대칭 다항식

수학에서 대칭 다항식은 n 변수의 다항식 P(X₁, X₂, …, X_n)로, 어떤 변수가 상호 교환되면 동일한 다항식을 얻는다.형식적으로 첨자 1, 2, ...의 순열 perm에 대해 n은 P(X, X_σ(1), …, X_σ(2)) = P_σ(n)(X, X₁, …, X₂)를_n 갖는 경우 P는 대칭 다항식이다.

대칭 다항식은 한 변수에 있는 다항식의 뿌리 및 그 계수 사이의 관계를 연구할 때 자연적으로 발생하는데, 그 이유는 계수는 뿌리에 있는 다항식의 표현에 의해 부여될 수 있고, 모든 뿌리는 이 설정에서 유사한 역할을 하기 때문이다.이러한 관점에서 기초 대칭 다항식은 가장 근본적인 대칭 다항식이다.정리는 모든 대칭 다항식은 기초 대칭 다항식의 관점에서 표현할 수 있다고 명시하고 있는데, 이는 단항 다항식의 뿌리에 있는 모든 대칭 다항식을 대신 다항식의 계수에서 다항식의 표현으로 제공할 수 있음을 암시한다.

대칭적 다항식도 다항식의 뿌리와 어떤 관계와도 무관하게 스스로 흥미로운 구조를 형성한다.이러한 맥락에서 완전한 동질, 전력 합계 및 슈르 다항식과 같은 특정 대칭 다항식의 다른 집합은 기본 다항식과 함께 중요한 역할을 한다.결과 구조, 특히 대칭 함수의 고리는 조합 이론과 표현 이론에서 매우 중요하다.

예

두 변수 X와₁ X의₂ 다음 다항식은 대칭이다.

${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}$

${\displaystyle 4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{1}X_{1}^{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}}:{4}$

다음과 같이₁ 세₂ 변수 X, X₃, X에서 다항식을 사용한다.

${\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{1}X_{1}X_{1}X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}X_{3}X_{3}}}}}}{3}X_{3}}}}}}}}}{3}}}}}}}}}}}}}X_{3}}}}}}}}}$

특정 대칭 다항식을 여러 변수에서 만드는 방법은 여러 가지가 있다(아래 다양한 유형 참조).다소 다른 맛의 예는 다음과 같다.

${\displaystyle \prod_{1\leq i<j\leq n}(X_{i}-X_{j})^{2}}$

여기서 첫 번째 다항식은 변수의 교환마다 기호를 변경하고 정사각형을 취하면 완전히 대칭으로 렌더링된다(변수가 단일 다항식의 뿌리를 나타내는 경우, 이 다항식은 변수의 차별성을 부여한다).

반면, 두 변수의 다항식

${\displaystyle X_{1}-X_{2}}$

$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}를$$ 교환하는 경우 다른 $다항식{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\$ 마찬가지로 세 변수에서 동일하지 않음

${\displaystyle X_{1}^{4}^{4}X_{3}+X_{1}X_{1}X_{1}X_{2}X_{3}^{2}X_{1}^{1}^{1}X_{2}X_{3}^{1}^{2}X_{3}}^{4}}}}}}}}}}}$

세 변수의 주기적 순열 하에서는 대칭만 가지며, 대칭 다항식이 되기에는 충분하지 않다.그러나 다음은 대칭이다.

${\displaystyle X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{4}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{2}X_{2}^{4}X_{3}}$

적용들

갈루아 이론

대칭 다항식 함수가 발생하는 한 가지 맥락은 주어진 필드에 n 루트가 있는 n 도 단항 다항식 연구에 있다.이러한 n근은 다항식을 결정하며, 이들을 독립 변수로 간주할 때 다항식의 계수는 뿌리의 대칭 다항함수다.더욱이 대칭 다항식의 근본적인 정리는 n 루트의 다항함수 f가 대칭 다항식으로 주어지는 경우에만 뿌리가 결정한 다항식 계수의 (다른) 다항식 함수로 표현될 수 있음을 암시한다.

이것은 이 지도를 뒤집어서, 대칭을 "파쇄"함으로써 다항식의 방정식을 푸는 접근법을 산출한다. 다항식의 계수(뿌리의 기초 대칭 다항식)를 고려하면, 어떻게 뿌리를 회복할 수 있을까?이는 원래 라그랑주 분해제의 형태로 뿌리 순열군을 이용한 다항식 해법 연구로 이어지며, 후에 갈루아 이론에서 개발되었다.

단항 다항식의 뿌리와의 관계

도 n의 t 단수 다항식 고려

${\displaystyle P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}}$

일부 필드 K에 계수 a가_i 있는 경우.어떤 더 큰 분야에는 p의 n 루트 x₁, …,x가_n 존재한다(예를 들어 K가 실수의 분야라면, 뿌리는 복잡한 숫자의 영역에 존재할 것이다). 뿌리의 일부는 같을 수 있지만, 한 사람이 모든 뿌리를 가지고 있다는 사실은 관계에 의해 표현된다.

