기하학 논리

수리 논리학에서 기하학 논리학은 논리 정합성의 무한 일반화이며 이론적으로 다루기 쉬운 스콜렘으로 인한 1차 논리의 제한이다.기하학 논리는 많은 수학 이론을 표현할 수 있고 토포스 이론과 밀접한 관련이 있다.

정의들

1차 논리 이론은 of $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ 、 $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ 、 $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ ∨ $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ 、 $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ i $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ j $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ J $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ j , $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ 、 1 ∨ $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ 、 $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ j , $m$ j $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ 、 $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ j \ display $style$ \ $bigwedge _ i$ \ $in \$ i } _ $phi 형식$ 의 공리만 사용하여 공리화 할 수 있다면 기하학적 이론이다. $m_{j}}$ 여기서 $\bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}$ I와 J는 각각 무한할 수 있는 공식 지수의 분리된 집합이고 공식 ^{[citation needed]}θ는 원자의 원자 또는 부정이다.만약 모든 공리가 유한하다면(즉, 각 공리에 대해 I와 J는 유한하다), 이론은 일관성이 있다.

정리

모든 1차 이론은 일관성 있는 보수적 ^{[citation needed]}확장을 가지고 있다.

중요성

Dykhoff & Negri(2015)는 위 정리의 중요성을 설명하는 8가지 결과를 열거한다(각주 및 대부분의 참조 생략).^[1]

G3c와 같은 순차적 미적분학의 맥락에서 공리로서의 특별한 일관성 있는 함축은 구조 규칙(약화, 수축 및 절단)의 허용성에 영향을 미치지 않고 직접 추론 규칙으로 변환할 수 있다.
비슷한 용어로 일관성 있는 이론은 "원자 공식만이 중요한 역할을 하는 특정한 단순한 형태로 자연적 추론 규칙에 의해 표현될 수 있는 이론"이다.
일관성 있는 함축은 글리벤코 클래스를 제공하는 시퀀스를 형성합니다.이 경우, 1차 Bar's 정리로 알려진 결과는 각 Ii: 0≤i isn이 일관성 있는 함의이고 순차 I1, ..., I0이 고전적으로 증명될 수 있다면 직관적으로 증명될 수 있음을 나타낸다.
일관성/기하학 이론에는 많은 예가 있다: 군 이론과 고리 이론과 같은 모든 대수 이론, 범주 이론, 장 이론, 국소 고리 이론, 격자 이론, 사영 기하학,개별적으로 닫힌 국소환 이론(일명 "엄격 헨젤리안 국소환") 및 비틀림 아벨군의 무한 이론
일관성/기하학 이론은 토포이 사이의 기하학적 형태를 따라 풀백함으로써 보존된다(Maclane & Moerdijk 1992, X장).
일관성 이론 T의 모델 집합에서 필터링된 콜리밋도 T의 모델이다.
특별한 일관성 있는 의미 δx.C d D는 논리 프로그래밍에서 혼 절을 일반화한다. 여기서 D는 원자의 분리가 가능한 분리 논리 프로그램의 "장단"을 일반화한다.
일관성 있는 이론에 대한 효과적인 정리 증명은 (해결에 관해) 상대적인 용이성과 명확성을 가지고 자동화될 수 있다.Bezem et al이 지적한 바와 같이...스콜렘화(새로운 함수 기호 도입)의 부재는 실제 어려움이 아니며, 클래설 형식으로 변환되지 않음으로써 일반적인 수학적 논거 구조를 더 잘 유지할 수 있다.

메모들

^ Dykhoff & Negri (2015), 페이지 124-125.

참고 문헌

Dykhoff & Negri, 2015년.1차 논리의 기하학적 변화.심볼릭 로직의 회보 21(2):123-163. doi:10.1017/bsl.2015.7
Johnstone, Peter (2002), Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852496-0, Zbl 1071.18002 (2권, 옥스퍼드 로직 가이드 43 & 44, 제3권 준비 중)
Maclane & Moerdijk, 1992년.기하학 및 논리학 단층.스프링거: 베를린.

추가 정보

https://math.stackexchange.com/questions/3908774/why-is-a-geometric-theory-called-geometric # : ~ : text = % % 20 logic % 20 is % 20 precision % 20 the , preserve % 20 all % 20 higher % 20 order % 20 logic 。

[1] Dykhoff & Negri (2015), 페이지 124-125.

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