토포스

수학에서 토포스(영국: /ttppss/, 미국: /totʊpo/s, ʊtɒp/s/, 복수 topoi /ʊtɔp or/ 또는 /ɒtɔp,/, 또는 토포스)는 위상 공간(또는 보다 일반적으로 사이트)에서 집합의 범주와 같은 행동을 하는 범주이다.Topoi는 집합의 범주처럼 동작하며 현지화 개념을 가지고 있습니다. 즉, 점 집합 ^[1]토폴로지의 직접적인 일반화입니다.그로텐디크 토포이는 대수기하학에서 응용 프로그램을 찾으며, 보다 일반적인 기본 토포이는 논리학에서 사용됩니다.

토포이를 연구하는 수학 분야를 토포스 이론이라고 한다.

그로텐디크 토포스(기하학 토포스)

1940년대 수학에 시브가 도입된 이후, 주요 주제는 공간 위에서 시브를 연구하면서 공간을 연구하는 것이었다.이 생각은 알렉산더 그로텐디크에 의해 "토포스"의 개념을 도입함으로써 설명되었다.이 개념의 주요 효용성은 위상 휴리스틱이 매우 효과적이지만 정직한 위상 공간이 부족한 수학에서 풍부한 상황에서 발견됩니다; 때때로 휴리스틱을 공식화하는 토포스를 찾을 수 있습니다.이 프로그램적 아이디어의 중요한 예는 계획의 예시적인 토폴로지이다.다른 수학적 상황의 "진수"를 구체화하는 그로텐디크 토포스의 능력에 대한 또 다른 예시는 매우 다른 언어로 쓰여졌지만 공통적인 ^[2]^[3]수학적 내용을 공유하는 이론을 연결하기 위한 가교로서의 사용에 의해 제시된다.

동등한 정의

그로텐디크 토포스는 다음 세 가지 특성 중 하나를 충족하는 카테고리 C입니다.(Jean Giraud의 정리에 따르면 아래의 성질은 모두 동등합니다.)

작은 범주 D와 유한한계 보존 왼쪽 인접을 허용하는 포함 C ↪ Presh(D)가 있다.
C는 그로텐디크 사이트의 시브 카테고리입니다.
C는 아래의 Giraud의 공리를 만족시킨다.

여기서 Presh(D)는 D에서 집합의 범주에 이르는 반변함수의 범주를 나타낸다. 이러한 반변함수는 종종 프리히프라고 불린다.

지로의 공리

카테고리 C에 대한 Giraud의 공리는 다음과 같습니다.

C는 작은 발전기 세트를 가지고 있으며 모든 작은 콜리밋을 허용합니다.또한 섬유제품은 공동생산물 이상으로 유통된다.즉, 집합 I, A에 대한 I-색인 공동 생산물 매핑 및 형태론 A' → A가 주어지면 풀백은 풀백의 I-색인 공동 생산물입니다.

\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A')

i

\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A')

I

\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A')

B

\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A')

i ) ×

\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A')

\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A')

\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A')

\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A')

(

\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A')

i ×

\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A')

)

\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A')

\

displaystyle

\

left

( \

coprod

_ {

i

}

B

_ {

i

} \

right

) \

times

_ {

A }

\

cong

\

rod _ i

（

B ）

C의 합계는 불연속이다.즉, X와 Y의 섬유제품이 C의 첫 번째 대상이다.
C의 모든 동등성 관계가 유효합니다.

마지막 공리는 가장 많은 설명이 필요하다.만약 X가 C의 물체라면, X의 "진도 관계" R은 C의 물체 Y에 대해 유도된 지도 Hom(Y, R) → Hom(Y, X) × Hom(Y, X)은 집합 X의 상등가 관계를 제공하도록 지도 R → X × X이다.C는 콜리밋을 가지므로 두 맵 R → X의 등화기를 형성할 수 있다. 이것을 X/R이라고 한다.등가 관계는 표준 맵이 다음과 같은 경우 "유효"합니다.

R\to X\times_{X/R}X,\!

는 동형사상입니다.

예

지로의 정리는 이미 "현장에서의 면도기"를 완전한 예시 목록으로 제공한다.단, 무가 사이트는 종종 동등한 토포이(topoi)를 발생시킨다.서론에서 알 수 있듯이, 일반적인 위상 공간에서의 층은 토포스 이론의 많은 기본적인 정의와 결과에 동기를 부여한다.

