{1}]\sub$$seteq {\mathbak{S}[\mathbf {c} _{2$^[13] 예를 들어, c ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$${\$$displaystyle$$\mathbf$$${$c} _{\top }}}}}}$은$($후자는${\displaystyle \mathrm{}(}$ (${\displaystyle X}$ $)$에 있는 ID일 뿐) $\displaystysty \wp를 분명$하게 지배한다$.$Since the same conclusion can be reached substituting ${\displaystyle \tau _{i}}$ with the family ${\displaystyle \kappa _{i}}$ containing the complements of all its members, if ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ is endowed with the partial order ${\displaystyle \mathbf{c}\le {\mathbf{c}}^{\prime }⟺\mathbf{c}(A)\subseteq {}^{}}$${\displaystyle \mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} '(A)}$ for all ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ and ${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$ is endowed with the refinement order, then we may conclude that ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ is an antitonic 포지셋 간의 매핑

유도 위상(부분집합 A에 상대적)에서 폐쇄 세트는 A: $c{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle B}$ )${\displaystyle }$= A ∩${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle \mathbf {c} _{A}(B)=$로 제한된 원래 폐쇄 연산자일 뿐인 새로운 폐쇄 연산자를 유도한다.${\displaystyle A}$$\cap \mathbf {c} _{X}(B)}$ 모든 $B{\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle B\subseteq A$^[14]에 대한 $.$

연속적 지도, 폐쇄적 지도 및 동형상

A function ${\displaystyle f:(X,\mathbf {c} )\to (Y,\mathbf {c} ')}$ is continuous at a point ${\displaystyle p}$ iff ${\displaystyle p\in \mathbf {c} (A)\Rightarrow f(p)\in \mathbf {c} '(f(A))}$, and it is continuous everywhere iff

모든 하위 집합 $A{\displaystyle \mathrm{}}$for (${\displaystyle X}$) ${\displaystyle A\in \wp (X)}$에 대해 $.$^[15]지도화 $f{\displaystyle }${\$displaystyle f}$은 역포함도가 유지되는 경우 닫힌 맵이며$$,^[16] 연속적이고 닫힌 경우(즉, 평등이 유지되는 경우)인 경우 동형성이다.^[17]

분리 공리

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle c\mathbf{}}$) ${\displaystyle (X,\mathbf {c})}$은(는) 쿠라토프스키 폐쇄 공간이다$$.그러면

• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$이(가) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ne }$ y ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $x\neq$ y$}$을(를) 암시하는$$ 경우 T-공간으로₀, $c{\displaystyle \mathbf{}c\mathbf{}}$( { x${\displaystyle \}}$)$displaysty \mathbf {c}(\x\\})\neq \mathbf {c$^[18]
• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 모든${\displaystyle X}$에 대한$$ T-space₁ ifff $c{\displaystyle \mathbf{}(}${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \c}(\{x$$\}})=\x$$\}}}}$이다$.$^[19]
• X{X\displaystyle}은 T2-space iff)≠ y{\displaystyle x\neq y}가 있다는 것은 A∈ ℘(X)세트{\displaystyle A\in \wp(X)}은 x ∉ c(A){\displaystyle x\notin \mathbf{c}(A)}와 y∉ c(n()){\displaystyle y\notin \mathbf{c}(\mathbf{n}(A)등)존재하}, n{\di 것을 의미한다.$splaystyle \mathbf {n} }$은(^[20]는) 세트 보완 연산자다.

폐쇄성과 분리

$p{\displaystyle }$$$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle c\mathbf{}}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle p}는$ \mathbf {$c}(A)$인 $경우$ 부분 집합 A ${\displaystyle A}$에 가깝다$.$$}$ 이것은$$ 집합의 점 및 부분 집합에 대한 근접 관계를 정의하는 데 사용할 수 있다.^[21]

Two sets ${\displaystyle A,B\in \wp (X)}$ are separated iff ${\displaystyle (A\cap \mathbf {c} (B))\cup (B\cap \mathbf {c} (A))$$=\varnothing }$공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 분리된 두 하위 집합의 조합으로 쓸 수 없는 경우 연결된다.^[22]

참고 항목

• 위상학적 공간 범주의 특성
• 체치 폐쇄 연산자
• 폐쇄 연산자
• 폐쇄 대수
• 압류 연산자
• 프리토폴로지 공간
• 위상학적 공간 – 친밀도 개념의 수학 공간

메모들

참조

• Kuratowski, Kazimierz (1922) [1920], "Sur l'opération A de l'Analysis Situs" [On the operation A in Analysis Situs] (PDF), Fundamenta Mathematicae (in French), vol. 3, pp. 182–199, lay summary – Translation by Mark Bowron (2010) {{citation}}: Cite는 사용되지 않는 매개변수(도움말)를 사용한다.
• Kuratowski, Kazimierz (1966) [1958], Topology, vol. I, translated by Jaworowski, J., Academic Press, ISBN 0-12-429201-1, LCCN 66029221.
• Pervin, William J. (1964), Boas, Ralph P. Jr. (ed.), Foundations of General Topology, Academic Press, ISBN 9781483225159, LCCN 64-17796.
• Arkhangel'skij, A.V.; Fedorchuk, V.V. (1990) [1988], Gamkrelidze, R.V.; Arkhangel'skij, A.V.; Pontryagin, L.S. (eds.), General Topology I, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 17, translated by O'Shea, D.B., Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-64767-3, LCCN 89-26209.
• Monteiro, António (September 1943), "Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome" [Characterization of the operation of closure by a single axiom], Portugaliae mathematica (in French) (published 1945), vol. 4, no. 4, pp. 158–160, Zbl 0060.39406.

외부 링크

• 위상학적 공간의 대체특성화