ε-quadratic form

수학, 특히 2차 형태 이론에서 ε-Quadratic 형태는 2차 형태를 스큐 대칭 설정과 *-링, ε = ±1로 일반화한 것이다.특히 수술 이론의 맥락에서 ( $(-)^{n}$ - $(-)^{n}$ ) $(-)^{n}$ ${\$ -quadratic $(-)^{n}$ 형태라고도 한다.

대칭형식, 스큐대칭형식(=공감형식), 에르미트형식, 스큐-헤르미트형식 등을 일반화하는 ε-대칭형식의 관련 개념이 있다.좀 더 간략하게 말하자면, "squew"는 (-)를 의미하고 * (involution)는 함축되어 있는 2차, 2차, 2차, 대칭, 대칭, 스큐 대칭 형태를 가리킬 수 있다.

이론은 2-로컬이다: 2에서 벗어나 ε-Quadratic 형태는 ε-대칭 형태와 동등하다: 대칭 지도(아래)의 절반은 명시적 이형성을 나타낸다.

정의

ε-구체적 형식과 quad-구체적 형식은 다음과 같이 정의된다.^[1]

모듈 M이 *-링 R 위에 있는 경우, B(M)를 M에 이선형식의 공간으로 하고, T : B(M) → B(M)를 "공주게이트 전치"로 한다. B(u, v) ↦ B(v, u)*-1에 의한 곱셈도 비자발적이고 선형 지도로 통용되기 때문에 -T도 비자발적이다.따라서 우리는 = = ±1을 쓸 수 있고 εT는 T 또는 -T 중 어느 한 가지 비자발적인 것이다. ( seeε는 ±1보다 일반적일 수 있다.ε-대칭 형태를 εT의 불변량으로 정의하며, ε-Quadratic 형태는 동전변수다.

정확히 말하자면

0\to Q^{\varepsilon }(M)\to B(M){\stackrel {1-\barepsilon T}{\longrightarrow }{{\b(M)\varepsilon }to 0

커널과 코커넬로서

Q^{\barepsilon }(M):={\mbox{ker}\,(1-\barempsilon T)

Q_{\varepsilon }(M):={\mbox{coker}\,(1-\varepsilon T)

Q^ε(M), Q_ε(M) 표기법은 그룹 작용에 대한 불변량 및 동전 변수에 대한 표준 표기법^G M, M을_G 따르며, 여기서 순서 2 그룹(비비실행)을 나타낸다.

Composition of the inclusion and quotient maps (but not 1 − εT) as $Q^{\varepsilon }(M)\to B(M)\to Q_{\varepsilon }(M)$ yields a map Q^ε(M) → Q_ε(M): every ε-symmetric form determines an ε-quadratic form.

대칭화

반대로 대칭지도(대칭형식을 산출하기 때문에)라고 하는 역동형성 "1 + tT"를 정의할 수 있는데, 대칭지도라 불리는_ε Q(M) → Q(M^ε)는 2차 형태를 임의로 들어 올리고 1 + εT를 곱하면 된다.이것은 (1 - εT)(1 + εT) = 1 - T² = 0이므로 커널에 있기 때문에 대칭형이다.More precisely, $(1+\varepsilon T)B(M)<Q^{\varepsilon }(M)$ . The map is well-defined by the same equation: choosing a different lift corresponds to adding a multiple of (1 − εT), but this vanishes after multiplying by 1 + εT.따라서 모든 ε-Quadratic 형태는 ε-대칭 형태를 결정한다.

Q^ε(M)→Q_ε(M)→Q(M)→Q^ε_ε(M)→Q(M)→Q^ε(M)→Q_ε(M)→Q(M)의 어느 쪽이든 곱셈을 2로 산출하므로, 2가 R에서 반전될 경우 이 맵은 1/2로 곱셈이 주어지는 역행이다.

ε-Q(M_ε) 형태는 관련 ε-대칭형식(1 + tT)(ψ)이 비대칭형인 경우 비대칭형이라고 한다.

*의 일반화

*가 사소한 경우 ε = ±1이며, "away from 2"는 2가 변위불능임을 의미한다: 1/2 ∈ R.

보다 일반적으로, ε*ε = 1. ε = ±1과 같은 어떤 요소라도 ε ∈ r R을 취할 수 있지만, 단위 규범의 복잡한 숫자와 같은 규범 1의 어떤 요소도 이를 충족시킬 수 있다.

Similarly, in the presence of a non-trivial *, ε-symmetric forms are equivalent to ε-quadratic forms if there is an element λ ∈ R such that λ* + λ = 1. If * is trivial, this is equivalent to 2λ = 1 or λ = 1/2, while if * is non-trivial there can be multiple possible λ; for example, over the complex numbers any number with real part 1/2 is such a λ.