집합 및 G 집합의 범주

집합의 범주는 중요한 특수한 경우로, 토포스 이론에서 요점 역할을 합니다.사실, 집합은 하나의 개체와 동일성 형태론만을 가진 싱글톤 범주에서 함수는 집합 범주에서 특정 집합이기 때문에 하나의 집합으로 생각될 수 있다.

마찬가지로 $그룹$ G에는 G $(디스플레이 스타일$ G $)$ 의 $G$ $G$ $G$ 에 해당하는 $토포스$ $(디스플레이 스타일$ BG $)$ 가 $BG$ 있습니다.우리는 이것을 하나의 오브젝트로 카테고리에 프리시브의 카테고리로 구성하지만, 현재는 그룹 $G$ 가 모피즘 세트를 부여하고 있습니다 $G$ 펑터는 타겟에 G $\display style$ G $\$ 을 부여해야 하므로, 이것은 G $\display$ G $\$ 의 $G$ 카테고리를 부여합니다.마찬가지로 ${\mathcal {G}}$ G $({$ style {\ $mathcal {G})$ 의 경우 G ${\mathcal {G}}$ $({$ ${\$ $mathcal$ ${G$ $}})$ 의 ${\mathcal {G}}$ 프리히브 카테고리는 $G(\$ displaystyle {G ${\mathcal {G}}$ 의 객체 집합에 의해 색인화된 집합이 제공되며 $,$ G(\ $displaystyle$ {\ $mathcal {G})$ 의 ${\mathcal {G}}$ 객체의 자기동형이 작용한다.함수의 표적에 맞춰야 합니다

링 모양의 공간에서 토포이

좀 더 이국적인 예와 토포스 이론의 존재 이유는 대수 기하학에서 나온다.토포의 기본적인 예는 계획의 Zariski 토포스에서 나온 것이다.각 $스킴$ X(\ $displaystyle$ X $)$ 에 $X$ 대해 프리히브의 카테고리가 Zarisksi topos $(X)_{Zar}$ )를 형성하는 사이트 $($ $displaystyle(X)_{Zar$ X $)$ 이 있지만 일단 구분된 형태 클래스로 간주됩니다.여기에 비수치 수학으로 이어지는 이것의 여러 일반화가 있다.게다가, 토포이는 순수하게 대수의 범주에서 함수로서 체계를 연구하기 위한 기초를 제공한다.

스킴 및 스택에 대해서는 에테일의 토포, fppf 토포 또는 Nisnevich 토포스를 연관지을 수 있습니다.토포스의 또 다른 중요한 예는 결정성 부위의 것이다.에테일 토포스의 경우, 이것들은 아나벨 기하학에서 기초적인 연구 대상을 형성하며, 대수기하학에서 완전히 에테일 기본 그룹의 구조에 의해 결정되는 객체를 연구한다.

병리

토포스 이론은 어떤 의미에서는 고전적인 포인트 집합 토폴로지의 일반화이다.따라서 병리학적 행동의 오래된 사례와 새로운 사례를 볼 수 있을 것으로 예상해야 한다.예를 들어, 포인트가 없는 사소한 토포스의 Pierre Deligne에 의한 예가 있습니다(토포스의 점 정의는 아래 참조).

기하학적 형태

X $(\displaystyle$ X $)$ 와 $X$ Y $(\displaystyle$ Y $)$ 가 $Y$ topoi인 $경우$ 기하학적 $u:X\to Y$ u: $u:X\to Y$ $u:X\to Y$ $(\display$ u: $X\to$ Y)는 $u:X\to Y$ 유한한 한계를 유지하는 인접^∗ 함수 쌍^∗(u_∗,u^∗)이다_∗.콜리밋은 올바른^∗ 인접관계에 의해 자동으로 유지된다는 점에 주의해 주세요.

Freyd의 부함수 정리에 따르면, 기하학적 형태론 X → Y를 주는 것은 유한 한계와 모든 작은 콜리밋을 보존하는 함수^∗ u: Y → X를 주는 것이다.따라서 토포이 사이의 기하학적 형태는 로케일 지도의 유추로 볼 수 있다.

