카우치 공간

일반적인 위상과 분석에서 Cauchy 공간은 Cauchy 수렴의 개념이 여전히 타당성이 있는 미터법과 균일한 공간의 일반화다.코치 공간은 위상학적 공간의 완전성을 연구하기 위해 1968년 H. H. Keller에 의해 코치 필터의 아이디어에서 파생된 자명적인 도구로 도입되었다.Cauchy 공간과 Cauchy 연속 지도의 범주는 Cartesian closed이며, 근접 공간의 범주를 포함한다.

정의

전체적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은 ${\displaystyle \mathrm{집합}}$이고, is$$ ($$$X{\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{}}$) $displaystyle \wp (X$$)$는 X , ${\displaystyle$ X}의$$ $전원$ 집합을 나타내며, 모든$$ 필터는 적절/비감소(즉, 필터는 빈 집합을 포함하지 않을 수 있음)로 가정한다.

A Cauchy space is a pair ${\displaystyle (X,C)}$ consisting of a set ${\displaystyle X}$ together a family ${\displaystyle C\subseteq \wp (\wp (X))}$ of (proper) filters on ${\displaystyle X}$ having all of the following properties:

1. $각{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle x\in$ X$,}$에 대해 U${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$${\displaystyle$ x$,}$에 $표시$된 이산형 울트라필터는 C${\displaystyle }$. ${\displaystyle C$에 있다$$$.$$}$
2. $F$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle F\in C,}$ G ${\displaystyle G$$}$이(가) $적절한{\displaystyle }$ 필터이고${\displaystyle ,}$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle G,}$의 하위 집합이라면$$ G ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle G\in C.}$
3. $F{\displaystyle }$${\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F,G\in C}$ 및$$ F ${\displaystyle$ G$}$의 각 멤버가 G${\displaystyle }$, ${\displaystyle G,}$의 각 멤버와 교차할$$ 경우 $F$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle F\cap G\in C.}$

An element of ${\displaystyle C}$ is called a Cauchy filter, and a map ${\displaystyle f}$ between Cauchy spaces ${\displaystyle (X,C)}$ and ${\displaystyle (Y,D)}$ is Cauchy continuous if ${\displaystyle \uparrow f(X)\subseteq D}$; that is, the image of each Cauchy filter in ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$은(는) $Y{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ Y$.}$의 Cauchy 필터 베이스입니다.

속성 및 정의

임의의 Cauchy 공간도 융합 공간이며, F${\displaystyle \mathrm{if}}$ U ( ${\displaystyle x}$ ) $displaystyle F(x)}$이$($가) Cauchy인 경우$$ $필터{\displaystyle }$ F ${\displaystyle x}$에 수렴한다$$.특히 카우치 공간은 자연적인 위상을 지니고 있다.

예

• 모든 균일한 공간(모든 메트릭 공간, 위상 벡터 공간 또는 위상 그룹 포함)은 Cauchy 공간이다. 정의는 Cauchy 필터를 참조하십시오.
• 격자 주문 집단은 자연적인 코치 구조를 지니고 있다.
• Any directed set ${\displaystyle A}$ may be made into a Cauchy space by declaring a filter ${\displaystyle F}$ to be Cauchy if, given any element ${\displaystyle n\in A,}$ there is an element ${\displaystyle U\in F}$ such that ${\displaystyle U}$ is either a singleton or a subset of the tail ${\displaystyle \{m}$${\displaystyle \{m:m\geq$$$ Then given any other Cauchy space ${\displaystyle X,}$ the Cauchy-continuous functions from ${\displaystyle A}$ to ${\displaystyle X}$ are the same as the Cauchy nets in ${\displaystyle X}$ indexed by ${\displaystyle A.}$ If ${\displaystyle X}$ is complete, then such a function may be extended$A{\displaystyle }$${\displaystyle }$, ${\displaystyle A}$이(가) 완료되기까지, A${\displaystyle }$∪${\displaystyle }${ ${\displaystyle \mathrm{\infty }\};}$ ${\displaystyle$A\$cup \infit \};}$라고 쓰여질 수 있는 확장자 값은$$ $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaysty \infty }$이(가)의 제한이 될 것이다$$.In the case where ${\displaystyle A}$ is the set ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$ of natural numbers (so that a Cauchy net indexed by ${\displaystyle A}$ is the same as a Cauchy sequence), then ${\displaystyle A}$ receives the same Cauchy structure as the metric space ${\displaystyle \{1,1/2,1/3,}$${\displaystyle \{1,1/2,1/3,\ldots \}.$$}$

카우치 공간 카테고리

카우치 공간 사이의 형태주의에 대한 자연적인 개념은 이전에 균일한 공간에 대해 연구되었던 개념인 카우치-연속 함수의 개념이다.

참고 항목

• 위상학적 공간 범주의 특성
• 융합 공간 – 일반 위상에서 발견되는 융합 개념의 일반화
• 위상의 필터 – 모든 기본 위상학적 개념과 결과를 설명하고 특성화하기 위한 필터 사용.
• 프리토폴로지 공간
• 근접 공간 – 서브셋 사이의 "근접성" 개념을 설명하는 구조

참조

• 에바 로웬-콜레번더스(1989년). 뉴욕 데커, 1989년.
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.