역한계

수학에서 역한계(projective limit, projective limit이라고도 함)는 여러 개의 관련 물체를 "함께 글레이징"할 수 있는 구조로, 물체들 사이의 형태론에 의해 정밀한 글레이징 과정이 지정되고 있다.따라서 역한계는 고려되는 범주에 따라 존재 여부가 달라지지만 어떤 범주에서도 정의될 수 있다.그것들은 범주 이론에서 한계 개념의 특별한 경우다.null

이중 범주, 즉 화살표를 되돌림으로써 역한계는 직접 한계 또는 주입 한계가 되고, 한계는 콜리밋이 된다.null

형식 정의

대수적 물체

우리는 그룹과 동형성의 역계(또는 투영계)의 정의에서 출발한다.$({\displaystyle I}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (I,\leq )}$은(는) 지시된 포셋이 되게$$ 하라(모든 저자가 내게 지시를 요구하는 것은 아니다).(A_i)_i∈I 그룹의 가족이 되고, 우리가 $동형동체{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle A_{}}$j → A ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{다음}}$ $속성$을 가진 모든 i${\displaystyle }$to j {\$displaystyle i\leq j}$에 대한 A_${j$}\$to A_{i}.$$$

1. ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 A ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$i$}의 ID$,$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\data f_{jk}\datable{text}{\text{모든 }i\leq j\leq k.}$

Then the pair ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$ is called an inverse system of groups and morphisms over ${\displaystyle I}$, and the morphisms ${\displaystyle f_{ij}}$ are called the transition morphisms of the system.null

We define the inverse limit of the inverse system ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$ as a particular subgroup of the direct product of the ${\displaystyle A_{i}}$'s:

${\displaystyle A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\왼쪽\\\\왼쪽.{\vec{a}\in \prod _{i\in I}A_{i}\\;\right \i}=f_{ij}(a_{j}){\text{{{}\i\i\right\}}}모든 }i\leq j{\text{}}.}$

$역한계{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$에는 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I$에서 각 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에 대한 직접 제품의 ith 성분을 선택하는 자연$$ 투영 π\\\\$displaystyle$_i $A}{$i}가$장착되어 있다$.역 한계와 자연 투영은 다음 절에서 설명하는 보편적 특성을 만족시킨다.null

${\displaystyle {Ai}_{}}$ ${\$의$$'s'가 세트,^[1] 세미그룹,^[1] 위상학적 공간,^[1] 링, 모듈(고정 링 위), 알헤브라스(고정 링 위) 등이고, 동형체 등이 해당 범주에 있는 형태인 경우 이와 동일한 구조를 실시할 수 있다.역한계는 또한 그 범주에 속할 것이다.null

일반적 정의

역한계는 보편적 특성을 이용하여 임의의 범주에서 추상적으로 정의할 수 있다.Let$$( ${Xi}_{}$, f ${}_{}$ $j_{}$) ${\textstyle (X_{i},f_{ij}})$은 범주 C(위의 정의와 동일한 정의)에 있는 개체와 형태론의 역시스템이다.이 계통의 역한계는 모든 i ≤ j에 대해 π_i = f ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$과_j 함께 형태 π_i: X → X_i (일명 투영)와 함께 C의 객체 X이다.쌍(X, π_i)은 다른 쌍(Y, ψ_i)에 대해 도표와 같은 고유한 형태론 u: Y → X가 존재한다는 점에서 보편적이어야 한다.

모든 i ≤ j의 통근.역한계는 흔히 나타낸다.

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$

역계$({Xi}_{}$, ${}_{}$ $i_{}$ $j_{}$) ${\textstyle (X_{i},f_{ij}}})$이(가) 이해되고$$ 있는 상태에서.null

일부 범주에서는 특정 역계통의 역한계가 존재하지 않는다.그러나 만일 그렇다면, 강한 의미로는 독특한데, 역계의 두 개의 역한계 X와 X'로 볼 때, 독특한 이형성 X′ → X가 투영지도를 가지고 통근하는 것이 존재한다.null

범주 C의 역 시스템과 역 한계는 펑커스의 측면에서 대체 설명을 허용한다.임의의 부분 순서 집합 I는 형태론이 화살표 i → j if와 if 그리고 i ≤ j로 구성되는 작은 범주로 간주될 수 있다.그러면 역계는 역행성 functor I → C에 불과하다. ${\displaystyle {Let{}^{}}^{}}$ C I ${\displaystyle {{o\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{p}}^{}}^{}}$ ${\$ C$^{$$I^{\mathrm{op}}}}}$은(자연의 변환을 형태론으로 함) 이러한 펑터의 범주가 된다$$.C의 객체 X는 모든 물체가 X와 같고 모든 화살표가 X의 정체인 사소한 역계라고 볼 수 있다.이것은 C에서 ${\displaystyle C^{}}$까지 ${\displaystyle {{o\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{p}.}^{}}^{}}$ ${\displaystyle C^{$ "trivial functor"를 정의한다.$I^{\mathrm {op} }}}$$$ 직접적 한계는 존재한다면 이 사소한 펑터의 오른쪽 부호로 정의된다.null

