이상(링 이론)

추상대수의 한 분야인 고리 이론에서, 고리의 이상은 그 원소의 특별한 부분 집합이다.이상은 짝수나 3의 배수 같은 정수의 특정 부분 집합을 일반화한다.짝수의 덧셈과 뺄셈은 짝수를 유지하며 짝수에 임의의 정수(짝수 또는 홀수)를 곱하면 짝수가 됩니다.이러한 폐쇄 및 흡수 특성은 이상을 정의하는 속성입니다.이상(Ideal)은 그룹 이론에서 정규 부분군을 사용하여 지수군을 구성하는 방법과 유사한 방식으로 지수환을 구성하는 데 사용될 수 있다.

정수 중에서 이상은 음이 아닌 정수와 일대일로 대응한다: 이 환에서, 모든 이상은 음이 아닌 단일 숫자의 배수로 구성된 주요 이상이다.그러나 다른 고리에서는 이상이 고리 요소에 직접 대응하지 않을 수 있으며, 정수의 특정 특성은 고리에 일반화될 때 고리의 요소보다 이상에 더 자연스럽게 부착됩니다.예를 들어, 고리의 소수는 소수와 유사하며, 중국 나머지의 정리는 이상에 일반화 될 수 있다.데데킨트 영역의 이상을 위한 독특한 소인수 분해의 버전이 있습니다.

순서론의 이상에 대한 관련되지만 구별되는 개념은 고리 이론의 이상 개념에서 파생됩니다.부분적 이상은 이상을 일반화하는 것이고, 일반적인 이상은 때때로 명확성을 위한 통합적 이상이라고 불립니다.

역사

에른스트 쿠머는 독특한 인수 분해가 실패하는 숫자 고리에서 "결측" 인자로서의 역할을 하기 위해 이상적인 숫자의 개념을 발명했다; 여기서 "이상"이라는 단어는 ^[1]무한대의 점들과 같은 기하학에서 "이상" 물체와 유추하여 상상력에만 존재하는 의미이다.1876년, 리처드 데데킨트는 디리클레의 책 볼레숭겐 über Zahlentheory의 제3판에서 쿠머의 정의되지 않은 개념을 구체적인 수 집합, 즉 이상 집합으로 대체했는데, 데데킨트는 거기에 많은 ^[1]^[2]^[3]보충물을 추가했습니다.나중에 그 개념은 숫자 고리를 넘어 데이비드 힐버트, 특히 에미 노에더에 의해 다항식 고리와 다른 교환 고리의 설정으로 확장되었다.

정의와 동기

임의의 링 $(R,+,\cdot )$ , $(R,+,\cdot )$ + , $)$ { $displaystyle$ ( R , + , \ $cdot$ ) $(R,+)$ 에서는 $(R,+)$ (R $(R,+)$ , + ) { $displaystyle$ (R , $+$ )} 가 $(R,+)$ 가산 그룹입니다.하위 $집합$ I $(\displaystyle$ I $)$ 는 $I$ R $(\displaystyle$ R $)$ 의 $R$ 덧셈 부분군인 경우 R $(\displaystyle$ R) $R$ 의 $R$ 왼쪽 아이디얼(left ideal)이며, 다음 두 가지 조건을 만족하는 경우 I $(\displaystyle$ I $)$ 은 $I$ 왼쪽 아이디얼 $($ le I)이다.

$(I,+)$ , $(I,+)$ + $(I,+)$ ) { $displaystyle$ ( $I$ , $(R,+),$ + $(R,+),$ ) $、$ { $displaystyle$ ( $R$ , $(R,+),$ + ) $(R,+),$ 의 서브그룹입니다.
$r$ $r\in R$ $x\in I$ $r\in R$ r r r $r\in R$ $display style$ $r$ r r r $rx$ $rx$ 는 $x\in I$ $display style$ rx 입니다 $I$

오른쪽 이상은 조건 "r x " I"가 "x r " I"로 대체되어 정의됩니다.양면 이상은 왼쪽 이상이며 오른쪽 이상이라고도 합니다.모듈 언어로 정의란 R을 왼쪽(res. right, bi-side) R 모듈로 볼 때 R의 왼쪽(res. right, bi-side) 이상은 R의 R-서브 모듈임을 의미한다.R이 교환환일 경우 왼쪽, 오른쪽 및 양면 이상에 대한 정의가 일치하며 이상이라는 용어가 단독으로 사용됩니다.

이상 개념을 이해하기 위해 "원소 모듈로"의 고리 구성에서 이상이 어떻게 생기는지 생각해 보십시오.구체적으로는 정수 모듈 n의 링 δ/N δ에 대해 설명하겠습니다(δ는 교환 링임을 주의).여기서 중요한 관찰은 다양한 정수를 식별하기 위해 정수선 and을 가져와서 그 자체로 감싸는 것으로 ℤ/Nℤ을 얻는 것입니다.그러기 위해서는 다음 2가지 요건을 충족해야 합니다.

1) n은 0 modulo n과 일치하므로 0과 동일해야 한다.

2) 생성된 구조물은 다시 링이어야 한다.

두 번째 요건은 추가적인 식별을 강요한다(즉, δ를 그 자체로 감싸야 하는 정확한 방법을 결정한다).이상이라는 개념은 다음과 같은 질문을 할 때 발생합니다.

0으로 식별해야 하는 정수의 정확한 집합은 무엇입니까?

정답은 당연히 0 모듈로 n에 해당하는 모든 정수의 집합 NΩ = {nm m ∈ }입니다.즉, 정수 ..., n · (-2), n · (-1), n · (+1), n · (+2), ...이 모두 0과 일치하도록 δ를 무한히 감아야 합니다.δ/NΩ이 링임을 보증하기 위해 이 세트가 충족해야 하는 성질을 살펴보면 이상에 대한 정의에 도달합니다.실제로 NΩ이 δ의 이상임을 직접 확인할 수 있다.

비고. 0 이외의 요소도 식별해야 합니다.예를 들어, 1 + NΩ의 요소는 1로, 2 + NΩ의 요소는 2로 식별해야 합니다.단, δ는 첨가기이므로 Nδ에 의해 고유하게 결정된다.

임의의 가환환 R에서 유사한 구조를 만들 수 있습니다. 임의의 x δ R에서 시작하여 이상적인 xR = { x r : r δ R }의 모든 요소를 0으로 식별할 수 있습니다. 이상적인 xR은 x를 포함하는 가장 작은 아이디얼이며, 그 후 x에 의해 생성된 아이디얼이라고 불립니다. 보다 일반적으로, 임의의 서브셋 S δ R에서 시작할 수 있습니다.S에 의해 생성된 아이디얼의 모든 요소가 0인 경우: S ( (S)와 같이 가장 작은 아이디얼(S)이다.식별 후에 얻을 수 있는 링은 이상(S)에만 의존하며 처음에 사용한 세트S에는 의존하지 않습니다.즉, (S) = (T)이면 결과 링은 동일합니다.

따라서 교환환 R의 이상 I는 소정의 서브셋 S δ R의 모듈로 소자의 링을 얻기 위해 필요한 정보를 캐논적으로 취득한다.I의 원소는 정의상 0과 일치하는 원소, 즉 결과 링에서 0으로 식별되는 원소입니다.결과 링은 I에 의해 R의 몫이라고 불리며 R/I로 표시됩니다.직관적으로 이상적인 것의 정의는 R/I에 의해 "zeros"로 지정된 모든 요소를 포함하기 위해 I에 필요한 두 가지 자연 조건을 가정한다.

