호모토피 범주

수학에서 호모토피 범주는 위상학적 공간의 범주에서 만들어진 범주로, 어떤 의미에서 같은 모양의 두 공간을 식별한다.이 문구는 아래에서 논의한 바와 같이 사실 두 개의 서로 다른 (그러나 관련된) 범주에 사용된다.

보다 일반적으로 위상학적 공간의 범주에서 출발하는 대신, 어떤 모델 범주에서 출발할 수 있으며, 관련된 호모토피 범주를 1967년 퀼렌이 도입한 구조로 정의할 수 있다.이런 식으로 호모토피 이론은 기하학과 대수학에서 다른 많은 범주에 적용될 수 있다.

순진한 호모토피 범주

위상학 공간의 범주는 위상학 공간의 객체를 가지고 있으며, 그 사이의 연속적인 지도를 형태화한다.이 글에서 명확성을 위해 순진한 호모토피 범주로^[1] 불리는 호모토피 범주 hTop의 오래된 정의는 동일한 대상을 가지고 있으며, 형태론은 연속 지도의 호모토피 클래스다.즉, 두 개의 연속 지도 f: X → Y는 순진한 호모토피 범주에서 서로 연속적으로 변형될 수 있다면 동일하다고 간주된다.Top에서 hTop까지의 functor가 있어 자신에게 공간을 보내고 그들의 호모토피 수업에 형태론을 보낸다.지도 f: X → Y는 순진한 호모토피 범주에서 이형성이 되면 호모토피 동등성이라고 불린다.^[2]

예:원 S¹, 평면 R에서² 기원을 뺀 것, 뫼비우스 스트립은 모두 호모토피 등가물이지만, 이러한 위상학적 공간은 동형질성이 없다.

[X,Y]라는 표기법은 흔히 순진한 호모토피 범주에서 공간 X에서 공간 Y로 형태론의 집합에 사용된다(그러나 아래에서 논의한 관련 범주에도 사용된다).

퀼렌에 이은 호모토피 범주

퀼렌(1967)은 위상학적 공간의 범주를 더욱 단순화하는 또 다른 범주를 강조했다.호모토피 이론가들은 때때로 두 가지 범주를 모두 가지고 작업해야 하지만, 퀼렌의 버전이 더 중요하기 때문에 단순히 '호모토피 범주'^[3]라고 부르는 경우가 많다는 것이 공통된 의견이다.

하나는 먼저 약한 호모토피 동등성을 정의하는데, 연속 지도가 임의의 기준점이 있는 호모토피 그룹과 경로 성분 집합에 대한 편사를 유도하면 약한 호모토피 동등성이라고 한다.그런 다음 약한 호모토피 동등성에 대한 위상학적 공간의 범주를 국소화하여 호모토피 범주를 정의한다.즉, 물체는 여전히 위상학적 공간이지만, 각각의 약한 호모토피 동등성에 대해 역 형태론이 추가된다.이것은 연성 지도가 약한 호모토피 동등성일 경우에만 호모토피 범주에서 이형성이 되는 효과가 있다.위상학적 공간의 범주에서 순진한 호모토피 범주(위에서 정의한 바와 같이), 거기서 호모토피 범주로 이어지는 명백한 펑거스가 있다.

J.H.C.의 결과 화이트헤드, 특히 화이트헤드의 정리 및 CW 근사치의 존재는 호모토피 범주에 대한 보다 명확한 설명을 제공한다.^[4]즉, 호모토피 카테고리는 CW 콤플렉스로 구성된 순진한 호모토피 카테고리의 전체 하위 카테고리에 해당한다.이 점에서 호모토피 범주는 위상학적 공간 범주의 복잡성을 상당 부분 제거한다.