예를 들어, $R=\mathbf {Z} \left[\textstyle {\frac {1+i}{2}}\right]$ 에서 $R=\mathbf {Z} \left[\textstyle {\frac {1+i}{2}}\right]$ = $R=\mathbf {Z} \left[\textstyle {\frac {1+i}{2}}\right]$ [ $R=\mathbf {Z} \left[\textstyle {\frac {1+i}{2}}\right]$ + $R=\mathbf {Z} \left[\textstyle {\frac {1+i}{2}}\right]$ 2 $R=\mathbf {Z} \left[\textstyle {\frac {1+i}{2}}\right]$ ${\$ { $1+i}{2$ ] $}}\$ 오른쪽 $]}($ 2x - 2x + 1) (2x² + 1의 일체형 격자) 복합적 결합을 $\lambda =\textstyle {\frac {1\pm i}{2}}$ $\lambda =\textstyle {\frac {1\pm i}{2}}$ = $\lambda =\textstyle {\frac {1\pm i}{2}}$ ± $\lambda =\textstyle {\frac {1\pm i}{2}}$ $\lambda =\textstyle {\frac {1\pm i}{2}}$ {\ $displaystyle \lambda$ =\ $textstyle$ {\ $frac{1\pm$ i $}{2}}:$ 1/2 $\lambda =\textstyle {{\frac {1\pm i}{2}}}$ though R.

직감

행렬(V가 2차원인 것으로 간주됨)의 관점에서, *가 사소한 경우:

행렬 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ) ${\$ 은(는) 이선형 형식에 해당한다 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ .
대칭 행렬 ${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$ ) ${\$ 의 하위 공간은 대칭 형식에 해당한다 ${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$ .
(-1)-제곱 ${\begin{pmatrix}0&b\\-b&0\end{pmatrix}}$ 의 ${\begin{pmatrix}0&b\\-b&0\end{pmatrix}}$ 하위 공간( ${\begin{pmatrix}0&b\\-b&0\end{pmatrix}}$ - b 0 $)$ {\ $displaystyle {\pmatrix}0&b$ \- $b&0\$ end{ $pmatrix}}$ 은(는) 공통 형식에 해당한다 ${\begin{pmatrix}0&b\\-b&0\end{pmatrix}}$ .
이선형 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ d ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ) ${\$ 이(가) 2차형 폼을 산출함 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

+

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

+

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

+

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

+

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

y

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

=

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

+

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

(

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

+

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

)

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

+ x y +

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,

{\

daystyle ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2

2차 형식에서 대칭 형식까지의 지도 1 + T $ex^{2}+fxy+gy^{2}$ x $ex^{2}+fxy+gy^{2}$ + f $ex^{2}+fxy+gy^{2}$ $ex^{2}+fxy+gy^{2}$ + $ex^{2}+fxy+gy^{2}$ $ex^{2}+fxy+gy^{2}$ ${\$ }}

${\begin{pmatrix}2e&f\\f&2g\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}2e&f\\f&2g\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}2e&f\\f&2g\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}2e&f\\f&2g\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}2e&f\\f&2g\end{pmatrix}}$ ) ${\$ f\ $2g\end{pmatrix}}($ 예: ${\begin{pmatrix}e&f\\0&g\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}e&f\\0&g\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}e&f\\0&g\end{pmatrix}}$ g ${\begin{pmatrix}e&f\\0&g\end{pmatrix}}$ ${\$ 에 들어올린 ${\begin{pmatrix}e&f\\0&g\end{pmatrix}}$ 다음 트랜스포즈에 추가하십시오 ${\begin{pmatrix}2e&f\\f&2g\end{pmatrix}}$ 2차 형식에 다시 매핑하면 원본의 두 배가 된다: $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ + $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ x $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ + $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ g $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ + 2 $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ = 2 $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ ( $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ + $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ y $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ + y + $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ $2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})$ ) ${\displaystyle 2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2$

$⋅{\$ 이(가) 복합적 결합이라면 ${\bar {\cdot }}$ ,

대칭 행렬의 하위 공간은 은둔 행렬 ${\begin{pmatrix}a&z\\{\bar {z}}&c\end{pmatrix}}$ z ${\begin{pmatrix}a&z\\{\bar {z}}&c\end{pmatrix}}$ c ${\begin{pmatrix}a&z\\{\bar {z}}&c\end{pmatrix}}$ ) ${\$ 이다.
스큐 대칭 행렬의 하위 공간은 스큐-헤르미티아 행렬 ${\begin{pmatrix}bi&z\\-{\bar {z}}&di\end{pmatrix}}$ z ${\begin{pmatrix}bi&z\\-{\bar {z}}&di\end{pmatrix}}$ - ${\begin{pmatrix}bi&z\\-{\bar {z}}&di\end{pmatrix}}$ 의 d ${\begin{pmatrix}bi&z\\-{\bar {z}}&di\end{pmatrix}}$ ) ${\$ { $z}&di\end{pmatrix}}}}}}$ 이다.

정제

∆-Quadratic 형식을 이해하는 직관적인 방법은 그것을 연관된 ∆-대칭 형태의 2차적인 정교함으로 생각하는 것이다.

For instance, in defining a Clifford algebra over a general field or ring, one quotients the tensor algebra by relations coming from the symmetric form and the quadratic form: vw + wv = 2B(v, w) and $v^{2}=Q(v)$ . If 2 is invertible, this second relation follows from the first (as the quadratic form can be rec관련 이선형)에서 과대평가되었지만 2시에는 이러한 추가적인 정교화가 필요하다.