I는 R의 가법 부분군이다: R의 0은 0 , I이고, x and I와₂ x i I가₁ "제로"이면 x₁ - x₂ i I도 "제로"이다.
임의의 r R에 "0" x " I를 곱하면 "0" rx " I가 됩니다.

위의 조건도 필요한 모든 "zero"를 포함하기에 충분한 것으로 판명되었습니다.R/I를 형성하기 위해 다른 요소를 "제로"로 지정할 필요는 없습니다(실제로 식별을 최소화하고 싶다면 다른 요소를 "제로"로 지정할 필요는 없습니다).

비고. 위의 구조는 R이 반드시 가환적이지는 않더라도 여전히 양면 이상을 사용하여 작동합니다.

예와 속성

(간단히 하기 위해 일부 결과는 왼쪽 이상에 대해서만 언급되지만 일반적으로 적절한 표기법 변경으로 오른쪽 이상에도 해당됩니다.)

링 R에서는 집합 R 자체가 단위 이상이라고 불리는 R의 양면 이상을 형성한다. $1_{R}$ $1_{R}$ 에 의해 정확히 생성되는 양면 아이디얼 $아래$ 참조)이기 때문에 종종 ( $)$ { $displaystyle$ (1 $)$ 로 $(1)$ 표시되기도 한다.또한, 덧셈_R 아이디얼 0만으로 이루어진 $\{0_{R}\}$ { $R$ { $displaystyle \{0_R}$ 은 이상이라고 불리는 양면 아이디얼을 형성하고 있다.( $0$ ){ $displaystyle (0)$ $(0)$ ^{[note 1]} 모든 이상(좌, 우 또는 양면)은 0 이상을 포함하며 단위 이상에 포함됩니다 $.$
단위 이상이 아닌 (왼쪽, 오른쪽 또는 양면) 이상을 적절한 이상(적절한 부분 ^[4]집합이므로)이라고 합니다.주의: $왼쪽 아이디얼은 단위$ $요소$ 를 포함하지 않는 경우에만 적절합니다. $왜냐하면$ u $u\in {\mathfrak {a}}$ u $r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}$ $u$ $u$ ${\mathfrak {a}}$ u u u u u u u u u u u u u u u $r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}$ $r\in R$ r u u u u u u u u $u$ u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u $r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}$ u u u u u u u 특히 적절한 이상이 많이 있다.실제로 R이 스큐 필드일 경우 $(0),(1)$ ( $(0),(1)$ ) $(0),(1)$ , ( $(0),(1)$ ) $(0),(1)$ (1 $)$ 이 유일한 $(0),(1)$ 이상입니다.즉, ( $(0),(1)$ ) $(0),(1)$ , $(0),(1)$ ) $(0),(1)$ \ $displaystyle (0),$ (1 $)$ 이 $(0),(1)$ 유일한 왼쪽(또는 오른쪽) 이상 $(0),(1)$ 증명:\ $display$ x $} 이$ 아닌 $경우$ 링 R은 스큐 필드입니다. $displaystyle$ Rx}( $Rx$ 아래 참조)는 0이 아니므로 $Rx=(1)$ $Rx=(1)$ $=$ ( $Rx=(1)$ $){displaystyle$ Rx=(1) $Rx=(1)$ ; $yx=1$ , $z$ 이 아닌y $(\displaystyle$ y $y$ 의 경우 $yx=1$ $yx=1$ $z=z(yx)=(zy)x=x$ $1$ (\ $displaystyle$ $z$ $z$ 의 경우 $=$ $z=z(yx)=(zy)x=x$ $(\$ $displaystyle zyle$ z $z=z(yx)=(zy)x=x$ 의 경우 y $z=z(yx)=(zy)x=x$ 1 $)$ 입니다. $z=z(yx)=(zy)x=x$ .)
짝수 정수는 모든 정수의 $\mathbb {Z}$ Z $(\displaystyle \mathbb$ { $Z})$ 에서 $\mathbb {Z}$ 이상을 형성합니다.보통 $(\$ 2 $\mathbb {Z}$ $2\mathbb {Z}$ 로 $2\mathbb {Z}$ 됩니다.이는 짝수 정수의 합이 짝수이고 짝수 정수의 곱도 짝수이기 때문입니다.마찬가지로, 고정 정수 n으로 나눌 수 있는 모든 정수의 집합은 n $(\$ n $\mathbb {Z$ 로 $n\mathbb {Z}$ 이상입니다.
다항식² x + 1로 나누어질 수 있는 실제 계수를 갖는 모든 다항식의 집합은 모든 다항식의 환에서 이상적이다.
마지막 행이 0인 모든 n-by-n 행렬의 집합은 모든 n-by-n 행렬의 링에서 올바른 이상을 형성합니다.그것은 좌뇌 이상이 아니다.마지막 열이 0인 모든 n-by-n 행렬 집합은 왼쪽 이상을 형성하지만 오른쪽 이상은 아닙니다.
점 곱셈에서 R $(\$ 부터 $\mathbb {R}$ R $(\displaystyle$ \ $mathbb {R})$ 까지의 $C({\mathbb {R}})$ $\mathbb {R}$ 모든 연속 함수 C $(\style$ C)(\ $display$ c $)$ 에는 $C(\mathbb {R} )$ (1) = 0과 같은 모든 연속 함수 f의 이상이 포함되어 $.$ 충분히 큰 인수에 대해 사라지는 함수, 즉 x > L일 때마다 f(x) = 0이 되는 숫자 L > 0이 존재하는 연속 함수 f에 의해 결정된다.
링이 0이 아니고 ( $(0),(1)$ ( $(0),(1)$ ) $(0),(1)$ \ $display$ style $(0),$ (1) $이외$ 의 $(0),(1)$ 양면 이상이 없는 경우는 심플링이라고 불립니다.따라서 스큐 필드는 단순하고 단순한 교환 링은 필드입니다.스큐 필드 위의 매트릭스 링은 단순한 링입니다.
$f:R\to S$ : $f:R\to S$ $f:R\to S$ \ $displaystyle$ f : $R\to$ S는 $f:R\to S$ 링 동형사상이며, $\ker(f)=f^{-1}(0_{S})$ ker $\ker(f)=f^{-1}(0_{S})$ ( $\ker(f)=f^{-1}(0_{S})$ f ) $\ker(f)=f^{-1}(0_{S})$ f $\ker(f)=f^{-1}(0_{S})$ - 1 ( $0$ S $\ker(f)=f^{-1}(0_{S})$ ) ( { $displaystyle$ $\ker$ ( f ) = f^ { - $1$ ( 0 $_$ { S $\ker(f)=f^{-1}(0_{S})$ $R$ )는 $\ker(f)=f^{-1}(0_{S})$ $R의$ 양면 아이디얼이다. $f(1_{R})=1_{S}$ f ( $f(1_{R})=1_{S}$ R ) $=$ $f(1_{R})=1_{S}$ ( 1 S $_ 1$ ) $1_{S}\neq 0_{S}$ (\ $displaystyle 1_{S}\neq 0_{S}),$ $\ker(f)$ ( $\ker(f)$ ( $\ker(f)$ $)(\displaystyle \ker(f$ ))가 $\ker(f)$ 적절한 이상입니다 $.$ 보다 일반적으로 S의 각 왼쪽 아이디얼 I에 대해 사전 $f^{-1}(I)$ f - $f^{-1}(I)$ ( $f^{-1}(I)$ $)({displaystyle$ f $^{-1}(I)}$ 은 $f^{-1}(I)$ 왼쪽 아이디얼이다.내가 R의 왼쪽 아이디얼인 $f(I)$ f $I)$ { $displaystyle$ f $(I)}$ 는 $f(I)$ S의 $f(R)$ f( $)$ { $displaystyle$ f( $R)}$ 의 $f(R)$ 왼쪽 아이디얼이다. 단, f $I)$ 는 $f(I)$ S의 이상일 필요는 없다.아래의 #displaystyle $f(I)$ f(I $)$ 도 참조한다.
이상적인 대응: 사영환 $f:R\to S$ f $f:R\to S$ $f:R\to S$ $f:R\to S$ {\ $displaystyle$ f $:$ $R$ $\$ $to$ S $,$ $r$ 의 $f$ (오른쪽, $양면)$ 이상과 $R$ $S$ 의 $왼쪽$ (오른쪽, 양면 $)$ 이상 사이에 생체질서를 유지하는 대응관계가 있다: 대응관계는 I $display$ I $(디스플레이$ I $)$ 에 의해 주어진다. $)$ 및 $I\mapsto f(I)$ $J\mapsto f^{-1}(J)$ J $J\mapsto f^{-1}(J)$ $J\mapsto f^{-1}(J)$ - $J\mapsto f^{-1}(J)$ ( $J\mapsto f^{-1}(J)$ J ) ( \ $displaystyle$ J \ $mapsto$ f^ { - $1 （ J$ ）。게다가, 가환환의 경우, 이 생물적 대응은 원시 이상, 최대 이상 및 급진적 이상으로 제한된다(이러한 이상의 정의는 이상 유형 섹션 참조).