${\displaystyle P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{0}=(t-x_{2})\cdots(t-x_{n}).}$

계수를 비교하면

${\displaystyle {\signified}a_{n-1}&=-x_{1}-x_{2}-\cdots -x_{n}\\a_{n-2}&={1}x_{1}x_{2}+x_{1}}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&{}\ \,\vdots \\a_{1}&=(-1)^{n-1}(x_{2}x_{3}\cdots x_{n}+x_{1}x_{3}x_{4}\cdots x_{n}+\cdots +x_{1}x_{2}\cdots x_{n-2}x_{n}+x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}=\textstyle(-1)^{n-1}\sum _{i=1}^{n}\prod_{j\neq i}x_}\a_{0}&=(-1)^{n}x_{1}x_{2}\cdotsx_{n}.\end{정렬}}}$

이것들은 사실 비에트의 공식의 예일 뿐이다.그들은 모든 다항식의 계수가 대칭적인 다항식 표현에 의해 근의 측면에서 주어진다는 것을 보여준다: 비록 주어진 다항식 P의 경우 뿌리 사이에 질적 차이가 있을 수 있지만, 이 중 어느 것도 이러한 표현에서 근이 발생하는 방식에 영향을 미치지 않는다.

이제 P를 기술하기 위한 기본 매개변수로 계수보다는 뿌리를 선택하고, 이를 적절한 필드의 상수가 아닌 불변수로 간주함으로써 관점을 바꿀 수 있다; 그러면_i 계수 a는 위의 방정식에 의해 주어진 특정한 대칭 다항식일 뿐이다.표지를(− 1)도 없이 다항식, n− 나는}{\displaystyle())^{n-i}, x1,…, xn에는 초등 대칭 다항식으로 알려져 있다.기본적인 사실, 대칭 다항식의 기본 정리로 알려진 국가들은 n변수에 대칭 다항식 다항식에 의해서 초등 sym의 관점에서 주어질 수 있다.미터법 다항식이는 단항 다항식의 뿌리에 있는 대칭 다항식 표현은 다항식의 계수에서 다항식으로 표현될 수 있으며, 특히 그 값이 그러한 계수를 포함하는 베이스 필드 K에 있다는 것을 의미한다.따라서 뿌리에 그런 대칭적인 다항식만을 가지고 작업할 때, 그 뿌리에 대해 특별한 것을 알거나, 그 뿌리가 있을 수 있는 K보다 더 큰 분야에서 계산하는 것은 불필요하다.사실 뿌리의 값 자체는 다소 무관하게 되고, 계수와 대칭 다항식 사이에 필요한 관계는 대칭 다항식이라는 관점에서만 계산하면 알 수 있다.그러한 관계의 예로는 뉴턴의 정체성이 있는데, 이것은 뿌리의 고정된 힘의 합을 기초 대칭 다항식의 관점에서 표현한다.

특수 대칭 다항식

X₁, X₂, …, X_n 변수에는 기본적인 몇 가지 대칭 다항식이 있다.

기본 대칭 다항식

각 음수가 아닌 정수 k에 대해, 기본 대칭 다항식 e_k(X₁, …, X_n)는 k 구별되는 변수의 모든 구별되는 생산물의 합이다.(일부 저자는 대신_k by으로 표기하기도 한다.)k = 0의 경우 빈 제품만 존재하므로₀ e(X₁, …, X_n) = 1인 반면 k > n의 경우 전혀_k 제품이 형성될 수 없으므로 e(X₁, X₂, …, X_n) = 0인 경우다.나머지 n개의 기본 대칭 다항식은 이러한 변수의 모든 대칭 다항식에 대한 구성 요소로서, 위에서 언급한 바와 같이 고려된 변수의 모든 대칭 다항식은 이러한 기본 대칭 다항식에서 승수와 추가만을 사용하여 얻을 수 있다.사실 하나는 다음과 같은 보다 상세한 사실을 가지고 있다.

• X의₁ 모든 대칭 다항식 P, …, X는_n 다항식 e_k(X₁, …, X_n)에 1 ≤ k n n으로 표기할 수 있다.
• 이 표현식은 다항식 표현식의 등가성에 따라 고유하다.
• P에 적분 계수가 있으면 다항식에도 적분 계수가 있다.

예를 들어, n = 2의 경우 관련 초등 대칭 다항식은₁ e(X₁₂, X) = X₁ + X₂, e(X₁, X₂) = XX이다₂₁₂.위의 예 목록 중 첫 번째 다항식은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle X_{1}^{3}^{3}+X_{2}^{3}-7=e_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-3e_{2}(X_{1},X_{2})e_{1}(X_{1},X_{1},X_{2})-7}$

(이것이 항상 가능하다는 증거는 대칭 다항식의 기본 정리를 참조한다.)