예: X를 자연수 {0, 1, 2, ...}의 집합으로 하고 Y를 실제 선에서 하위 공간 위상이 있는 {0} } {1, 1/2, 1/3, ...}의 집합으로 한다.양의 정수 n에 대해 0 ~ 0, n ~ 1/n을 매핑하여 f: X → Y를 정의한다.그렇다면 f는 연속성이며, 사실 약한 호모토피 동등성이지만 호모토피 동등성은 아니다.따라서 순진한 호모토피 범주는 X와 Y와 같은 공간을 구별하는 반면 호모토피 범주에서는 이형성이 된다.

위상학적 공간 X와 Y의 경우 문맥에 따라 순진한 호모토피 범주 또는 참 호모토피 범주에서 X에서 Y까지의 형태 집합에 [X,Y]라는 표기법을 사용할 수 있다.

에일렌베르크-매클레인 공간

이러한 범주의 한 가지 동기는 위상 공간의 많은 불변성들이 순진한 호모토피 범주나 심지어 진정한 호모토피 범주에서 정의된다는 것이다.예를 들어, 위상학적 공간 f: X → Y의 약한 호모토피 동등성의 경우, 단일 호몰로지 집단의 관련 호모폴리스 f_*: H_i(X,Z) → H_i(Y,Z)는 모든 자연수 i에 대한 이형성이다.^[5]따라서 각 자연수 i에 대해 단일 호몰로지 H는_i 호모토피 범주에서 아벨 그룹 범주에 이르는 펑터(functor)로 볼 수 있다.특히 X에서 Y까지의 동음이의어 지도 2개는 단일 동음이의어군에서 동일한 동음이의어를 유도한다.

단일한 코호몰로지에는 훨씬 더 나은 특성이 있다: 그것은 호모토피 범주에서 대표할 수 있는 functor이다.즉, 각 아벨 그룹 A와 자연수 i에 대해 에일렌베르크-맥레인 공간이라 불리는 CW 복합 K(A,i)와 결과 함수가 되는 H(Kⁱ(A,i), A(A)에 코호몰로지 클래스 u가 있다.

${\displaystyle [X,K(A,i)]\to H^{i}(X,A)}$

(U를 다시 X로 당겨줌으로써) 모든 위상학적 공간 X에 대해 편향적이다.^[6]여기서 [X,Y]는 진정한 호모토피 범주에 있는 지도 집합을 의미하는 것으로 이해해야 한다. 만일 이 문장이 모든 위상학적 공간 X에 대해 유지되기를 원한다면 말이다.X가 CW 콤플렉스라면 순진한 호모토피 카테고리에 속한다.

포인트 버전

한 가지 유용한 변종은 뾰족한 공간의 호모토피 범주다.뾰족한 공간은 X의 위상학적 공간과 X의 점을 가진 쌍(X,x)을 의미하며, 기준점이라 불린다.Top_* of point space는 객체가 뾰족한 공간을 가지고 있으며, 형태론 f: X → Y는 X의 기준점을 Y의 기준점으로 가져가는 연속적인 지도다.뾰족한 공간의 순진한 호모토피 범주는 같은 물체를 가지며, 형태론은 뾰족한 지도의 호모토피 클래스(기점이 호모토피 전체에 고정되어 있다는 의미)이다.마지막으로, 취약한 호모토피 균등성이 있는 뾰족한 지도를 뒤집어서 상단_* 범주에서 "진정한" 호모토피 범주를 구한다.

X와 Y의 경우, [X,Y]는 문맥에 따라, X에서 Y까지의 형태변수 집합을 가리킬 수 있다.

호모토피 이론의 몇 가지 기본구조는 자연스럽게 공간의 범주가 아닌 뾰족한 공간(또는 관련 호모토피 범주)의 범주에 정의된다.예를 들어, 서스펜션 xX와 루프 공간 ΩX는 뾰족한 공간 X에 대해 정의되며 또 다른 뾰족한 공간을 생성한다.또한 스매시 제품 X ∧ Y는 뾰족한 공간 X와 Y의 중요한 펑터다.예를 들어, 서스펜션을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \Sigma X=S^{1}\wedge X.}$

현수 및 루프 공간 펑커스는 자연스러운 이형성이 있다는 의미에서 조정된 쌍의 펑커스를 형성한다.