(모듈을 알고 있는 사용자의 경우) M이 왼쪽 R $S\subset M$ 이고 S $S\subset M$ \ $display S\subset$ M인 $S\subset M$ 경우 $\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}$ $\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}$ R $\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}$ ( $\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}$ ) $\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}$ { $\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}$ $\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}$ $\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}$ , $\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}$ \ $displaystyle \opername {Ann(S)_R}$ 가환환 R의 $이상$ ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ $,$ b $({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ {\ $({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}$ ${b$ $}/{\mathfrak {a}}/{\$ mathfrak { $a}}/{\$ $mathfrak$ ${a}}}$ 의 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ $({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}$ $({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}$ R-annihilator는 ${\mathfrak {a}}$ 이다 $.$ $yle {mathfrak$ $({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})$ { $b}}$ 이며 ${\mathfrak {b}}$ , $({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})$ : $({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})$ ) { $displaystyle$ {\ $mathfrak$ {a $}}:{\mathfrak {$ b $({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})$ 로 표시되며, 이는 교환대수의 이상자의 인스턴스이다.
${\mathfrak {a}}_{i},i\in S$ ${\mathfrak {a}}_{i},i\in S$ , ${\mathfrak {a}}_{i},i\in S$ S $({style$ { $a}_{i}_in$ S})를 ${\mathfrak {a}}_{i},i\in S$ 링 R 내의 왼쪽 이상의 오름차순 체인으로 합니다. $,$ S({ $displaystyle$ S})는 $S$ 완전 순서 ${\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}$ 이고 i $)$ 는 j $(style$ { $mathfrak {a}$ $i<j$ 에 대해 각각 {{ ${\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}$ }\ $display\mathfrak {i$ }_ $}_$ }\set $})$ 입니다.다음으로 유니언 $\textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}$ $\textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}$ $\textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}$ \ $displaystyle$ \ $textstyle$ \ $bigcup$ _ { $i$ \ $in$ S } { \ $mathfrak$ { $a } _$ { $i$ }}는 $\textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}$ R의 왼쪽 아이디얼입니다(주의: 이 사실은 유니언 1이 없는 경우에도 그대로입니다).
${\mathfrak {a}}_{0}$ 의 사실과 Zorn의 보조항목을 조합하여 다음과 같이 증명합니다. $E$ $E\subset R$ R \ $displaystyle$ ${\mathfrak {a}}_{0}\subset R$ E \ $subset$ R ${\mathfrak {a}}_{0}\subset R$ 、 0 ${\mathfrak {a}}_{0}$ ${\mathfrak {a}}_{0}\subset R$ R $display$ 、 E ${\mathfrak {a}}_{0}$ e e e e e e e e e e that $e$ e ${\mathfrak {a}}_{0}$ that $that$ and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and $E\subset R$ and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and $\mathfrak {a}_{0}}$ 및 ${\mathfrak {a}}_{0}$ E에서 분리(이것도 링 R에 유니티 1이 없는 경우에도 유효합니다. $R\neq 0$ 0 ( \ $displaystyle$ R \ $neq$ 0 $R\neq 0$ ) ${\mathfrak {a}}_{0}=(0)$ ( ${\mathfrak {a}}_{0}=(0)$ ) { $displaystyle { a$ } $E=\{1\}$ { $0$ } = ( 0 ) 、 E $E=\{1\}$ { 1 $}$ { $displaystyle$ E = \ { $1$ \ $E=\{1\}$ 、、（ ${\mathfrak {a}}_{0}=(0)$ ≠al ideal ideal ideal ideal ideal ideal ideal ideal ideal ideal ）、 특히 왼쪽 아이디얼(단순간단순간단순간히 최대 아이디얼이라고 불린다)이상이 존재한다.
이상의 임의의 결합이 이상일 필요는 없지만, 다음과 같은 것은 사실이다.R의 빈 부분집합 X가 주어졌을 때 X에 의해 생성된 왼쪽 아이디얼이라고 불리며 $(\displaystyle$ RX $RX$ 로 표현되는 최소 왼쪽 아이디얼이 존재한다.이 이상은 X를 포함하는 모든 왼쪽 아이디얼의 교차점이기 때문에 존재한다. $마찬가지$ 로, RX(\ $display style$ RX)는 $RX$ X/R 요소의 모든 (유한) 왼쪽 R-선형 조합의 집합입니다.
$\displaystyle RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N},r_{i}\in R,x_{i}\in X\}.}$

(이러한 스팬은 ^{[note 2]}X를 포함하는 최소 왼쪽 아이디얼이기 때문에) X에 의해 생성된 오른쪽(응답 양면) 아이디얼도 같은 방법으로 정의된다."양면"의 경우 양쪽에서 선형 조합을 사용해야 한다.