예

• p-adic 정수의 링은 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ Z ${\$모듈식 산술 참조)의 역한계로, 지수 집합은 통상적인 순서의 자연수이고 형태는 "남은 수"이다.그렇습니다, 한(n1, n2.)의 정수의 시퀀스로 여긴다는 것이다{\displaystyle(n_{1},n_{2},\dots)}등은 각각의 요소 시퀀스"프로젝트"을 이전의 것들, 즉, ni≡ nj모드 p나는{\displaystyle n_{나는}\equiv n_{j}{\mbox{mod}}p^{나는}} 때마다 나는 <, j.{\displaystyle i<, j..} p-adic 정수의 자연 토폴로지는 여기에 내포되어 있는 것으로서, 즉 실린더 세트를 오픈 세트로 하는 제품 토폴로지가 그것이다.
• p-adic 솔레노이드는 위상학 그룹 $R{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ ${\displaystyle Z^{}}$ ${\$의 역한 한계로, 인덱스$$ 세트는 일반적인 순서의 자연수이며, 형태는 "남은 시간"으로 한다.그렇습니다, 한(x1x2.)실제 숫자의 시퀀스로 여긴다는 것이다{\displaystyle(x_{1},x_{2},\dots)}등은 각각의 요소 시퀀스"프로젝트"을 이전의 것들, 즉, x 나는 ≡)j모드 p나는{\displaystyle x_{나는}\equiv x_{j}{\mbox{mod}}p^{나는}} 때마다 나는 <, j.{\displaystyle i&.그것은, j.$}$
• The ring ${\displaystyle \textstyle R[[t]]}$ of formal power series over a commutative ring R can be thought of as the inverse limit of the rings ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$, indexed by the natural numbers as usually ordered, with the morphisms from ${\displaystyle R[t]/t^{n+j}}$${\displaystyle R}$ [ t ${\displaystyle ]}$ 투영에서 $주어진$$$ R${\displaystyle }$[ t$]/t^{n+j}R[]$에 대한 R${\displaystyle }$[ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$/ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$ $[\$
• 친피니트 집단은 유한집단의 역한계로 정의된다.
• 역계(X_i, $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 인덱스 집합 I에 가장 큰 원소 m을 갖도록 한다.그러면 자연 투영 π_m: X → X는_m 이형이다.
• 집합의 범주에서 모든 역계에는 역 한계가 있는데, 역계를 형성하는 집합의 생산물의 부분집합으로서 기초적인 방법으로 구성될 수 있다.비어 있지 않은 유한 집합의 역방향 계통의 역방향 한계는 비어 있지 않다.이것은 그래프 이론에서 Kőnig의 보조정리법을 일반화한 것으로, 유한 집합을 콤팩트한 이산공간으로 본 다음, 콤팩트함의 유한 교차 특성 특성을 적용하는 것으로 타이코노프의 정리를 통해 증명할 수 있다.
• 위상학적 공간의 범주에서 모든 역계에는 역 한계가 있다.초기 위상을 기본 설정-기상 역한계에 배치하여 구성한다.이것은 한계 위상이라고 알려져 있다.null
  • 무한 문자열 집합은 유한 문자열 집합의 역 한계로, 따라서 한계 위상이 부여된다.원래 공간이 분리되어 있기 때문에 제한 공간은 완전히 분리되어 있다.이것은 p-adic 번호와 칸토어 집합(무한 문자열)을 실현하는 한 방법이다.

역한계의 파생 펑터

아벨 범주 C의 경우 역 한계 펑터

${\displaystyle \varprojlim :C^{I}\오른쪽 화살표 C}$

정확히 남아있다.만일 내가 (단순히 부분적으로 주문된 것이 아니라) 카운트할 수 있고, C가 아벨리아 그룹의 Ab 범주라면, 미타그-레플러 조건은 ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{im}}}$ness ${\$디스플레이스타일 $\varprojlim}}$의 정확성을 보장하는 전환 형태_ij f의 조건이다$.$특히 에일렌버그는 functor를 구성했다.

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab}^{I}\오른쪽 화살표 \operatorname {Ab}}}$

("lim one"으로 발음됨) 만약 (A_i, f_ij), (B_i, g_ij), (C_i, h_ij)이 아벨 그룹들의 세 개의 역 시스템이라면,

${\displaystyle 0\오른쪽 화살표 A_{i}\오른쪽 화살표 B_{i}\오른쪽 화살표 C_{i}\오른쪽 화살표 0}$

역계의 짧은 정확한 배열이다.