단항 대칭 다항식

초기의 대칭 다항식의 힘과 생산물은 다소 복잡한 표현으로 작용한다.대칭 다항식의 기본 적층 구성 블록을 찾는다면 대칭을 얻기 위해 필요한 복사본만 포함하는 대칭 다항식을 선택하는 것이 더 자연스럽다.X₁, …, X의_n 모노미알은 X₁^α₁……X로_n^α_n 표기할 수 있으며 여기서 지수_i α는 자연수(대략 0)이며, α = (α₁, …,α_n)는 X로 ^α 축약할 수 있다.단항 대칭 다항식 m_α(X₁, …, X_n)은 모든 단항 x의^β 합으로 정의되며, 여기서 β는 (α₁, …,α_n)의 모든 구별되는 순열에 걸쳐 있다.예를 들어, 한 가지는

${\displaystyle m_{(3,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{3}^{3}}$,

${\displaystyle m_{(3,2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}^{3}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{3}.}$

명백하게_α m = β가 α의 순열일 때 m이므로_β, 보통₁ α α α₂ α α α α α가_n 정수의 분할인 m만을_α 고려한다.이러한 단항 대칭 다항식은 벡터 공간 기반을 형성한다. 모든 대칭 다항 P는 단항 대칭 다항식의 선형 조합으로 쓸 수 있다.이를 위해 P에서 발생하는 여러 유형의 단원형을 분리하는 것으로 충분하다.특히 P에 정수 계수가 있으면 선형 결합도 마찬가지다.

기본 대칭 다항식은 단항 대칭 다항식의 특정한 경우: 0 ≤ k ≤ n의 경우

${\displaystyle e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=m_{\alpha }(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ where α is the partition of k into k parts 1 (followed by n − k zeros).

검정력 합 대칭 다항식

각 정수 k ≥ 1에 대해 단수 대칭 다항식 m_(k,0,…,0)(X₁, …, X)은_n 특별한 관심사다.검정력 합 대칭 다항식이며 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle p_{k}(X_{1},\ldots,X_{n})=X_{1}^{1}^{k}+X_{2}^{k}+\cdots +X_{n}^{n}^{k}.}$

모든 대칭 다항식은 합리적 계수를 포함하는 추가와 승수를 통해 첫 번째 n 전력 합계 대칭 다항식으로부터 얻을 수 있다.더 정확히 말하자면

X₁, …, X의_n 모든 대칭 다항식은 전력 합계 대칭 다항식 p₁(X_1n, …, X), …, p_n(X₁, …, X_n)에서 합리적인 계수를 갖는 다항식으로서 표현할 수 있다.

특히, k > n에 대한 나머지 전력 합계 다항식_k p(X₁, …, X_n)는 첫 번째 n 전력 합계 다항식에서도 그렇게 표현할 수 있다.

${\displaystyle p_{3}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {3}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2})-{\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}.}$

기본 및 전체 동종 다항식의 상황과 대조적으로, 적분 계수가 있는 n 변수의 대칭 다항식은 전력 총 대칭 다항식의 적분 계수를 갖는 다항 함수가 될 필요는 없다.예를 들어, n = 2의 경우 대칭 다항식

${\displaystyle m_{{{1}}(X_{1},X_{2})=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}$

라는 표현이 있다.

${\displaystyle m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-{\frac {1}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2}).}$

세 변수를 사용하면 다른 식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\\&=p_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})p_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})-p_{3}(X_{1},X_{2},X_{3}).\end{정렬}}}$

해당 식은 두 변수(X를₃ 0으로 설정하는 것으로 충분함)에도 유효했지만, p를₃ 포함하기 때문에 n = 2에 대한 문구를 설명하는 데 사용할 수 없었다.이 예는 첫 번째 n 검정력 합 다항식의 경우 주어진 단항 대칭 다항식의 식이 합리적인 계수를 포함하는지 여부에 따라 달라질 수 있음을 보여준다.그러나 동력 합계 다항식의 관점에서 기초 대칭 다항식(상수 대칭 다항식 및 첫 번째 전력 합계와 일치하는 e는₁ 제외)을 표현하기 위해서는 합리적인 계수가 항상 필요하다.뉴턴 정체성은 이것을 하기 위한 명시적인 방법을 제공한다; 그것은 합리적인 계수를 설명하는 n까지의 정수에 의한 분리를 포함한다.이러한 분할 때문에, 유한한 특성 분야에서 계수를 취할 때 일반적으로 언급된 문장은 실패하지만, 합리적인 숫자를 포함하는 링의 계수로 유효하다.