X $(\displaystyle$ X $)$ 와 $X$ Y $(\displaystyle$ Y $)$ 가 $Y$ 토폴로지 $u$ 이고u(\ $displaystyle$ ${\text{Open}}(X),{\text{Open}}(Y)$ u)가 $u$ 연속 맵인 $경우$ 시브에서의 풀백 및 푸시포워드 연산은 사이트 $X$ $(Y)$ 의 관련 토포이 간에 기하학적 형태학을 생성합니다 $.$ ${Open}}(Y$

토포이의 포인트

$X$ 의 점( $style$ X $)$ 은 $X$ 집합의 topos에서 X $(style$ X $X$ 까지의 기하학적 몰피즘으로 정의됩니다.

X가 보통 공간이고 X가 X의 점이라면, F를 줄기_x F로 가져가는 펑터는 오른쪽 인접함수('스카이빌딩 시프' 펑터)를 가지므로 X의 보통점도 위상점을 결정한다.이들은 연속 맵 x: 1 → X를 따라 풀백 포워드로 구성될 수 있습니다.

$X$ 의 $X$ 에탈 토포스 $(X)_{et}$ $(X)_{et}$ t $(X)_{et}$ t t t t $style$ $(X)_{et})$ 에 $(X)_{et}$ 대해서는, 포인트는 오브젝트를 조금 더 세련되게 표현했습니다. $x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X$ x : $x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X$ ( $x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X$ ( $x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X$ ) $x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X$ $x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X$ $X$ 의 $X$ $x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X$ $X$ ( \ $displaystyle$ x : { \ $text$ { $Spec }$ \ $to$ X ) $x'$ 、 Topos $(X)_{et}$ ( $(X)_{et}$ ) $(X)_{et}$ $、$ \ $displaystyle$ $( X$ ) $(X)_{et}$ $}} t$ ′ ′ {\ {\ {\ extension $extension$ extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension extension $tyle \kappa (x)}$ 관련 $\kappa (x)$ $x':{\text{Spec}}(k)\to X$ $x':{\text{Spec}}(k)\to X$ : $x':{\text{Spec}}(k)\to X$ ( $x':{\text{Spec}}(k)\to X$ ) $x':{\text{Spec}}(k)\to X$ \ $display style$ x $':$ $원본$ $포인트$ x(\ $displaystyle$ x $x$ 를 통해 {\text ${Spec}(k)\to$ X $}$ 개의 $x':{\text{Spec}}(k)\to X$ 요소를 지정합니다 $.$ 그러면 인수분해 맵은

$\displaystyle\text{Spec}(k)에서\text{Spec}(\kappa(x))로}$

스킴의 에탈 형태입니다.

더 정확히 말하면, 그것들은 글로벌 포인트입니다.단순하지 않은 토포에는 토포의 공간적인 측면이 없을 수 있기 때문에 토포 자체는 토포의 공간적인 측면을 표시하기에 적합하지 않습니다.일반화 점은 토포스 Y(정의 단계)에서 X까지의 기하학적 형태이다.공간적인 면모를 보여주기에 충분한 양입니다.예를 들어 X가 기하학 이론 T를 분류하는 토포스 S[T]인 경우, 보편적 특성은 점들이 (정의 Y의 모든 단계에서) T의 모델이라고 말한다.

기본 기하학적 형태

기하학적 형태론(u^∗,u_∗)은 u가 더 왼쪽_! 인접 u를 가지면^∗ 필수적이며, u가 유한할 뿐만 아니라 모든 작은 한계를 유지한다면^∗ (부속함수 정리에 의해) 등가한다.

고리형 토포이

링형 토포스는 쌍(X,R)입니다.여기서 X는 토포, R은 X의 교환환 객체입니다.고리형 공간의 시공은 대부분 고리형 토포이를 거친다.X에서 R-모듈 객체의 범주는 충분한 주입을 가진 아벨 범주이다.보다 유용한 아벨 범주는 준 일관 R-모듈의 하위 범주이다. 이것은 프레젠테이션을 허용하는 R-모듈이다.

링형 공간 외에 링형 토포이의 또 다른 중요한 클래스는 델리그네-뭄포드 스택의 에테일 토포이이다.

토포이의 호모토피 이론

Michael Artin과 Barry Mazur는 토포스의 기초가 되는 사이트에 친단순한 ^[4]세트(호모토피까지)를 관련지었다.(Ho(pro-SS)에서 고려하는 것이 좋다; Edwards 참조) 이 단순 집합의 역체계를 사용하면 고전 위상의 호모토피 불변량과 가끔 연관될 수 있다.계획의 에테일 토포스와 관련된 친단순 집합의 연구는 에테일 호모토피 ^[5]이론이라고 불린다.좋은 경우(스킴이 Noetherian이고 기하학적으로 단분지일 경우), 이 친단순 집합은 프로 유한이다.