\displaystyle RXR=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N},r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_i}\in X\,},

단일 요소 x에 의해 생성된 왼쪽(resp. right, two-side) 아이디얼을 x에 의해 생성된 주 왼쪽(resp. right, two-side) 아이디얼이라고 하며 R $($ resp. $display style$ Rx $($ resp. resp. $x$ R $,$ $R$ $x$ R (\ $style$ x R, $RxR$ $)$ 。주요 양면 $아이디얼$ $({displaystyle$ RxR $})$ 은 $RxR$ ( $)$ { $displaystyle$ ( $x$ $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ 로도 $표시$ 됩니다. $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ { $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ 1 $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ , x n } { displaystyle $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ X = \ { $x$ _ { n $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ } \ $dots$ , $x$ { $n$ \ } ${$ displaystyle $RXR$ } , written written $RXR$ written written written written written written written written $written$ written written written written written written rx rx rx rx rx rx rx 。 $(x_{1},\dots ,x_{n})$ 를 클릭합니다.
정수의 $\mathbb {Z}$ Z(\ $displaystyle \mathbb {Z})$ 에서는 $\mathbb {Z}$ 유클리드 나눗셈(또는 다른 방법)의 결과로 모든 아이디얼이 단일 번호로 생성될 수 있습니다( $\mathbb {Z}$ Z $(\$ ）。
이상과 일치 관계(고리 구조를 존중하는 등가 관계)는 링 위에 생물적으로 대응한다: 링 R의 이상 I가 주어지면 x - y i I일 경우 x ~ y로 하자.그럼 ~는 R에 대한 합동 관계입니다.반대로, R에 ~의 합동 관계가 주어지면, I = { x ~ 0 }이라고 하자.그럼 나는 R의 이상이다.

이상의 종류

설명을 쉽게 하기 위해 모든 링은 가환으로 간주됩니다.비교환 사례에 대해서는 각 기사에서 자세히 설명합니다.

이상은 링 동형사상의 커널로 나타나며 요인 고리를 정의할 수 있기 때문에 중요합니다.다양한 유형의 이상들이 다양한 유형의 요인 고리를 구성하는 데 사용될 수 있기 때문에 다양한 유형의 이상이 연구됩니다.

최대 아이디얼: 적절한 아이디얼 I는 J의 적절한 서브셋을 가진 다른 적절한 아이디얼 J가 존재하지 않는 경우 최대 아이디얼이라고 불립니다.최대 아이디얼의 인자 링은 일반적으로 단순한 링이며 교환 ^[5]링의 필드입니다.
최소 이상:0이 아닌 아이디얼이 다른 0이 아닌 아이디얼을 포함하지 않는 경우 최소 아이디얼이라고 합니다.
프라임 아이디얼: 적절한 아이디얼 I를 프라임 아이디얼이라고 부릅니다.만약 R의 a와 b가 I에 있고, ab이 I에 있다면, 적어도 a와 b 중 하나가 I에 있습니다.기본 아이디얼의 인자 링은 일반적으로 소수 링이며 교환 링의 적분 영역입니다.
래디컬 아이디얼 또는 반소수 아이디얼: 적절한 아이디얼 I는 래디컬 또는 반소수 아이디얼이라고 불리는데, 만약ⁿ R에 있는 a에 대해, 만약 a가 어떤 n에 대해 I에 있다면, a는 I에 있다.래디컬 아이디얼의 인자 링은 일반 링의 경우 반소환이며, 교환 링의 경우 축소 링입니다.
주요 이상:이상 I는 R의 모든 a와 b에 대해, ab이 I에 있으면, 자연수 n에 대해 적어도 a와 bⁿ 중 하나가 I에 있는 경우 1차 이상이라고 불립니다.모든 주요 이상은 기본이지만, 그 반대는 아니다.반프라임 프라이머리 아이디얼은 프라임이다.
주요 이상:하나의 요소에 의해 생성된 이상입니다.
최종 생성된 이상형:이 타입의 이상은 모듈로서 최종적으로 생성된다.
원시적 이상: 왼쪽 원시적 이상은 단순한 왼쪽 모듈의 전멸자입니다.
축소할 수 없는 이상:이상을 적절히 포함하는 이상들의 교차점으로 쓸 수 없다면 이상은 축소할 수 없다고 한다.
콤마시멀 아이디얼: $x\in {\mathfrak {i}}$ $x+y=1$ + $x+y=1$ $x\in {\mathfrak {i}}$ $x+y=1$ { $displaystyle$ $x+y=1$ x $\in$ { $mathfrak { i$ } $y\in {\mathfrak {j}}$ y $y\in {\mathfrak {j}}$ $= 1$ 인 $x + y = 1$ $x+y=1$ , 2개의 ${\mathfrak {i}},{\mathfrak {j}}$ i j $,$ ${\mathfrak {i}},{\mathfrak {j}}$ { $displaystyle$ { i $},$ j {\ $mathfrak$ { $j$ $y\in {\mathfrak {j}}$ y y y y $y\in {\mathfrak {j}}$ y y y y y y y y y {\ ${\$ two two two {\ $x\in {\mathfrak {i}}$ two two two two two two two two two x two two two x x x x x x x x x x x if if if if x x x x x x x if if if if if if if if if if if if two two two if if if if if
통상적인 이상:이 용어에는 여러 가지 용도가 있습니다.리스트에 대해서는, 문서를 참조해 주세요.
이상 없음:만약 각각의 요소가 0이 아니라면 이상은 0이 되는 것이다.
무효 아이디얼마 안 되는 이상:그 중 일부는 0이다.
파라미터 아이디얼: 파라미터 시스템에 의해 생성되는 아이디얼.

"이상"을 사용하는 다른 두 가지 중요한 용어가 항상 이상적이지는 않습니다.상세한 것에 대하여는, 다음의 각 문서를 참조해 주세요.

소수점 이상:이것은 보통 R이 몫 필드 K를 가진 교환 도메인일 때 정의됩니다.이름에도 불구하고, 분수 이상은 특별한 성질을 가진 K의 R 하위 모듈이다.만약 소수 이상이 전적으로 R에 포함되어 있다면, 그것은 진정한 R의 이상이다.
반전 이상형:일반적으로 가역 아이디얼 A는 AB = BA = R인 다른 분수 아이디얼 B가 존재하는 분수 아이디얼로 정의된다. 일부 저자는 영역 이외의 고리에서는 AB = BA = R인 일반 고리 아이디얼 A 및 B에 "가역 아이디얼"을 적용할 수도 있다.

이상적인 운용

이상의 합과 산물은 다음과 같이 정의된다.링 R의 왼쪽(resp.오른쪽) 이상 $($ 과 $(displaystyle$ 의 경우 합계는 다음과 같습니다.

{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}

+

{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}

:

{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}

{

{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}

+

{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}

{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}

{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}

{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}

{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}

∈

{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}

∈ b

{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}

b

}

{

displaystyle

{

mathfrak

{

a

} + { \

mathfrak

{

a

} : = { a +

b

\

mid

a

} in

{

mathfrak

{

b

} }

、

왼쪽(오른쪽) 이상이고 $,$ a {\ $displaystyle {mathfrak {a},$ {\ $mathfrak {b}}}$ 이 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ (가) 양면일 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ )

(\displaystyle {mathfrak {a}}{\mathfrak {b}):=\{a_{1}b_{1}+\mid +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {mathfrak {a}{\mbox{\mbox}\in {b}},i=1,2,\mathfrak {b},n},\mbox{\mbox{i},\mbox{{n},\c},\c},\cards},\card a_{i},\card a_{i},\cards},\cards}입니다.

즉, 제품은 a가 \ $displaystyle {mathfrak$ ${\mathfrak {b}}$ { $a$ ${\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {b}}$ 가 $\$ 인 ${\mathfrak {a}}$ 형태의 모든 제품에 의해 생성되는 이상형입니다.