${\displaystyle 0\rightarrow \varprojlim A_{i}\rightarrow \varprojlim C_{i}\rightarrow \varprojlim {}^{1}A_{i}}}}}}}}}$

Ab의 순서는 정확하다.null

미타그-레플러 조건

If the ranges of the morphisms of an inverse system of abelian groups (A_i, f_ij) are stationary, that is, for every k there exists j ≥ k such that for all i ≥ j :${\displaystyle f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i})}$ one says that the system satisfies the Mittag-Leffler condition.null

이 조건에 대한 "미타그-레플러"라는 이름은 부르바키가 완전한 하우스도르프 균일 공간의 역한계에 관한 유사한 결과를 위해 균일한 구조에 관한 장에서 부여한 것이다.미타그-레플러는 미타그-레플러의 정리 증명에서도 비슷한 주장을 사용했다.null

미탁-레플러 조건이 충족되는 예는 다음과 같다.

• 형태론 f가_ij 추론적인 체계
• 유한한 차원 벡터 공간 또는 유한한 아벨리아 그룹 또는 유한한 길이의 모듈 또는 아르티니아 모듈로 구성된 시스템.

임 ${\displaystyle \underset{}{\lim }}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\$가 0이 아닌$$ 예로는 I를 음이 아닌 정수로 취하여 A_i = pZⁱ, B = Z_ii, C_i = B_i / A = Z/pZ로ⁱ 한다.그러면

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}A_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z}}$

여기서 Z는_p p-adic 정수를 의미한다.null

추가 결과

보다 일반적으로 C가 충분한 주사를 가진 임의의 아벨리아 범주라면 C도^I, 역한계 펑터의 오른쪽 파생 펑터(functor)도 이와 같이 정의할 수 있다.n번째 우측 파생 펑터가 표시됨

${\displaystyle R^{n}\varprojlim :C^{I}\오른쪽 화살표 C.}$

C가 그로텐디크의 공리(AB4*)를 만족시키는 경우, 얀 에리크 루스는 Ab에^I 대한 functor im을¹ 일련의 functor 림으로ⁿ 일반화하여 다음과 같이 하였다.

${\displaystyle \varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim .}$

Roos가 (Sur les poncteurs dérivés de lim에서) 증명해 보인 것은 거의 40년 동안 생각되었다. 응용 프로그램. (A_i, f_ij) im¹ A_i = 0 for (A, f) expressive transition morphism과 I 비 음의 정수 집합(이러한 역 시스템을 흔히 "Mittag-Leffler sequence"라고 부른다)However, in 2002, Amnon Neeman and Pierre Deligne constructed an example of such a system in a category satisfying (AB4) (in addition to (AB4*)) with lim¹ A_i ≠ 0. Roos has since shown (in "Derived functors of inverse limits revisited") that his result is correct if C has a set of generators (in addition to satisfying (AB3) and (AB4*)).null

배리 미첼은 내가 카디널리티 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$d번째 무한 추기경)를 가지고 있다면 rlim은ⁿ 모든 n ≥ d + 2에 대해 0이라는 것을 보여주었다.이는 R-모듈 범주에 있는 I-색인 도표에 적용되며, R-모듈 범주에는 역률 링이 적용되며, 임의의 아벨리아 범주에는 반드시 해당되지 않는다(countable set에 의해 지수화된 im이ⁿ n > 1에 대해 0이 아닌 아벨리안 범주의 예는 Roos의 "역 한계의 파생 펑터" 참조).null

관련 개념 및 일반화

역한계의 범주형 이중은 직접 한계(또는 귀납 한계)이다.보다 일반적인 개념은 범주 이론의 한계와 공통점이다.이 용어는 다소 혼란스럽다: 역한계는 한계의 한 종류인 반면, 직접한계는 콜리밋의 한 종류인 것이다.null

참고 항목

• 직접 또는 유도 한계

메모들

참조

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC 40551484
• Bourbaki, Nicolas (1989), General topology: Chapters 1-4, Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC 40551485
• Mac Lane, Saunders (September 1998), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-98403-8
• Mitchell, Barry (1972), "Rings with several objects", Advances in Mathematics, 8: 1–161, doi:10.1016/0001-8708(72)90002-3, MR 0294454
• Neeman, Amnon (2002), "A counterexample to a 1961 "theorem" in homological algebra (with appendix by Pierre Deligne)", Inventiones Mathematicae, 148 (2): 397–420, doi:10.1007/s002220100197, MR 1906154
• Roos, Jan-Erik (1961), "Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications", C. R. Acad. Sci. Paris, 252: 3702–3704, MR 0132091
• Roos, Jan-Erik (2006), "Derived functors of inverse limits revisited", J. London Math. Soc., Series 2, 73 (1): 65–83, doi:10.1112/S0024610705022416, MR 2197371
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