기본 topoi(논리의 topoi)

서론

20세기 초부터, 수학의 지배적인 공리적인 기초는 모든 수학적 사물이 집합으로 궁극적으로 표현되는 집합 이론이 되어 왔다.범주 이론의 보다 최근의 연구는 토포이(topoi)를 사용하여 이 기초를 일반화할 수 있게 한다; 각 토포는 완전히 그들만의 수학적 프레임워크를 정의한다.집합의 범주는 친숙한 토포스를 형성하며, 이 토포스에서 작업하는 것은 전통적인 집합 이론 수학을 사용하는 것과 같습니다.하지만 대신 많은 대체 토포이들과 일하는 것을 선택할 수 있다.선택 공리의 표준 공식은 모든 토포스에서 타당하며, 그것이 무효인 토포이가 있다.구성주의자들은 배제된 중간 법칙 없이 토포스에서 일하는 것에 관심을 가질 것이다.특정 그룹 G의 대칭성이 중요한 경우 모든 G 집합으로 구성된 토포스를 사용할 수 있습니다.

그룹 이론과 같은 대수 이론을 분류 토포스의 형태로 부호화하는 것도 가능하다.이론의 개별 모델, 즉 이 예의 그룹은 인코딩 토포스에서 토포 구조를 존중하는 집합의 범주에 이르는 함수에 대응한다.

형식적 정의

기본 작업에 사용될 때 토포스는 공리적으로 정의될 것이다; 집합론은 토포스의 특별한 경우로 취급된다.범주 이론에서 구축한 토포에는 여러 가지 동등한 정의가 있습니다.다음은 간결하다는 장점이 있습니다.

Topos는 다음 두 가지 속성을 가진 범주입니다.

유한 지수 범주에 대한 모든 제한이 존재합니다.
모든 물체는 파워 객체를 가지고 있다.이것은 집합론에서 파워셋의 역할을 한다.

형식적으로 $객체$ X({ $displaystyle$ X $})$ 의 $X$ 멱승 객체는 X ${\ni _{X}}\subseteq PX\times X$ P ${\ni _{X}}\subseteq PX\times X$ X × $({X})\subseteq PX\TIMES$ 와의 쌍 $PX,$ PX,\ $ni$ _ ${X$ $})$ 으로 $(PX,\ni_X)$ , 다음과 같이 분류됩니다. $첫$ 번째 주의 $I$ $모든$ $I$ 에 대해 $r\colon I\to PX$ r: I $r\colon I\to PX$ $r\colon I\to PX$ X (\ $display style$ r $\to$ PX $)$ ("하위 집합 패밀리")는 서브 $\{(i,x)~|~x\in r(i)\}\subseteq I\times X$ 오브젝트 $i$ , x ) $\{(i,x)~|~x\in r(i)\}\subseteq I\times X$ r ( $\{(i,x)~|~x\in r(i)\}\subseteq I\times X$ ) $\{(i,x)~|~x\in r(i)\}\subseteq I\times X$ ⊆x $\{(i,x)~|~x\in r(i)\}\subseteq I\times X$ × X ( \ display $style$ \ { $($ i , x ) \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x )\ x \ $in （$ \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x ) $r\times X:I\times X\to PX\times X$ $ni$ _ ${X}:$ $r\times X:I\times X\to PX\times X$ × $r\times X:I\times X\to PX\times X$ $r\times X:I\times X\to PX\times X$ × $r\times X:I\times X\to PX\times X$ $r\times X:I\times X\to PX\times X$ $r\times X:I\times X\to PX\times X$ X × $r\times X:I\times X\to PX\times X$ X {\ $style$ r $\times$ X $:$ $I\times$ X\ $times PX$ X $.$ 멱함수 물체의 보편적 특성은 모든 관계가 이와 같이 발생하며, $R\subseteq I\times X$ $x$ I $R\subseteq I\times X$ X (\ $displaystyle$ R\ $subseteq I\$ times $R\subseteq I\times X$ I $\times$ $r\colon I\to PX$ 와 $형태론$ R $r\colon I\to PX$ $r\colon I\to PX$ X $(\displaystyle$ R $\$ $time$ r\to.X).