예

An easy example for an ε-quadratic form is the standard hyperbolic ε-quadratic form $H_{\varepsilon }(R)\in Q_{\varepsilon }(R\oplus R^{*})$ . (Here, R* := Hom_R(R, R) denotes the dual of the R-module R.)그것은 양면 형식 $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ ( ( $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ ( $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ , $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ ) $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ , $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ ( $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ , f $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ ) $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ f $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ ( $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ ) ${\displaystyle ((v_{$ 1}, $f_{$ 1}), ( $v_{2}, f_{$ 2})\ $mapsto f_{2$ }( $v_{1})$ 에 의해 주어진다 $((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})$ L-이론의 정의를 위해서는 표준 쌍곡선 ε-Quadratic 형식이 필요하다.

두 원소 R = F의₂ 필드에는 (+1)-2차 형태와 (-1)-2차 형태 사이에 차이가 없다.F에₂ 대한 비정형 2차 형태의 아르프 불변성은 대수학과 위상 모두에서 중요한 용도가 있는 F-값₂ 불변성으로, 2와 같지 않은 특성에서 2차 형태를 판별하는 것과 유사한 역할을 한다.

다지관

지향성 이븐차원의 중간 호몰로지 그룹(정수계수 포함)의 자유 부분은 교차점 형태인 푸앵카레 이중성을 통해 ε대칭 형태를 가진다.단일 짝수 치수 4k + 2의 경우 이는 스큐 대칭인 반면, 이중 짝수 치수 4k의 경우 대칭이다.기하학적으로 이것은 n차원 다지관의 두 n/2차원 서브매니폴드가 일반적으로 0차원 서브매니폴드(점 집합)에서 교차하는 교차점에 해당한다.짝수 치수의 경우 순서 스위치 부호가, 짝수 치수의 경우 부호가 변경되지 않으므로 while 대칭이 된다.가장 간단한 경우 천체의 그 제품 어디서 S2k × S2k과 S2k+1×S2k+1 각각 대칭 형태(01− 10)(0110){\displaystyle \left({\begin{}smallmatrix 0&, 1\\1&, 0\end{smallmatrix}}\right)}과 비대칭의 형태 보여 주는 제품을.{\displaystyle \left({\beg 있다.in{smallmatrix}0&, 1\ $\-1&0\end{smallmatrix}\오른쪽).$ $}$ 차원 2에서 $\left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right).$ 이것은 토러스(torus)를 산출하며, 연결된 g tori의 합을 취하면 속 g의 표면이 산출되는데, 중간 호몰로지에는 표준 쌍곡선 형태가 있다.

추가 구조로 이 ε 대칭 형태를 ε-Quadratic 형태로 다듬을 수 있다.짝수 치수의 경우 이것은 정수 값인 반면 짝수 치수의 경우 이것은 패리티까지만 정의되며 Z/2의 값을 취한다.예를 들어, 프레임 다지관의 경우 그러한 정교함을 만들어 낼 수 있다.단적으로 균등한 차원에서는 이 꼬치꼬치 양식의 아르프 불변성이 케르베레 불변성이다.

R에³ 내장된 방향 표면 Ⅱ를 보면 중간 호몰로지 그룹 H₁(()는 스큐 대칭 형태(교차로)뿐만 아니라 자체 연동을 통해 2차 미세화라고 볼 수 있는 스큐-콰드라틱 형태를 지니고 있다.스큐 대칭 형태는 표면 σ의 불변형인 반면, 스큐 대칭 형태는 σ ert R, 예를 들어 매듭의 세이퍼트 표면에 대한 내장형 σ의³ 불변형이다.스큐-쿼드라틱 형태의 아르프 불변제는 최초의 안정된 호모토피 그룹 $\pi _{1}^{s}$ ${\$ 를 생성하는 틀의 거미줄 불변성이다 $\pi _{1}^{s}$

Torus의 표준 내장에서는 a(1, 1) 곡선 자체 링크, 따라서 Q(1, 1) = 1이다.

표준 내장 원환체의 경우, 비대칭의 형태(01− 10){\displaystyle \left({\begin{}smallmatrix 0&, 1\\-1&, 0\end{smallmatrix}}\right)}(표준symplectic 기준에 관해서)에 의해skew-quadratic 정제 xy에 의해 이러한 기준에 관해서:Q(1,0))Q(0,1)=0:b. 주어진다 주어진다asis curves는 자가 연동을 하지 않으며, Q(1, 1) = 1: a(1, 1) 자가 연동을 호프 진동과 같이 한다.(이 형태는 아르프 불변성 0을 가지고 있고, 따라서 이 내장형 토러스에는 케르베어 불변성 0이 있다.)

적용들

핵심 적용대상은 C.T.C에 의해 L-그룹조차 ε-Quadratic 형태의 Witt 그룹으로 정의되는 대수적 수술 이론에 있다.벽

참조

^ Ranicki, Andrew (2001). "Foundations of algebraic surgery". arXiv:math/0111315.

[1] Ranicki, Andrew (2001). "Foundations of algebraic surgery". arXiv:math/0111315.

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