${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$ a + ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$ ( $디스플레이$ 스타일 { $mathfrak {a$ $}$ + {\ $mathfrak {b})$ 는 ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {a}}$ a ( ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}$ a ${\$ b ( $디스플레이$ 스타일 { $mathfrak$ ${\mathfrak {b}}$ {a $})$ ${\mathfrak {b}}$ 와 ${\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}$ b (또는 유니언 a ${\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}$ b (\ $displaystyle {mathfrak {a})$ 를 모두 ${\mathfrak {a}}$ 하는 최소 왼쪽(오른쪽) 이상형)입니다. ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ {\ $displaystyle {mathfrak {a$ $}}$ {\ $mathfrak {b}}$ 은 $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ $($ 는) \ $displaystyle$ ${\mathfrak {b}}$ {\ $mathfrak$ ${b}}$ 과 ${\mathfrak {a}}$ (와) ${\mathfrak {b}}$ b\ $displaystyle$ {\ $mathfrak$ {b ${\mathfrak {b}}$ 의 교차점에 포함됩니다 $.$

${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$ 법칙은 양면 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$ $,$ b ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$ c {\ $displaystyle {\mathfrak {a},$ {\ $mathfrak {b},$ {\ $mathfrak {c$

${\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ ( ${\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ + ${\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ ) ${\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ ${\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ ${\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ + ${\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ c ${\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ { $displaystyle$ { \ $mathfrak$ { $a$ } ( { \ $mathfrak$ { $b$ } + { \ $mathfrak$ { c } ) = $snammathfrak$ { $a$ } { b} + { \ $mathfrak$ { $c}$ ${\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ ,
$({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ + $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ ) $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ + $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ { $displaystyle$ { \ $mathfrak$ { $a$ } + { \ $mathfrak$ { $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ c $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ } $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ = $mathfrak$ { $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ c $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ } { \ $mathfrak$ { $c$ } + { \ $mathfrak$ { $c$ } } $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ }

제품이 교차점으로 대체되는 경우, 부분 분포 법칙은 다음을 따릅니다.

{\displaystyle {mathfrak {a}}\cap(\mathfrak {b}+{\mathfrak {c})\supset {\mathfrak {b}+{\mathfrak {a}}\cap {mathfrak {c})

여기서 \ $displaystyle$ $\mathfrak {a$ $}$ 은 ${\mathfrak {a}}$ $($ 는 ${\mathfrak {b}}$ ) b\displaystyle\mathfrak ${\mathfrak {b}}$ { $} 또는$ c\ $displaystyle\$ mathfrak ${\mathfrak {c}}$ { $c}$ 을 ${\mathfrak {b}}$ 하는 ${\mathfrak {a}}$ 동등성이 유지됩니다.

비고: 이상의 합과 교차점은 다시 이상입니다. 이 두 가지 연산을 결합하고 충족시킴으로써 주어진 링의 모든 이상 집합은 완전한 모듈러 격자를 형성합니다.격자는 일반적으로 분포 격자가 아닙니다.교차점, 합(또는 결합) 및 곱의 세 가지 연산은 교환환의 이상 집합을 퀀텀으로 만듭니다.

a ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ $(\$ {\ $mathfrak$ ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ { $b})$ 가 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ 교환환 R의 이상일 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ , ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ 두 경우 a ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ b ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ (\ $displaystyle {a}\cap {mathfrak {b})$ = $b($ 적어도 두 경우)

${\displaystyle {mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)$
$\$ 은 ${\mathfrak {a}}$ (는) 정규 시퀀스 모듈로 $\$ 을 ${\mathfrak {b}}$ 를) 형성하는 요소에 의해 생성됩니다.

(일반적으로 제품과 이상의 교차점 사이의 차이는 Tor 함수에 의해 측정됩니다. $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}.$ $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}.$ ^[6] $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}.$ )

.[7] 그러고 나설 수 있는 정역은 데데킨트 정역 이상의 각 쌍에 대해 만약 ⊂ b{\displaystyle{\mathfrak{}}\subset{\mathfrak{b}}}, 이상적인 c{\displaystyle{\mathfrak{c}}}은은 a=bc{\displaystyle{\mathfrak{\mathfrak{}}}={\mathfrak{b}}{\mathfrak{c}}}라고 불린다. sho데데킨트 영역의 0이 아닌 모든 이상은 산술의 기본 정리의 일반화인 최대 이상의 산물로 독특하게 쓰여질 수 있다.

이상적인 운용의 예

Z $(\$ 에는 $\mathbb {Z}$ 다음이 있습니다.

(n)\cap (m)=\operatorname {lcm}(n,m)\mathbb {Z

$(n)\cap (m)$ $(n)\cap (m)$ ) $(n)\cap (m)$ ( $(n)\cap (m)$ $){ display$ ( $n$ )\ $cap$ ( $m$ )는 $(n)\cap (m)$ n{ $display style$ n} $및$ m { $display style$ m $m$ }으로 $n$ 나눌 수 있는 정수 집합이기 때문입니다.

$R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ [ $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ , $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ , $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ , $]{$ $displaystyle$ R = \ $mathbb {C$ } [ $x$ , $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ , ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ ] ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ let let a ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ ( ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ , ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ w ) , ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ ( ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ + ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ , ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ ) , ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ ( ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ + ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$ , w ) { $displaystyle$ { $mathfrak$ { a } $= z$ , w （ w } , w } , w } , w ) 、 { w } } 。

${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ + ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ ( ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ , ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ , ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ + ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ , ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ + ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ ) ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ ( $x$ , ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ , ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ , ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ w ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ ) { \ $mathfrak$ { a } + { \ $mathfrak$ { ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ b } ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x+z)$ ( $z$ , $w$ , $x$ + $z$ ) ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x+z)$ 및 ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x+z)$ + c ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x+z)$ $=$ ( ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x+z)$ , ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x+z)$ , ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x+z)$ x + ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x+z)$ ) $display$ { $mathfrak$ { b $}$ sty frak { brak $}$ sty }
$({displaystyle {mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z), w(x+z), w(y+w)})=(z^{2}+xz, zy+wz, wx+wz, wz, wx+w^{2})})})$
$({displaystyle {mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2}, zw, xw+zw, w^{2}))$
${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ b ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ b ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ { $display$ style { $mathfrak { a$ } \ $cap { mathfrak {$ b ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ } = $scap mathfrak$ { a } ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ , ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ z + ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ 2 ) $a$ c ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ { $display$ style { $mathfrak {$ c ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$ } $=$ w , x + z + $z$ ≠ { $ne$ frak { $ne$ ^ $2 }$ ）

첫 번째 연산에서는 최종적으로 생성된 두 개의 이상을 합한 일반적인 패턴을 볼 수 있는데, 이는 그 발생기의 결합에 의해 생성된 이상이다.마지막 세 가지에서는 두 가지 이상이 제로 아이디얼에서 교차할 때마다 제품과 교차점이 일치한다는 것을 관찰했습니다.이러한 계산은 Macaulay2를 사용하여 확인할 수 있습니다.^[8]^[9]^[10]

고리의 근원

이상은 모듈의 연구에서, 특히 급진적인 형태로 자연스럽게 나타난다.

단순화를 위해 교환 링을 사용하지만, 일부 변경 사항이 있어 결과는 비교환 링에도 해당됩니다.