유한한 한계와 파워 오브젝트로부터 다음과 같은 것을 도출할 수 있다.

유한 지수 범주를 넘겨받은 모든 조건들이 존재합니다.
범주에는 하위 개체 분류자가 있습니다.
범주는 데카르트 마감입니다.

일부 응용 프로그램에서는 하위 개체 분류자의 역할이 중추적인 반면, 파워 개체는 중추적이지 않습니다.따라서 일부 정의는 정의되는 것과 파생되는 것의 역할을 반대로 합니다.

논리 함수

논리함수는 유한한 한계와 검정력 객체를 보존하는 토포즈 사이의 함수입니다.논리 함수는 토포스가 가진 구조를 보존합니다.특히 유한 콜리밋, 서브오브젝트 분류자 및 지수 ^[6]객체를 유지합니다.

설명.

위에서 정의한 토포스는 객체의 서브오브젝트 개념이 기본 또는 1차 정의를 갖는 데카르트 닫힌 카테고리로 이해할 수 있다.이 개념은 집합의 부분집합, 그룹의 부분군, 그리고 보다 일반적으로 대수 구조의 하위대수의 개념에 대한 자연스러운 범주적 추상화로서 토포스의 개념보다 앞선다.이는 2차 언어, 즉 다음과 같이 개별 형태소 대신 형태소 클래스의 관점에서 토포이뿐만 아니라 모든 범주에서 정의 가능하다.각각 Y와 Z에서 X까지의 두 개의 monics m, n이 주어졌을 때, 우리는 np = m인 형태론 p: Y → Z가 존재할 때 m ≤ n이라고 말하며, X에 대한 monics에 대한 사전 순서를 유도한다.m µn과 n µm의 경우 m과 n은 동등하다고 합니다.X의 서브오브젝트는 그 서브오브젝트에 대한 Monic의 결과 동등성 클래스입니다.

토포스에서 "하위 객체"는 적어도 암묵적으로 다음과 같은 1차 개념이 된다.

위에서 설명한 바와 같이 토포스는 모든 유한한계, 특히 공한계 또는 최종 객체 1을 가진 카테고리 C입니다.그러면 x: 1 → X 형태의 형태소를 요소 x x X로 취급하는 것이 자연스럽다.형태소 f: X → Y는 각 요소 x x X를 요소 fx y Y에 매핑하는 함수에 대응하며, 구성에 의해 응용이 실현된다.

그런 다음 X의 하위 개체를 동일한 이미지 {mx x ∈ X ∈ X }를 갖는 monics m: X → X의 등가 클래스로 정의하는 것으로 생각할 수 있습니다.단, 두 개 이상의 형태소가 동일한 함수에 해당할 수 있습니다. 즉, 함수 C(1,-): C → 집합이 충실하다는 의미에서 C가 구체적이라고 가정할 수 없습니다.예를 들어 그래프와 그와 관련된 동형사상의 범주 Grph는 최종 객체 1이 하나의 정점과 하나의 엣지를 가진 그래프(셀프 루프)인 토포스이지만 그래프 G의 요소 1 → G는 다른 엣지 또는 자기 엣지가 없는 정점에만 대응하기 때문에 구체적이지 않다.2차 정의는 G와 G의 모든 자기 루프의 서브 그래프를 (정점이 있는) G의 구별되는 서브 오브젝트(모든 가장자리와 모든 정점이 자기 루프를 가지지 않는 한)로 만드는 반면, 이 이미지 기반 정의에서는 그렇지 않다.이 문제는 아래의 추가 예 섹션에서 설명한 바와 같이 Yoneda Lemma를 통해 그래프 예제와 관련 예제에 대해 해결할 수 있지만, 이 예제는 1차 예제가 되지 않습니다.Topoi는 보다 추상적이고 일반적이며 1차적인 솔루션을 제공합니다.

f에 따른 일반 서브 오브젝트 t의 풀백으로 그림 1.m.