$[\displaystyle [\Sigma X,Y]\cong [X,\Oomega Y]}$

모든 공간에 대해 X와 Y.

구체적인 범주

호모토피 범주의 대상은 집합(추가 구조 포함)인 반면, 형태론은 그들 사이의 실제 기능이 아니라 함수의 클래스(순진한 호모토피 범주) 또는 함수의 "지그재그"이다(호모토피 범주).실제로 프레이드는 뾰족한 공간의 순진한 호모토피 범주도, 뾰족한 공간의 호모토피 범주도 구체적인 범주가 아니라는 것을 보여줬다.즉, 이러한 범주에서 집합의 범주에 이르는 충실한 functor는 존재하지 않는다.^[7]

모델 카테고리

좀 더 일반적인 개념이 있다: 모델 카테고리의 호모토피 카테고리.모델 카테고리는 여러 공리를 만족하는 섬유화, 공변 및 약한 동등성이라고 하는 세 가지 유형의 형태론을 가진 범주 C이다.관련 호모토피 범주는 약한 동등성에 대한 C의 국소화에 의해 정의된다.

표준 모델 구조(Quillen 모델 구조라고도 함)로 위상학적 공간의 모델 범주에 적용되는 이 구조는 위에서 정의한 호모토피 범주를 제공한다.그 밖의 많은 모델 구조는 그 범주를 얼마나 단순화하고자 하는가에 따라 위상학적 공간의 범주에 대해 검토되어 왔다.예를 들어 위상학적 공간의 후레위츠 모델 구조에서 관련 호모토피 범주는 위에서 정의한 순진한 호모토피 범주다.^[8]

동일한 호모토피 범주는 다양한 모델 범주에서 발생할 수 있다.중요한 예로는 단순 집합에 대한 표준 모델 구조가 있다. 단순 집합은 위상이 결여된 조합적으로 정의된 객체임에도 불구하고 관련 호모토피 범주는 위상 공간의 호모토피 범주와 동일하다.일부 토폴로지학자들은 그 대신 콤팩트하게 생성된 약한 하우스도르프 공간과 함께 작업하기를 선호한다. 표준 모형 구조와 함께 관련 호모토피 카테고리는 모든 토폴로지 공간의 호모토피 카테고리와 동일하다.^[9]

모델 범주의 더 대수적인 예를 위해, 예를 들어 링 위의 모듈 범주 또는 위상학적 공간에 있는 아벨 그룹들의 무리의 범주 A를 Grotendieck abelian 범주가 되도록 한다.그 다음에 A에 있는 사물의 연쇄 복합체 범주에 모델 구조가 있는데, 약한 등가성이 준 이형성이다.^[10]결과적인 호모토피 범주를 파생 범주 D(A)라고 한다.

마지막으로 안정적인 호모토피 범주는 스펙트럼 범주의 모델 구조와 연관된 호모토피 범주로 정의된다.다양한 스펙트럼 범주가 고려되었지만, 모든 허용되는 정의는 동일한 호모토피 범주를 산출한다.

메모들

참조

• Beke, Tibor (2000), "Sheafifiable homotopy model categories", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 129 (3): 447–473, arXiv:math/0102087, Bibcode:2000MPCPS.129..447B, doi:10.1017/S0305004100004722, MR 1780498, S2CID 16563879
• Dwyer, William G.; Spaliński, J. (1995), "Homotopy theories and model categories" (PDF), Handbook of algebraic topology, Amsterdam: North-Holland, pp. 73–126, MR 1361887
• Freyd, Peter (1970), "Homotopy is not concrete", The Steenrod Algebra and its Applications, Lecture Notes in Mathematics, vol. 168, Springer-Verlag, MR 0276961
• Hatcher, Allen (2001), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354
• Hovey, Mark (1999), Model Categories (PDF), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1359-5, MR 1650134
• May, J.P.; Ponto, K. (2012), More concise algebraic topology. Localization, completion, and model categories (PDF), University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-51178-8, MR 2884233