R을 가환환으로 하자.정의상, R의 원시 이상은 (0이 아닌) 단순한 R-모듈의 전멸자이다.R의 제이콥슨 $J=\operatorname {Jac} (R)$ J $=$ $J=\operatorname {Jac} (R)$ $J=\operatorname {Jac} (R)$ $J=\operatorname {Jac} (R)$ ） { $displaystyle$ J=\ $operatorname {Jac}(R)}$ 은 $J=\operatorname {Jac} (R)$ 모든 원시 이상의 교차점이다.마찬가지로

J=\bigcap _{\mathfrak {m}}{\text {maximal ideal}}{\mathfrak {m}}.

실제로M { $displaystyle$ M $}$ 이 $M$ 단순 모듈이고 x가 M에서 0이 아닌 요소인 $경우$ $Rx=M$ $Rx=M$ $Rx=M$ $Rx=M$ {\ $displaystyle$ Rx $=$ $M$ $}$ 및 $Rx=M$ $R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M$ R / $R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M$ ( ( $R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M$ ) $R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M$ $R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M$ / $R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M$ $R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M$ ( $R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M$ ) $R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M$ M { displaystyle R $/\operatorname {Anname$ } ( $M/Operatorname$ ) = R반대로 m $(\displaystyle$ { $m})$ 이 ${\mathfrak {m}}$ 최대 ${\mathfrak {m}}$ 이라면 m $(\displaystyle$ { $m})$ 은 ${\mathfrak {m}}$ 단순 $/$ (\ $displaystyle$ R $/{\mathfrak$ {m $R/{\mathfrak {m}}$ 의 소멸자입니다.또 다른 특성도 있습니다(증명이 어렵습니다).

\displaystyle J=\{x\in R\mid 1-yx,{\text{는 R\}y\}의 모든 단위 요소입니다.}

불필요한 가환환의 경우 $1-yx$ $1-xy$ x $\$ $displaystyle$ $1-yx$ 가 $1-yx$ 단위 요소인 것은 $1-yx$ 인 사실이며 $1-xy$ $1-xy$ y가 $1-xy$ ( $링크$ 참조)인 $1-xy$ 에만 해당되므로 이 마지막 특성화는 왼쪽 및 오른쪽 원시 이상에 대해 라디칼을 정의할 수 있음을 나타냅니다.

단순하지만 중요한 다음 사실(Nakama's lema)은 제이콥슨 기수의 정의에 포함되어 있다.M이 $JM=M$ $JM=M$ $(\displaystyle JM=M$ 과 같은 모듈이라면 최대 $L\subsetneq M$ L $L\subsetneq M$ (\ $displaystyle L_SUBNE$ )이 있기 때문에 M은 최대 서브모듈을 인정하지 않는다. $(M/L)=0}$ 이므로 $J\cdot (M/L)=0$ M $M=JM\subset L\subsetneq M$ $M=JM\subset L\subsetneq M$ M $M=JM\subset L\subsetneq M$ $M=JM\subset L\subsetneq M$ M $M=JM\subset L\subsetneq M$ \ $display style$ M $= JM$ \ $subsetneq$ M $M=JM\subset L\subsetneq M$ 은 모순입니다.제로 이외의 최종 생성 모듈에서는 최대 서브모듈이 허용되므로 다음 중 하나가 있습니다.

JM=M

M

JM=M

{

displaystyle JM=M}

및 $JM=M$ M이 최종 생성되면

M=0.

M=0.

.

{

displaystyle

M=

0.}

최대 이상은 기본 이상이고, 그래서 사람은 가지고 있다.

\operatorname {p}=\bigcape _{\mathfrak {p}}{\text{p}}{\mathfrak {p}}\display \operatorname {Jac}(R)

여기서 왼쪽의 교차로를 R의 nilradical이라고 합니다.알고 보니 0 $\operatorname {nil} (R)$ ( $\operatorname {nil} (R)$ R $\operatorname {nil} (R)$ ){ $displaystyle \operatorname {nil$ } ( $R$ 도 R의 null potent 요소 집합입니다.

R이 Artinian 링일 $\operatorname {Jac} (R)$ $\operatorname {Jac} (R)$ ( $\operatorname {Jac} (R)$ ( R $){$ $displaystyle \operatorname {Jac$ } ( $\operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)$ $=$ $\operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)$ ( $\operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)$ R $\operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)$ ){ $displaystyle \operatorname {jac}$ (R) =\ $operatorname {Jac}$ ( $R$ (R)는 $\operatorname {Jac} (R)$ $\operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)$ 이며, 첫 번째 메모: $({displaystyle {mathfrak {a}}\supsetneq$ \ $operatorname$ {Ann $}(J^{n})}$ 은 ${\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})$ 후자에 비해 이상적으로 최소이며, $J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0$ $J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0$ ( $J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0$ / $J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0$ ${\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})$ $J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0$ ( $J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0$ ) $0$ (\ $displaystyle$ J\ $cdot {a}$ / {a} / \operatorname {Ann $}) = {Ann})$ 이 됩니다 ${\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})$ $frak {a}}=0$ 모순입니다.)

이상적인 확장과 축소

A와 B를 2개의 치환환으로 하고, f : A → B를 고리 동형사상으로 한다.A에서 ${\mathfrak {a}}$ \ $displaystyle {mathfrak$ $f({\mathfrak {a}})$ { $a}}$ 이 ${\mathfrak {a}}$ $f({\mathfrak {a}})$ (가) 이상일 ${\mathfrak {a}}$ $a)$ { $displaystyle$ f $({\mathfrak$ {a})}가 B에서 이상일 필요는 없습니다(예를 들어 f를 취하면 Rationals Q 필드에 정수 Z의 링을 포함할 수 있습니다).B에서 ${\mathfrak {a}}$ \ $displaystyle\mathfrak {a}$ 의 ${\mathfrak {a}}$ e $\$ mathfrak {a $f({\mathfrak {a}})$ 의 ${\mathfrak {a}}^{e}$ ${\mathfrak {a}}^{e}$ 는 ${\mathfrak {a}}^{e}$ (a)\ $displaystyle$ f $({\$ mathfrak { $a$ 에 의해 생성되는 $f({\mathfrak {a}})$ B에서 이상적인 것으로 정의됩니다.

({displaystyle {mathfrak {a})^{e}=(크기 \{}\sum y_{i}f(x_{i}): x_{i}\in {mathfrak {a}, y_{i}\in B {\Big \}})

$(\$ $f^{-1}({\mathfrak {b}})$ { $b})$ 가 ${\mathfrak {b}}$ B의 이상이라면 $)(\displaystyle$ f^{- $1}({\mathfrak {$ b}))는 $f^{-1}({\mathfrak {b}})$ 항상 A의 ${\mathfrak {b}}^{c}$ 이며, b $(displaystyle$ { $mathfrak {b})$ 에서 ${\mathfrak {b}}$ A로의 $b(\$ {b $})$ 라고 ${\mathfrak {b}}^{c}$ $불립니다$ .

f : A → B가 고리형 ${\mathfrak {a}}$ 이고 $,$ A에서는 \ $displaystyle {$ $mathfrak$ ${a}}$ 이 ${\mathfrak {a}}$ , ${\mathfrak {b}}$ B에서는 \ $displaystyle$ {mathfrak ${b}$ 이 ${\mathfrak {b}}$ (가) 이상이라고 가정하면 다음과 같습니다.