전술한 바와 같이 토포스 C는 그림 1과 같이 각 모노믹 m:X → X가 고유 형태주의 f:X → → ,에 따라 범용 서브 오브젝트의 풀백으로서 발생하는 성질을 갖는 C의 범용 서브 오브젝트 분류기 an, 즉 C의 범용 서브 오브젝트인 C의 오브젝트 ,를 가진다.이제 모니크의 풀백은 모노크이며, t를 포함한 모든 원소는 모노크이다. 왜냐하면 어떤 물체에서 1로의 형태소만 존재하기 때문이다. 여기서 f:X → δ에 따른 t의 풀백은 모노크이기 때문이다.따라서 X에 대한 모노릭은 X에서 δ에 이르는 형태소를 따라 t의 풀백과 함께 분사된다.후자의 형태론은 각각 형태론 f: X → δ에 의해 결정되는 균등성 클래스로 나뉘는데, 우리는 이것을 f에 의해 특징지어지거나 명명된 X의 하위 객체로 받아들인다.

이 모든 것은 구체적이든 아니든 모든 토포에 적용된다.구체적인 경우, 예를 들어 집합의 범주인 C(1,-)충실성은 기능의 익숙한 동작으로 감소한다.여기서 m:Xθ → X는 Xθ에서 X로의 주입(일원 기능)을 정확히 나타내며, 소정의 화상 {mx x θ X δ }을 가지는 것은 f(t)가⁻¹ 되는 형태론 f:X → δ δ에 대응하는 X의 서브 오브젝트를 구성한다.서브오브젝트의 모니크는 일반적으로 많은 도메인을 가지지만 이들 도메인은 모두 서로 분사를 합니다.

요약하자면, 이 서브오브젝트 분류자의 1차 개념은 토포스에 대해 이전에 모든 카테고리에 대해 서브오브젝트의 2차 개념에 의해 명시적으로 정의되었던 것과 X에 대한 동일한 동등성 관계를 암묵적으로 정의한다.형태소의 클래스에 대한 동등성 관계의 개념은 본질적으로 2차이며, 이것은 하위 객체 분류기 δ의 개념만을 명시적으로 정의함으로써 토포스의 정의를 깔끔하게 회피하고, X의 하위 객체의 개념을 연관된 형태론에 의해 특징지어지는 암묵적인 결과로서 남겨둔다: X → δ.

추가 예시와 비예시

모든 그로텐디크 토포스는 기본 토포이지만, 그 반대가 사실이 아닙니다(모든 그로텐디크 토포스는 기본 토포스에서 필요하지 않습니다).

유한 집합, 유한 G 집합(유한 집합 위의 그룹 G의 작용) 및 유한 그래프의 범주는 그로텐디크 토포이가 아닌 기본 토포이이다.

C가 작은 범주인 경우 펑터 범주^C 세트(C에서 집합까지의 모든 공변량 함수로 구성되고 형태 변환으로 자연 변환됨)는 토포스가 됩니다.예를 들어, 두 꼭지점 사이에 여러 개의 방향 엣지를 허용하는 종류의 그래프의 범주 Grph는 토포스이다.이러한 그래프는 에지 집합과 정점 집합, 그리고 이들 집합 사이의 두 가지 함수 s,t로 구성되어 모든 에지 e에 소스 s(e)와 타깃 t(e)를 할당합니다.따라서 Grph는 펑터 범주^C 집합과 동일하며, 여기서 C는 두 개의 물체 E와 V와 각 가장자리의 소스 및 대상을 제공하는 두 개의 형태소 s,t: E → V를 가진 범주이다.

Yoneda lema는 C가 세트에 전체^C 하위 범주로 포함된다고^op 주장합니다.그래프 예에서 임베딩은 2개의 객체가 1개의 버텍스 비엣지 그래프로서 V'와^C 2개의 버텍스 1개의 엣지 그래프로서 E'인 집합의 서브카테고리로서 C를 나타내며^op, 2개의 비동일성 모르피즘은 V'에서 E'까지의 2개의 그래프 동형사상(둘 다 자연 변환)이다.V'에서 임의의 그래프(함수) G로의 자연 변환은 G의 정점을 구성하는 반면, E'에서 G까지의 자연 변환은 G의 가장자리를 구성한다.Grph로 식별할 수 있는 Set은 V'와 E'만으로 구체화된 것은 아니지만^C, 펑터 U: Grph → 물체² G를 한 쌍의 집합(Grph(V', G), Grph(E', G)로 보내고 형태론 h: G → H를 한 쌍의 함수로 설정(Ph')한다.즉, 그래프의 형태론은 한 쌍의 함수로 이해될 수 있으며, 하나는 꼭지점을 매핑하고 다른 하나는 모서리를 매핑하며, 애플리케이션은 여전히 구성으로 실현되지만, 이제는 여러 종류의 일반화된 요소를 가지고 있다.이는 객체가 기본 집합을 갖는 개체로서 구체적인 범주의 전통적인 개념은 객체가 여러 개의 기본 집합을 가질 수 있도록, 즉 멀티 정렬할 수 있도록 함으로써 보다 광범위한 토포이 범위를 충족하도록 일반화할 수 있음을 보여준다.

