근접공간

위상에서 근거리 공간이라고도 불리는 근접 공간은 위상학적 공간을 특징짓는 더 잘 알려진 점 대 설정 개념과는 반대로, 설정 대 설정(set-to-set)을 유지하는 직관적 개념의 공리화다.

이 개념은 프리게스 리에즈(1909)가 기술했지만 당시에는 무시했다.^[1]1934년 V. A. 에프레모비치(V. A. Efremovich)에 의해 극소수의 공간이라는 이름으로 재발견되고 공리화되었으나 1951년까지는 출판되지 않았다.그 사이 A. D. 월러스(1941)는 분리공간이라는 이름으로 같은 개념의 버전을 발견했다.

정의

근접 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \Delta }$) ${\displaystyle (X,\delta )}$은(는$)$ 다음 속성을$만족$하는 X {\$displaystyle$ X$}$의 부분 집합 사이에$$ $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$ 관계가 $설정$된 X {\displaysty X}이다.

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 하위 집합 $A{\displaystyle ,}$ B${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle A,B,C\subseteq$ X$}$에 대해

1. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\;\delta \;B}$는 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ {\$displaystyle B\;\delta \;;$를 의미한다.$A}$
2. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\;\delta \;B}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle A\neq \varnoth$}을(를) 의미한다$.$
3. ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \ne }$ {\$displaystyle A\cap$ B\neq $\varnothy}$은(는) ${\displaystyle A}$ B {\$displaystyle$A\;\$delta$\;$B}$을(를) 의미한다.
4. ${\displaystyle \Delta }$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle C}$) ${\displaystyle$ A$\;\delta \;(B\cupa C)}$는 (${\displaystyle }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle$ A$\;B}$ 또는$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystysty$ A$\;\delta \;C})$를 의미한다$.$
5. (모든 $E{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $E$$,}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle$ A$\;\delta \;E}$ 또는$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Delta }$(${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \setminus E}$) ${\displaystyle$ $B$$\;(X\setminus E$는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Delta }$ B ${\\\;\delta \;;B}$을 의미한다.

첫 번째 공리가 없는 근접성을 준근위라고 한다(그러나 그 다음 공리 2와 4는 양면적으로 진술해야 한다).

$만일{\displaystyle }$ A$$${\displaystyle \Delta }$ B ${\displaystyle$ A$\;\delta \;B}$이$($가) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 가깝다고$$ 가정하면, A$${\$displaystyle$$$$A}$과 B$$${\$$displaystystyle B$}이(가)가 근위부라고$$ 가정하고, 그렇지 않으면 $A{\displaystyle }$ ${\$dispar.We say ${\displaystyle B}$ is a proximal- or ${\displaystyle \delta }$-neighborhood of ${\displaystyle A,}$ written ${\displaystyle A\ll B,}$ if and only if ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle X\setminus B}$ are apart.

아래 나열된 이 집합 근린 관계의 주요 특성은 근접 공간의 대체 자명적 특성을 제공한다.

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 하위 집합 $A{\displaystyle ,}$ B${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle A,B,C,D\subseteq$ X$}$에 대해

1. $X\displaystyle X\ll X}$
2. ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\ll B}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$을(를) 의미한다$$.
3. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle Cd}$ D ${\displaystyle A\subseteq B\ll$ C$\subseteq D}$은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A\ll D}$을 의미한다$$.
4. (${\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\ll B}$ 및 $A$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\ll C$는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \cap }$ C ${\displaystyle A\ll B\cap C}$를 의미한다.
5. ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\ll B}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \setminus }$ A ${\displaystyle X\setminus B\ll X\setminus A}$을(를) 의미한다$$.
6. ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\ll B}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle E\ll }$ ${\displaystyle B}$. {\displaystyle A$\ll$ E$.}$과(와$)$ 같은$$ 일부 $E{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle E$$}$이(가) 있음을 의미한다.

근접공간은${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta \}}$ { y${\displaystyle \Delta }$} ${\displaystyle \{x\}\delta \;\{y$\}}}}이$($가$)$ $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$. ${\displaystyle x=y$}을(를) 내포하면$$ 구분공간이라고 한다.$}$

A proximity or proximal map is one that preserves nearness, that is, given ${\displaystyle f:(X,\delta )\to \left(X^{*},\delta ^{*}\right),}$ if ${\displaystyle A\;\delta \;B}$ in ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle f[A]\;\delta ^{*}\;f[B]$$}}$ in$$ $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$. ${\displaystyle$ X$^{*}}}$ 동등하게$$ 역 지도가 근위부 근위부를 보존하면 지도가 근위부(근위부)이다.In the same notation, this means if ${\displaystyle C\ll ^{*}D}$ holds in ${\displaystyle X^{*},}$ then ${\displaystyle f^{-1}[C]\ll f^{-1}[D]}$ holds in ${\displaystyle X.}$

특성.

근접공간이 주어진다면 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ { ${\displaystyle x}$: { x${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle A\}}$ ${\$A\$mapsto \left\{x\}\{x\\;\delta$\;;를 허용함으로써 위상을 정의할 수 있다.$A\right\}}$쿠라토프스키 폐쇄 교환원이다.근접공간이 분리되면 그 결과 위상은 하우스도르프(Hausdorff근접 지도는 유도된 위상들 사이에서 연속적으로 이루어질 것이다.

결과 위상은 항상 완전히 규칙적이다.이는 우리손의 보조마에서 흔히 볼 수 있는 증거를 모방하여 증명할 수 있으며, 근위부 마지막 특성을 이용하여 보조마 입증에 사용되는 무한증가 사슬을 만들어낼 수 있다.

콤팩트한 하우스도르프 공간이 주어진 경우, 해당 위상이 주어진 위상인 고유한 근접성이 있다.${\displaystyle }$닫힘이 교차하는 경우에만$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A}이$($가$$) B ${\displaystyle$ A$}$보다 일반적으로 근위부는 완전히 규칙적인 하우스도르프 공간의 컴팩트화를 분류한다.

균일한 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) $A{\displaystyle }$$$${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$이(가) 모든 수행자와 비어 있지 않은 교차로인$$ 경우에만$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 가깝다고 선언함으로써 근접 관계를 유도한다$$.균일하게 연속된 지도는 그 후 근사적으로 연속될 것이다.

참고 항목

• 카우치 공간
• 융합 공간 – 일반 위상에서 발견되는 융합 개념의 일반화
• 프리토폴로지 공간

참조

• Efremovič, V. A. (1951), "Infinitesimal spaces", Doklady Akademii Nauk SSSR, New Series (in Russian), 76: 341–343, MR 0040748
• Naimpally, Somashekhar A.; Warrack, Brian D. (1970). Proximity Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 59. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-07935-7. Zbl 0206.24601.
• Riesz, F. (1909), "Stetigkeit und abstrakte Mengenlehre", Rom. 4. Math. Kongr. 2: 18–24, JFM 40.0098.07
• Wallace, A. D. (1941), "Separation spaces", Ann. of Math., 2, 42 (3): 687–697, doi:10.2307/1969257, JSTOR 1969257, MR 0004756
• Vita, Luminita; Bridges, Douglas. "A Constructive Theory of Point-Set Nearness". CiteSeerX 10.1.1.15.1415. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)

외부 링크

• "Proximity space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]