$(\$ 는 ${\mathfrak {b}}$ B $(\displaystyle\rightarrow)$ ${\mathfrak {b}}^{c}$ (\ $displaystyle\mathfrak {b})^{c})$ 는 ${\mathfrak {b}}^{c}$ A(A)의 소수입니다.
$({displaystyle {mathfrak {a}}^ec}\supsetec {mathfrak {a})$
${\displaystyle\mathfrak {b}}^{ce}\displayeq {mathfrak {b}}$

일반적으로 A에서 소수 $($ 또는 최대)인 ${\mathfrak {a}}$ $displaystyle {mathfrak$ {a $}^{e$ }}이 ${\mathfrak {a}}$ $($ 가) B에서 소수(또는 최대) ${\mathfrak {a}}^{e}$ 을 의미하는 것은 ${\mathfrak {a}}$ 것입니다.이것의 많은 고전적인 예들은 대수적 수 이론에서 비롯된다. $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$ 를 들어, $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$ $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$ $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$ [ $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$ i $]$ \ $displaystyle \mathbb {Z$ } \ $to \$ $mathbb$ ${Z}$ \left\ $lbrack i\right$ \rbrack $}$ . $B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$ $B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$ $Z$ [ i $B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$ ] \ $displaystyle$ B = $\left\lbrack i\right$ \rack $B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$ \rack $}$ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 $2=(1+i)(1-i)$ 2요소 ( $2=(1+i)(1-i)$ )를 $2=(1+i)(1-i)$ 합니다. $\displaystyle$ $(2)^{e}$ 1 $+i, 1-i}$ 는 $1+i,1-i$ B 단위입니다 $(2)^{e}$ 따라서 ( $(2)^{e}$ {\ $displaystyle (2)^{$ e $(2)^{e}$ }는 B단위가 아닙니다(따라서 최대값이 아닙니다).실제로 ( $(1\pm i)^{2}=\pm 2i$ ± $(1\pm i)^{2}=\pm 2i$ ) $(1\pm i)^{2}=\pm 2i$ $=$ ± $(1\pm i)^{2}=\pm 2i$ i ( $1\pm$ i)^{2}=\ $pm$ 2i $}$ 는 $(1\pm i)^{2}=\pm 2i$ $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ ( $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ ) $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ ( $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ i $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ ) - $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ ( $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ ) 2 $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$ (1 - $i$ ( $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ - i $)$ $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ ( $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ - i ) , $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ ( $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ - $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ ) $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ 1 $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ - $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ i ) ( $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$ - i ) $i)^{$ 2 $(2)^{e}=(1+i)^{2}$

한편, f가 ${\mathfrak {a}}\supseteq \ker f$ 이고 $,$ ${\mathfrak {a}}\supseteq \ker f$ f ${\mathfrak {a}}\supseteq \ker f$ f {\ $displaystyle\mathfrak$ {a $}\supseteq$ \ $ker$ f $}$ 인 ${\mathfrak {a}}\supseteq \ker f$ 경우, 다음과 같습니다.

${\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}$ c ${\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}$ {\ $displaystyle {a}^$ ${\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}}$ $}$ = ${\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}}$ {\ $displaystyle {b}$ = b {\displaystyle {b}^ $ce$ } = a\displaystyle {\mathfrak ${b}}$ = a\ $displaymathfrak$ {b} ${\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}}$ } = b.
$(\$ 는 ${\mathfrak {a}}$ A $(\displaystyle\$ 왼쪽 $화살표)$ 의 $\Leftrightarrow$ ${\mathfrak {a}}^{e}$ 이상이고 $(\$ 는 ${\mathfrak {a}}^{e}$ B(B)의 주요 이상입니다.
$(\$ 는 ${\mathfrak {a}}$ A $(\displaystyle\$ 왼쪽 $화살표)$ 에서 $\Leftrightarrow$ 최대 이상이고 e $(\$ 는 ${\mathfrak {a}}^{e}$ B(B)에서 최대 이상입니다.

비고: K를 L의 필드 확장, B와 A를 각각 K와 L의 정수의 링으로 한다.그러면 B는 A의 적분 확장이고, 우리는 f를 A에서 B로의 포함 맵으로 한다.A의 소수 ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}$ a $=$ ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}$ ({ $displaystyle {a$ }}) = p ({mathfrak {a}}) = p ({ $mathfrak {p})})$ 의 ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}$ 확장 아래에서의 거동은 대수적 수론의 중심 문제 중 하나이다.

다음은 때때로 ^[11]유용합니다. p ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}$ ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}$ ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}$ c { $p}$ = p e c {p} = p mathfrak {p $}$ $=$ p mathfrak { $p}$ {p} ^{ec ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}$ 인 ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}$ 에만 prime ${\mathfrak {p}}$ 한 것입니다(증명:후자를 가정할 때 ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}$ ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}$ ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}$ p ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}$ ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}$ ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}$ p ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}$ p p ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}$ p e { $displaystyle$ { $mathfrak { p }$ = ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}$ B _ ${$ \ $mathfrak$ { $p$ } = B _ { \ $mathfrak$ ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}$ { p $}$ } = B _ { \ $rightarrow$ { $mathfrak$ { $p$ } { p } { p } $A-{\mathfrak {p}}$ s { p - $A-{\mathfrak {p}}$ } } $A-{\mathfrak {p}}$ { $displaystysty$ { p } $A-{\mathfrak {p}}$ } } s { p } confrack { p } conc $B_{\mathfrak {p}}$ B $B_{\mathfrak {p}}$ p { $displaystyle B_$ {\ $mathfrak$ { $}}$ 의 기본 이상은 A $A-{\mathfrak {p}}$ - $A-{\mathfrak {p}}$ { $display$ A - {\ $mathfrak$ ${$ $p}}$ 에서 $A-{\mathfrak {p}}$ 된 B의 기본 ${\mathfrak {q}}$ q가 $있습니다$ ${\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}$ {\ $displaystyle {mathfrak {q}B_{\$ $mathfrak {p}}}$ 는 ${\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}$ $pe$ B ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}$ p {\ $displaystyle$ {p $}{e$ }B_ ${\$ $mathfrak$ {p ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}$ 를 ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}$ 하는 최대 이상입니다. 그런 다음 q ${\$ ${\mathfrak {p$ 이 ${\mathfrak {p}}$ p 위에 ${\mathfrak {q}}$ 있는지 ${\mathfrak {q}}$ 합니다.그 반대는 명백합니다.)

일반화

이상은 임의의 모노이드 객체 $(R,\otimes )$ , $⊗ )$ 로 일반화할 수 있습니다 $(R,\otimes )$ $R$ 서 R $(\displaystyle$ $(R,\otimes )$ R $)$ 은 $R$ 모노이드 구조를 잊어버린 객체입니다. $R(\displaystyle$ R $)$ 의 $R$ 왼쪽 아이디얼은 $"R$ (\ $displaystyle$ R $)"$ 의 $R$ 에 의해 왼쪽에서 곱셈을 흡수하는 $서브오브젝트$ I(\displaystyle I $)$ 입니다 $I$ . 즉 $,$ I(\ $displaystyle$ I $)$ 은 $I$ 다음 두 가지 조건을 충족하는 경우 왼쪽 $I$ 입니다.