포인트 보존 기능이 있는 포인트 세트의 범주는 파워 오브젝트가 없기 때문에 토포스가 아닙니다. $P$ X $(\displaystyle$ PX)가 $PX$ 포인트 $세트$ X(\ $displaystyle$ X $X$ 의 파워 $1$ 이고 $1$ (\ $displaystyle$ 1)이 $1$ 포인트 싱글톤이라면 $r\colon 1\to PX$ 보존 $r\colon 1\to PX$ r $r\colon 1\to PX$ 1 $r\colon 1\to PX$ $r\colon 1\to PX$ X $(\$ displaystyle 1)만 존재합니다. $displaystyle$ r $\colon$ 1 $\to$ PX $r\colon 1\to PX$ 단 $1\times X$ 1 × $1\times X$ (\ $displaystyle$ 1 $\times$ X)의 $1\times X$ 관계는 X $(\displaystyle$ X $X$ 의 포인트 서브셋과 같습니다.아벨 그룹의 범주 또한 토포스가 아닙니다. 비슷한 이유로, 모든 군 동형사상은 0에서 0으로 매핑되어야 합니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 일루시 2004
^ Caramello, Olivia (2016). Grothendieck toposes as unifying `bridges' in Mathematics (PDF) (HDR). Paris Diderot University (Paris 7).
^ Caramello, Olivia (2017). Theories, Sites, Toposes: Relating and studying mathematical theories through topos-theoretic `bridges. Oxford University Press. doi:10.1093/oso/9780198758914.001.0001. ISBN 9780198758914.
^ Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). Etale homotopy. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 100. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0080957. ISBN 978-3-540-36142-8.
^ Friedlander, Eric M. (1982), Étale homotopy of simplicial schemes, Annals of Mathematics Studies, vol. 104, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08317-9
^ 맥라티 1992, 페이지 159

레퍼런스

점잖은 종이 몇 장

Edwards, D.A.; Hastings, H.M. (Summer 1980). "Čech Theory: its Past, Present, and Future". Rocky Mountain Journal of Mathematics. 10 (3): 429–468. doi:10.1216/RMJ-1980-10-3-429. JSTOR 44236540.
Baez, John. "Topos theory in a nutshell". 부드러운 소개
스티븐 비커스: "토포스는 레즈너울을 붓는다"와 "토포스는 레즈비멘트를 붓는다"일반화된 공간으로 토포즈하기 위한 기초적인, 그리고 더 기초적인 소개.
Illusie, Luc (2004). "What is...A Topos?" (PDF). Notices of the AMS. 51 (9): 160–1.

다음 텍스트는 토포스와 범주 이론의 기초에 대한 간단한 소개입니다.수학 논리와 집합론을 잘 모르는 사람들, 심지어 비수학자들에게도 적합해야 한다.

Lawvere, F. William; Schanuel, Stephen H. (1997). Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-47817-5. 컴퓨터 과학자, 논리학자, 물리학자, 언어학자 등을 위한 카테고리 소개(표지에서 인용).
Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2003). Sets for Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01060-3. 범주적 관점에서 수학의 기초를 소개합니다.

Grottendick:

Grothendieck, A.; Verdier, J.L. (1972). Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas. Lecture notes in mathematics. Vol. 269. Springer. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-37549-4. Tome 2 270 doi: 10.1007/BF0061319 ISBN 978-3-540-37987-4

다음 논문들은 토포스 이론의 일부 또는 전부를 포함하고 있지만, 주로 초급생들을 위한 것은 아니다.난이도가 높아지는 순서대로 기재되어 있습니다.

