하위 객체 분류기

카테고리 이론에서 하위 오브젝트 분류기는 카테고리에 있는 어떤 오브젝트 X의 하위 오브젝트가 X에서 Ω까지의 형태에 해당하는, 직관적으로 카테고리의 특수 오브젝트 Ω이다. 전형적 예에서, 그 형태론은 하위 객체의 요소에 "참"을 할당하고, X의 다른 요소들에 "거짓"을 할당한다. 따라서 하위 객체 분류자는 "진실 값 객체"라고도 하며, 이 개념은 논리의 범주형 설명에 널리 사용된다. 그러나 하위 개체 분류자는 단순한 이진 논리 진리 값 {true, false}보다 훨씬 더 복잡한 경우가 많다.

소개 예

예를 들어, 집합 Ω = {0,1}은 집합과 함수의 범주에 있는 하위 개체 분류기로서, 포함 함수 j : A → S에 의해 정의된 S의 모든 하위 집합 A에 대해 A의 요소를 1 ~ 1로 정밀하게 매핑하는 함수 χ을_A 할당할 수 있다(특성 함수 참조). S에서 Ω까지의 모든 기능은 정확히 하나의 서브셋 A에서 이러한 방식으로 발생한다.

더 명확하게 하기 위해, S의 부분 집합 A(A ⊆ S)를 고려한다. 여기서 S는 집합이다. 하위 집합체라는 개념은 다음과 같이 정의되는 소위 특성함수 χ_A : S → {0,1}을 사용하여 수학적으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{case}0,&{\mbox{if }}}x\notin A\1,&\mbox{if }}}}$

(여기서 우리는 1을 참으로, 0을 거짓으로 해석한다.) 특성 함수의 역할은 부분 집합 A에 속하는 요소를 결정하는 것이다. 사실 χ은_A A의 요소에서 정확하게 진실이다.

이렇게 해서 S의 모든 서브셋의 집합과 S부터 Ω = {0,1}까지의 모든 맵의 집합은 이형성이 된다.

이 개념을 분류하려면 범주 이론에서 하위 개체는 실제로 개체와 단일 화살표로 구성된 쌍이라는 것을 기억하십시오(다른 개체로 포함됨으로 해석됨). 따라서 true는 0-1을 매핑하는 요소 1을 말하며, 화살표에 의해 선택된다: true: {0} → {0, 1) 이제 S의 부분 집합 A는 특성 함수 diagram을 따라 참의_A 풀백(pullback)으로 정의할 수 있다(다음 도표 참조).

그렇게 정의한 χ은 형태론 Sub_C(S) → Hom_C(S, Ω)이다. 정의에 따르면 Ω은 이 형태론이 이형성일 경우 하위 객체 분류기다.

정의

일반적인 정의의 경우, 우리는 단자 객체를 1로 나타내는 범주 C로 시작한다. C의 개체 Ω은 형태론이 존재하는 경우 C에 대한 하위 개체 분류기다.

1 → Ω

다음과 같은 속성으로:

각 단형상 j: U → X에 대해 다음과 같은 정류 도표와 같이 고유한 형태론 χ _j: X → Ω이 있다.

풀백 다이어그램이다. 즉, U는 다이어그램의 한계:

형태론 χ은 _j j로 대표되는 하위 객체에 대한 분류형 형태론이라고 불린다.

추가 예

한 무더기의 세트

위상학적 공간 X에 있는 집합 집합 집합의 범주에는 다음과 같이 설명할 수 있는 하위 객체 분류기 Ω이 있다. X의 모든 오픈 세트 U에 대해 Ω(U)은 U의 모든 오픈 서브셋의 집합이다. 터미널 개체는 X의 모든 오픈 세트 U에 싱글톤 {*}을(를) 할당하는 sheaf 1이다. 그 사상 η:1→ Ω maps ηU의 가족에 의해서 주어진다:1(U)→ Ω(U)ηU(*)=U에 의해 모든 열려 있어 UX의 X에서 한 F와sub-sheaf j을 감안할 때 세트에 대해 정의된:G→ F라는 분류하는 것 사상χ j:F→ Ω 지도의 가족에 의해서 주어진다χ j,U:모든 오픈 세트의χ j,U())은 노조 F(U)→ Ω(U), V의 U는 규제의 x에 V(의 땅.shea의 nseves)는 j_V(G(V))에 포함되어 있다.

이 토포들 내부의 주장을 대략적으로 말하는 것은 가변적으로 참이거나 거짓이며, 개방된 부분집합 U의 관점에서 그것의 진실 가치는 그 주장이 사실인 U의 공개 부분집합이다.

프리셰이브

Given a small category ${\displaystyle C}$, the category of presheaves ${\displaystyle \mathrm {Set} ^{C^{op}}}$ (i.e. the functor category consisting of all contravariant functors from ${\displaystyle C}$ to ${\displaystyle \mathrm {Set} }$) has a subobject classifer given by the functor s$c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에서 체의 집합으로$$ c ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C}$ ${\$displaystyle c}을$($를) 종료한다$.$ 분류형 형태는 위의 집합체 예에 있는 형태와 상당히 유사하게 구성된다.

초등 토포이

위의 두 가지 예는 다음과 같은 일반적인 사실에 의해 요약된다: 유한한 한계와 동력 객체를 가진 범주로 정의되는 모든 초등 토포에는 반드시 하위 객체 분류자가 있다.^[1] 위의 두 가지 예는 그로텐디크 토포이이며, 모든 그로텐디크 토포스는 초등 토포이다.

관련개념

퀘이시토스는 거의 서브 오브젝트 분류기에 가까운 오브젝트를 가지고 있다; 그것은 강한 서브 오브젝트만 분류한다.

메모들

참조

• Artin, Michael; Alexander Grothendieck; Jean-Louis Verdier (1964). Séminaire de Géometrie Algébrique IV. Springer-Verlag.
• Barr, Michael; Charles Wells (1985). Toposes, Triples and Theories. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96115-1.
• Bell, John (1988). Toposes and Local Set Theories: an Introduction. Oxford: Oxford University Press.
• Goldblatt, Robert (1983). Topoi: The Categorial Analysis of Logic. North-Holland, Reprinted by Dover Publications, Inc (2006). ISBN 0-444-85207-7.
• Johnstone, Peter (2002). Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. Oxford: Oxford University Press.
• Johnstone, Peter (1977). Topos Theory. Academic Press. ISBN 0-12-387850-0.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (2nd ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
• Mac Lane, Saunders; Ieke Moerdijk (1992). Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4.
• McLarty, Colin (1992). Elementary Categories, Elementary Toposes. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853392-6.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
• Taylor, Paul (1999). Practical Foundations of Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63107-6.