$(Displaystyle$ I $)$ 는 $I$ R $(Displaystyle$ R $)$ 의 $서브$ 오브젝트입니다.
For every $r\in (R,\otimes )$ and every $x\in (I,\otimes )$ , the product $r\otimes x$ is in $(I,\otimes )$ .

오른쪽 아이디얼은 " $x\otimes r\in (I,\otimes )$ " $r\otimes x\in (I,\otimes )$ $x\otimes r\in (I,\otimes )$ $r\otimes x\in (I,\otimes )$ " $r\otimes x\in (I,\otimes )$ ( $r\otimes x\in (I,\otimes )$ , $r\otimes x\in (I,\otimes )$ " $r\otimes x\in (I,\otimes )$ ) { $displaystyle$ $r\otimes x\in (I,\otimes )$ r $\otimes$ x $\in$ ( $I$ , $\otimes$ $r\otimes x\in (I,\otimes )$ ) $x\otimes r\in (I,\otimes )$ $r\otimes x\in (I,\otimes )$ 조건으로 정의됩니다. $x\otimes r\in (I,\otimes )$ 양쪽 아이디얼은 왼쪽이고 오른쪽 아이디얼도 이상적입니다.R{\ $displaystyle$ R $}$ 이 $R$ 각각 교환 모노이드 객체일 $경우$ 왼쪽, 오른쪽, 양면 아이디얼의 정의가 일치하며 아이디얼이라는 용어만 사용됩니다.

이상은 R모듈의 특정 유형으로도 생각할 수 있습니다. $R을$ 왼쪽 $R$ $R$ 모듈( $왼쪽$ 곱셈에 의한 $)$ 로 $R$ $본다면$ 왼쪽 $I$ 는 $I$ 실제로는 $R$ 의 왼쪽 서브 모듈일 $뿐$ 입니다. 즉 $,$ $I$ 는 $R$ 의 $왼쪽$ (오른쪽 아이디얼 I $)$ 이고, I는R의 왼쪽 아이디얼 R의 왼쪽(오른쪽 아이디얼 I은 $I$ R의 왼쪽(오른쪽 아이디얼 I)입니다 $R$ .왼쪽(오른쪽) $({$ $displaystyle$ R $})$ - 모듈 $R$ $($ $R$ ({ $displaystyle$ R $R$ 의 $서브$ $R$ ({ $displaystyle$ R $R$ - 바이모듈인 $R$ 경우 I $({$ $displaystyle$ I $})$ 은 $I$ 양면 이상입니다.

예제:R $=$ {\ $displaystyle$ $\mathbb {Z}$ R=\ $mathbb {Z}$ 로 $R=\mathbb {Z}$ 하면 $,$ Z {\ $displaystyle$ \mathbb {Z $}}$ 의 $\mathbb {Z}$ 이상은 Z $\mathbb {Z}$ {\ $displaystyle$ \ $mathbb {Z}}$ 의 하위 집합인 아벨 군입니다. 즉 $,$ $m\mathbb {Z}$ $\style$ 에 대한 M\ $displaystyle$ m\mathbbbb {Z}입니다 $m\mathbb {Z}$ . $isplaystyle \mathbb {Z}$ 。

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 어떤 저자들은 반지 R의 0과 단위 이상을 R의 사소한 이상이라고 부른다.
^ R에 단위가 없는 경우 위의 내부 설명을 약간 수정해야 합니다.X에 있는 사물의 곱과 R에 있는 사물의 곱의 유한한 양에 더해, 우리는 x + x + ... 형태의 n배 합을 더해야 한다. (-x) + (-x) + ... 형식의 + x 및 n배합 +(-x)는 X의 모든 x와 자연수의 모든 n에 대한 값입니다.R에 유닛이 있으면 이 추가 요건은 불필요해집니다.

레퍼런스

^ ^a ^b John Stillwell (2010). Mathematics and its history. p. 439.
^ Harold M. Edwards (1977). Fermat's last theorem. A genetic introduction to algebraic number theory. p. 76.
^ Everest G., Ward T. (2005). An introduction to number theory. p. 83.
^ Lang 2005, 섹션 III.2
^ 단순한 가환 고리가 필드이기 때문입니다.참조
^ Eisenbud, 연습 A 3.17 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFEisenbud(도움말)
^ Milnor, 9페이지. harvnb 오류: 대상 없음: CITREFMilnor (도움말)
^ "ideals". www.math.uiuc.edu. Archived from the original on 2017-01-16. Retrieved 2017-01-14.
^ "sums, products, and powers of ideals". www.math.uiuc.edu. Archived from the original on 2017-01-16. Retrieved 2017-01-14.
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^ Atiyah-MacDonald, Proposition 3.16. harvnb 오류: 대상 없음: CITEREFAtiyah-MacDonald(도움말)

ATiyah, M. F. and Macdonald, I. G., 가환 대수 입문, 페르세우스 북스, 1969, ISBN 0-201-00361-9
Lang, Serge (2005). Undergraduate Algebra (Third ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22025-3.
미치엘 하제윙켈, 나디야 구바레니, 나데즈다 미카슬로브나 구바레니, 블라디미르 V. 키리첸코대수학, 링, 모듈.제1권 2004년Springer, 2004.ISBN 1-4020-2690-0
Milnor, John Willard (1971), Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies, vol. 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, MR 0349811, Zbl 0237.18005

외부 링크

Levinson, Jake (July 14, 2014). "The Geometric Interpretation for Extension of Ideals?". Stack Exchange.

[4] 어떤 저자들은 반지 R의 0과 단위 이상을 R의 사소한 이상이라고 부른다.

[6] R에 단위가 없는 경우 위의 내부 설명을 약간 수정해야 합니다.X에 있는 사물의 곱과 R에 있는 사물의 곱의 유한한 양에 더해, 우리는 x + x + ... 형태의 n배 합을 더해야 한다. (-x) + (-x) + ... 형식의 + x 및 n배합 +(-x)는 X의 모든 x와 자연수의 모든 n에 대한 값입니다.R에 유닛이 있으면 이 추가 요건은 불필요해집니다.

[Stillwell-1] John Stillwell (2010). Mathematics and its history. p. 439.

[flt-2] Harold M. Edwards (1977). Fermat's last theorem. A genetic introduction to algebraic number theory. p. 76.

[everest_ward-3] Everest G., Ward T. (2005). An introduction to number theory. p. 83.

[5] Lang 2005, 섹션 III.2

[7] 단순한 가환 고리가 필드이기 때문입니다.참조

[8] Eisenbud, 연습 A 3.17 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFEisenbud(도움말)

[9] Milnor, 9페이지. harvnb 오류: 대상 없음: CITREFMilnor (도움말)

[10] "ideals". www.math.uiuc.edu. Archived from the original on 2017-01-16. Retrieved 2017-01-14.

[11] "sums, products, and powers of ideals". www.math.uiuc.edu. Archived from the original on 2017-01-16. Retrieved 2017-01-14.

[12] "intersection of ideals". www.math.uiuc.edu. Archived from the original on 2017-01-16. Retrieved 2017-01-14.

[13] Atiyah-MacDonald, Proposition 3.16. harvnb 오류: 대상 없음: CITEREFAtiyah-MacDonald(도움말)

[1]

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[note 1]

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