완전한 동종 대칭 다항식

음이 아닌 각 정수 k에 대해 완전한 동종 대칭 다항식 h_k(X₁, …, X_n)는 변수 X₁, …, X에서_n 도 k의 모든 구별되는 단항 합이다. 예를 들어,

${\displaystyle h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}+X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{3}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}+X_{3}^{3}.}$

다항식 h_k(X₁, …, X)는_n 또한₁ X, …, X의_n 모든 구별되는 단항 대칭 다항식의 합이기도 하다. 예를 들면 X, …, X.

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})\\&=(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3})+(X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2})+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\end{aigned}}$

이러한 변수의 모든 대칭 다항식은 완전한 동종 다항식으로부터 구축될 수 있다. X의₁ 모든_n 대칭 다항식은 승수와 추가를 통해 완전한 동종_n 다항식 h₁(X₁, …, X), …(X, …, …, h_n(X₁, …, X_n)더 정확히 말하자면:

X의₁ 모든 대칭 다항식 P, …, X는_n 다항식 h_k(X₁, …, X_n)에 1 ≤ k ≤ n으로 표기할 수 있다.

P에 적분 계수가 있으면 다항식에도 적분 계수가 있다.

예를 들어, n = 2의 경우 관련 완전한 동종 대칭 다항식은 h₁(X₁₂, X) = X₁ + X 및₂ h₂(X₁, X₂) = X₁² + XX₁₂ + X이다₂².위의 예 목록 중 첫 번째 다항식은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle X_{1}^{3}^{3}+X_{2}^{3}-7=-2h_{1}(X_{1},X_{2})^{3}+3h_{1}(X_{1},X_{2})h_{2}(X_{1},X_{1})-7-7.}$

전력 합계의 경우와 마찬가지로, 주어진 진술은 특히_n h(X₁, …, X_n)를 넘어서는 완전한 동종 대칭 다항식에 적용되어, 해당 시점까지의 다항식의 관점에서 표현할 수 있다. 다시 한번 변수의 수가 증가하면 결과의 정체성은 무효가 된다.

완전한 동종 대칭 다항식의 중요한 측면은 기초 대칭 다항식과의 관계인데, 이는 정체성으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{k-i}(X_{1},\ldots ,X_{n})=0}$, for all k > 0, and any number of variables n.

이후 e0(X1,…, Xn)과 h0(X1,…, Xn)둘 다 1과 동일하다,.;전자는 방정식을 재귀적으로 초등 대칭 다항식의 측면에서 그리고 후자 equatio의 세트를 주고 연속적인 완전한 균질 대칭 다항식을 표현할 수 있는 세트를 준다 또는 이 summations의 지난 학기 첫번째만 분리할 수 있다.ns를t는 역행하는 것을 허용한다.이는 모든 대칭 다항식이 1 ≤ k ≤ n으로 h_k(X₁, …, X_n) 단위로 표현될 수 있음을 암시적으로 보여준다. 하나는 우선 초 대칭 다항식을 기준으로 대칭 다항식을 표현하고, 그 다음 언급된 완전한 동종 다항식을 기준으로 표현한다.

슈르 다항식

대칭 다항식의 또 다른 종류는 슈르 다항식의 그것으로서, 표현 이론에 대칭 다항식의 적용에 있어 근본적인 중요성을 갖는다.그러나 그것들은 다른 종류의 특수 대칭 다항식만큼 설명하기 쉽지 않다. 자세한 내용은 주요 기사를 참조하십시오.

대수에서의 대칭 다항식

대칭 다항식은 선형대수학, 표현이론, 갈루아 이론에 중요하다.그것들은 또한 조합학에서도 중요한데, 대칭함수의 링을 통해 대부분 연구되기 때문에 항상 일정한 수의 변수를 가지고 다닐 필요가 없다.

교번다항식

대칭 다항식과 유사한 다항식은 교차 다항식이다. 다항식은 항목의 순열에서 불변성이 아니라 순열의 기호에 따라 변경된다.

이것들은 모두 반데르몽드 다항식 및 대칭 다항식의 산물이며, 대칭 다항식의 고리의 2차 확장을 형성한다: 반데르몽드 다항식은 판별의 제곱근이다.

참고 항목

• 대칭함수
• 뉴턴의 정체성
• 스탠리 대칭 함수
• 뮤어헤드의 부등식

참조

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
• 맥도날드, I.G.(1979년), 대칭 함수 및 홀 다항식.옥스퍼드 수학 모노그래프스옥스퍼드: 클라렌던 프레스.
• I.G. 맥도날드(1995), 대칭 함수 및 홀 다항식, 두 번째 에드.옥스퍼드: 클라렌던 프레스.ISBN 0-19-850450-0 (페이퍼백, 1998)
• 리처드 P. Stanley(1999), Enumerative Compinatorics, Vol. 2. Cambridge:케임브리지 대학 출판부.ISBN 0-521-56069-1