McLarty, Colin (1992). Elementary Categories, Elementary Toposes. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-158949-2. 카테고리 이론, 토포스 이론, 토포스 논리의 기초에 대한 훌륭한 소개.전제조건이 거의 없다고 가정합니다.
Goldblatt, Robert (2013) [1984]. Topoi: The Categorial Analysis of Logic. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-31796-0. 시작이 좋다.Robert Goldblatt의 홈페이지에서 온라인으로 입수할 수 있습니다.
Bell, John L. (2001). "The Development of Categorical Logic". In Gabbay, D.M.; Guenthner, Franz (eds.). Handbook of Philosophical Logic. Vol. 12 (2nd ed.). Springer. pp. 279–. ISBN 978-1-4020-3091-8. 버전은 John Bell의 홈페이지에서 온라인으로 입수할 수 있습니다.
MacLane, Saunders; Moerdijk, Ieke (2012) [1994]. Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory. Springer. ISBN 978-1-4612-0927-0. 보다 완전하고 읽기 어렵다.
Barr, Michael; Wells, Charles (2013) [1985]. Toposes, Triples and Theories. Springer. ISBN 978-1-4899-0023-4. (온라인 버전).기하학이나 논리학에서 쉐이브스보다 간결하지만 초보자에게는 어렵다.

레퍼런스 , 첫 소개에는 하지 않음

Edwards, D.A.; Hastings, H.M. (1976). Čech and Steenrod homotopy theories with applications to geometric topology. Lecture Notes in Maths. Vol. 542. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0081083. ISBN 978-3-540-38103-7.
Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra: Volume 3, Sheaf Theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 52. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44180-3. 존스톤이 이름 붙인 "보르소의 놀라운 매그넘 작품"의 세 번째 부분.서론으로서도 적합하지만, 초심자는 주어진 방대한 양의 자료 중에서 가장 적절한 결과를 알아채기 어려울 수 있습니다.
Johnstone, Peter T. (2014) [1977]. Topos Theory. Courier. ISBN 978-0-486-49336-7. 오랫동안 토포스 이론의 표준 요약본이었다.하지만, 존스톤조차도 이 작품을 "너무 읽기 어렵고, 마음이 약한 사람들에게는 그렇지 않다"고 묘사한다.
Johnstone, Peter T. (2002). Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. Vol. 2. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851598-2. 2010년 초, 이 압도적 요약본의 예정된 세 권 중 두 권을 이용할 수 있었다.
Caramello, Olivia (2017). Theories, Sites, Toposes: Relating and studying mathematical theories through topos-theoretic `bridges. Oxford University Press. doi:10.1093/oso/9780198758914.001.0001. ISBN 9780198758914.

토포스 이론의 특수한 응용을 대상으로 한 서적

Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter; Rota, G.C., eds. (2004). Categorical Foundations: Special Topics in Order, Topology, Algebra, and Sheaf Theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83414-8. 흥미로운 특수 응용 프로그램이 많이 포함되어 있습니다.

[Illusie2004-1] 일루시 2004

[2] Caramello, Olivia (2016). Grothendieck toposes as unifying `bridges' in Mathematics (PDF) (HDR). Paris Diderot University (Paris 7).

[3] Caramello, Olivia (2017). Theories, Sites, Toposes: Relating and studying mathematical theories through topos-theoretic `bridges. Oxford University Press. doi:10.1093/oso/9780198758914.001.0001. ISBN 9780198758914.

[4] Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). Etale homotopy. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 100. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0080957. ISBN 978-3-540-36142-8.

[5] Friedlander, Eric M. (1982), Étale homotopy of simplicial schemes, Annals of Mathematics Studies, vol. 104, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08317-9

[McLarty1992-6] 맥라티 1992, 페이지 159

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v t 수학 기초의 주요 토픽
수리논리	페아노 공리 수학적 귀납 정식 시스템 공리 체계 힐베르트 시스템 자연공제 수학적 증명 모델 이론 수학적 구성주의 모달 논리 수리논리 토픽 목록
집합론	세트 순진한 집합론 공리 집합론 체르멜로 집합론 체르멜로-프랭켈 집합론 구성 집합론 기술 집합론 결정성 러셀의 역설 집합론 토픽 목록
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목차

그로텐디크 토포스(기하학 토포스)

동등한 정의

지로의 공리

예

집합 및 G 집합의 범주

링 모양의 공간에서 토포이

병리

기하학적 형태

토포이의 포인트

기본 기하학적 형태

고리형 토포이

토포이의 호모토피 이론

기본 topoi(논리의 topoi)

서론

형식적 정의

논리 함수

설명.

추가 예시와 비예시

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기본 기하학적 형태

고리형 토포이

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기본 topoi(논리의 topoi)

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